傅里叶(Foruier)级数.ppt

第七节傅里叶 Foruier 级数 一 问题的提出 二 三角级数三角函数系的正交性 三 函数展开成傅里叶级数 四 小结思考题 一 问题的提出 非正弦周期函数 矩形波 不同频率正弦波逐个叠加 二 三角级数三角函数系的正交性 1 三角级数 谐波分析 三角级数 2 三角函数系的正交性 三角函数系 三 函数f x 展开成傅里叶级数 问题 1 若能展开 是什么 2 展开的条件是什么 1 傅里叶系数 则 则 f x 的傅里叶系数 f x 的傅里叶级数 问题 2 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 收敛定理 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 并且 并且 注意 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 和函数图象为 所求函数的傅氏展开式为 该级数也称为正弦级数 例2设是周期为的周期函数 它在上的表达式为 将展开成傅氏级数 解显然函数满足狄氏条件 是周期为的奇函数 的傅氏系数为 解它显然满足狄氏条件 例4将周期函数展开成傅氏级数 解因为函数u t 满足狄氏条件 且它在在整个数轴上连续 所以u t 的傅氏级数处处收敛于u t 因为u t 是周期为的偶函数 所以 所以u t 的傅氏级数展开式为 注意 作法 对于非周期函数 如果函数只在 充分条件 也可展开成级数傅氏 区间上有定义 并且满足狄氏 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和 试证明 证 例6 结论可证 播放 1 基本概念 2 傅里叶系数 3 狄利克雷充分条件 4 非周期函数的傅氏展开式 5 傅氏级数的意义 整体逼近 四 小结 思考题 思考题解答 练习题 练习题答案 四 小结 1 基本概念 2 傅里叶系数 3 狄利克雷充分条件 4 非周期函数的傅氏展开式 5 傅氏级数的意义 整体逼近 五 函数f x 在 0 上展开成正弦级数与余弦级数以上研究了将以2 为周期的函数f x 展开成傅氏级数的方法 下面介绍将定义在区间 0 上函数展开成傅氏级数的方法 设函数f x 定义在区间 0 上 有一个函数 x 在 上以2 为周期的函数 而在 0 上 x f x 如果 x 满足狄氏条件 那么 x 在 就可展开成傅氏级数 取其 0 上一段 即为f x 在 0 上的傅氏级数 x 称为f x 的周期延拓函数 在理论上或实际工作中 下面的周期延拓最为常用 将f x 先延拓到 0 使延拓后的函数成为奇函数 然后再延拓成以2 为周期的函数 这种延拓称为周期奇延拓 如图4 7所示 将先延拓到 0 使延拓后的函数为偶函数 然后再延拓成以2 为周期的函数 这种延拓称为周期偶延拓 如图4 8所示 显然 周期奇延拓的结果为正弦级数 注意到在区间 0 上 x f x 其傅氏系数直接按下式计算 即有 周期偶延拓的结果为余弦级数 其傅氏系数直接按下式计算 即有 例7将函数f x x 0 x 分别展开成正弦级数 余弦级数 解函数f x 满足狄氏条件 1 将函数f x 展开成正弦级数 计算傅氏系数 2 将函数f x 展开成余弦级数 计算傅氏系数 例7将函数f x x 0 x 分别展开成正弦级数 余弦级数 第八节周期为2L的函数展开成傅氏级数对于周期为2L在区间 L L 满足狄氏条件的函数f x 可否展开成傅氏级数呢 答案是肯定的 是以2 为周期的周期函数 且满足狄氏条件 从而 在 上可展开成傅氏级数 在以上各式中 将变量t换成变量x 并注意到f x t 则函数f x 的傅氏级数为 设周期为2l的周期函数f x 满足收敛定理条件 则它的傅里叶展开式为 在f x 的连续点处 其中 定理 机动目录上页下页返回结束 说明 其中 在f x 的连续点处 如果f x 为偶函数 则有 在f x 的连续点处 其中 无论哪种情况 在f x 的间断点x处 傅里叶级数 收敛于 如果f x 为奇函数 则有 机动目录上页下页返回结束 例6以2L L 0 为周期的脉冲电压的脉冲波形状如图4 9所示 其中t为时间 1 将脉冲电压f t 在 L L 上展开成以2L为周期的傅氏级数 2 将脉冲电压f t 在 0 2L 上展开成以2L为周期的傅氏级数 解 1 因为f t 在 L L 上的表达式为 满足狄氏条件 所以 故当t L L 时 下式成立 且有 2 因为f t 在 0 2L 上的表达式为 满足狄氏条件 所以 故当t 0 2L 时 下式成立 且有 例7 交流电压 经半波整流后负压消 失 试求半波整流函数的 解 这个半波整流函数 它在 傅里叶级数 上的表达式为 的周期是 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 n 1时 机动目录上页下页返回结束 由于半波整流函数f t 直流部分 说明 交流部分 由收 收敛定理可得 2k次谐波的振幅为 k越大振幅越小 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f x 了 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和 机动目录上页下页返回结束 例8 把 展开成 1 正弦级数 2 余弦级数 解 1 将f x 作奇周期延拓 则有 机动目录上页下页返回结束 2 将 作偶周期延拓 则有 机动目录上页下页返回结束 当函数定义在任意有限区间上时 方法1 令 即 在 上展成傅里叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法 机动目录上页下页返回结束 方法2 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 机动目录上页下页返回结束 例9 将函数 展成傅里叶级数 解 令 设 将F z 延拓成周期为10的周期函数 理条件 由于F z