几何体的外接球(附练习题)

几何体的外接球 一 球的性质回顾 如右图所示 O 为球心 O 为球 O 的一个小圆的圆心 则此时 OO 垂直于圆 O 所在平面 二 常见平面几何图形的外接圆外接圆半径 r 的求法 1 三角形 1 等边三角形 等边三角形也即正三角形 其满足正多边形的基本特征 五心合一 即内心 外心 重心 垂心 中心重合于一点 内心 内切圆圆心 各角角平分线的交点 外心 外接圆圆心 各边中垂线的交点 重心 各边中线的交点 垂心 各边垂线的交点 中心 正多边形特有 从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解 其中 a 为等边三角形的边长 aar 3 3 2 3 3 2 2 直角三角形 结合直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可知 直角三角形的 外接圆圆心位于斜边的中点处 求解过程比较简单 该处不做重点说明 3 等腰三角形 结合等腰三角形中三线合一的性质可知 等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线 上 由图可得 22 2 a rhr 思考 钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别 4 非特殊三角形 考察较少 若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定 理 2 四边形 O O O A B C r r 设 设 AD h设 BD 1 2a A BC D O 常见具有外接圆的四边形有 正方形 矩形 等腰梯形 其中正方形与长方形半径求解方 法类似 等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内 不用掌握 外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点 外接球球心则是空间 中到几何体各个顶点距离相同的点 结合上述所讲内容 外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处 以三角形为例 过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线 不难得到 该垂线 上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等 转化到几何体中 如正方体 其外接球球心位于体心位置 其与正方体任一表面正方形的 中心连线均垂直于该正方形 从而我们得出如下结论 几何体的外接球球心与底面外心的连线垂从而我们得出如下结论 几何体的外接球球心与底面外心的连线垂 直于底面 也即球心落在过底面外心的垂线上 简单称之为 球心直于底面 也即球心落在过底面外心的垂线上 简单称之为 球心 落在底面外心的正上方 落在底面外心的正上方 三 常见几何体的外接球半径的求法 1 直 正 棱柱 以三棱柱为例 例 在正三棱柱中 三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形 求该 111 CBAABC 3 1 AA 三棱柱的外接球半径 分析 如右图 由正三角形的边长可知底面的外接圆半径 r 要求 R 只 需确定 OO 的长度 结合正棱柱也是直棱柱的特征可知 上下两底面三 角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直 从而球心 O 必位于上下两底面 外心连线的中点处 即 从而 R 可求 1 2 1 AAOO 由题可得 2 3 3 32 1 OOr 在直角三角形中 AOO 222 OOrR 从而 6 129 R 2 棱锥 常见有三棱锥和四棱锥两类 其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单 此处重点分析 三棱锥的外接球 1 含有线面垂直关系 侧棱垂直与底面 的三棱锥 R r A1 B1 C1 BA C O O 该种三棱锥的外接球半径求法有两种 举例说明如下 例 在三棱锥 P ABC 中 三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形 PA 平面 ABC PA 3 求该三棱锥的外接球半径 分析 如右图 法一 该几何体可由正三棱柱沿平民啊 PBC 切割而产生 故该三棱锥的外接球可转化为原 三棱柱的外接球 法二 先确定底面三角形 ABC 的外心 O 从而球心位于 O 的正上方 即 OO 平面 ABC 同时 OP OA 故 过 O 作 OM PA 于 M 此 时 M 必为 PA 中点 从而四边形 OMAO 为矩形 所以 在直角三角形 OO A 中有 2 3 2 1 PAAMOO 222 OOrR 计算过程略 2 正棱锥 以正三棱锥为例 R r P A C B O O 在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面 即 故球心 O 落在直线ABCPO面 PO 上 例 在正三棱锥 P ABC 中 三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形 PA 3 球该三棱锥的外 接球半径 分析 如图 由底面正三角形边长可得 r 在直角三角形 OO A 中 故只需确定 OO 的长度即可 结合图形 222 OOrR OO PO OP H R 带入上式中即可求解 由题可知 3 69 3 32 22 AOPAHr R r P BA C O O M R R r 设 PO H P A C B O O 所以 222 RHrR 解得 46 699 R 3 含有侧面垂直于底面 不含侧棱垂直于底面 的三棱锥 该类问题的求解难点在于球心位置的寻找 