江西省上饶市余干县2016届中考数学三模试卷含答案解析

第 1 页（共 29 页） 2016 年江西省上饶市余干县中考数学三模试卷 一、选择题：本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分 1在下列实数中，无理数是（ ） A C D 2在网络上用 “百度 ”引擎搜索 “中国梦 ”，能搜索到与之相关的结果为 20900000 个， “20900000”这个数用科学记数法表示为（ ） A 07 B 08 C 07 D 209107 3计算：（ 2a） 2（ 3a） 3 的结果是（ ） A 108 108 108 108如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则 1+ 2+ 3 等于（ ） A 90 B 120 C 150 D 180 5如图，若将如图正方形剪成四块，恰好能拼成如图的矩形，