确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外 心的垂线 球心位于两垂线的交点处 例 在三棱锥 P ABC 中 面 PAB 面 ABC 三角形 ABC 和三角形 PAB 均为等边三角形 且 AB 3 求该几何体外接球半径 分析 设 ABC 和 PAB 的球心分别为 O O 取 AB 中 点 M 球心设为 O 则 OO 平面 ABC OO 平面 PAB 从而四边形 OO MO 是矩形 可得 OO O M 在三角形 OO C 中结合沟通定理即可求解 由题可得 3 3 3 2 3 3 1 ABrPMMOOO 所以 2 15 2 2 OOrR r R P A C B O O M O 练习题组一 1 某几何体的三视图如图 若该几何体的所有顶点都在一个球面上 则该球面的表面积为 A 4 B C D 20 2 三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上 已知 PA PB PC 两两垂直 PA 1 PB PC 4 当三棱锥的体积最大时 球心 O 到平面 ABC 的距离是 A B C D 3 体积为的球有一个内接正三棱锥 P ABC PQ 是球的直径 APQ 60 则三棱 锥 P ABC 的体积为 A B C D 4 四面体 ABCD 的四个顶点都在某个球 O 的表面上 BCD 是边长为 3的等边三角形 当 A 在球 O 表面上运动时 四面体 ABCD 所能达到的最大体积为 则四面体 OBCD 的体积为 A B C 9D 5 点 A B C D 均在同一球面上 且 AB AC AD 两两垂直 且 AB 1 AC 2 AD 3 则该球的表面积为 A 7 B 14 C D 6 已知点 A B C D 均在球 O 上 AB BC AC 3 若三棱锥 D ABC 体积的最大 值为 则球 O 的表面积为 A 36 B 16 C 12 D 7 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在球 O 的球面上 且 AB AC 1 BC 若球 O 的体积为 则这个直三棱柱的体积等于 A B C 2D 8 已知正三棱锥 P ABC 点 P A B C 都在半径为的球面上 若 PA PB PC 两两 互相垂直 则球心到截面 ABC 的距离为 A B C D 9 已知三棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 ABC 是边长为 1 的正三角形 PC 为球 O 的直径 该三棱锥的体积为 则球 O 的表面积为 A 4 B 8 C 12 D 16 10 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形 PA 底面 ABCD AB 2 若该四棱锥的所 有顶点都在体积为同一球面上 则 PA A 3B C 2D 练习题组二 1 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥 P ABC 为鳖臑 PA 平面 ABC PA AB 2 AC 4 三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上 则球 O 的表面 积为 A 8 B 12 C 20 D 24 2 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一球面上 其中 ABC 是正三角形 PA 平面 ABC PA 2AB 2 则该球的表面积为 A 8 B 16 C 32 D 36 3 已知三棱锥 A BCD 的四个顶点 A B C D 都在球 O 的表面上 AC 平面 BCD BC CD 且 AC BC 2 CD 则球 O 的表面积为 A 12 B 7 C 9 D 8 4 已知 A B C 三点都在以 O 为球心的球面上 OA OB OC 两两垂直 三棱锥 O ABC 的体积为 则球 O 的表面积为 A B 16 C D 32 5 已知四棱锥 P ABCD 的顶点都在球 O 的球面上 底面 ABCD 是矩形 平面 PAD 底面 ABCD PAD 为正三角形 AB 2AD 4 则球 O 的表面积为 A B C 24 D 6 已知三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC AB BC PA AC 2 且该三棱锥所有顶点都 在球 O 的球面上 则球 O 的表面积为 A 4 B 8 C 16 D 20 7 点 A B C D 在同一个球的球面上 AB BC ABC 90 若四面体 ABCD 体 积的最大值为 3 则这个球的表面积为 A 2 B 4 C 8 D 16 8 三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面 且 AB BC AB BC AA1 2 若该三棱柱的 所有顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 A 48 B 32 C 12 D 8 9 三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA 2 PB PC 则当三棱锥 P ABC 的三个侧面的面积和 最大时 经过点 P A B C 的球的表面积是 A 4 B 8 C 12 D 16 10 如图 1 ABCD 是边长为 2 的正方形 点 E F 分别为 BC CD 的中点 将 ABE ECF FDA 分别沿 AE EF FA 折起 使 B C D 三点重合于点 P 若四面 体 PAEF 的四个顶点在同一个球面上 则该球的表面积是 A B 6 C D 12 11 如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长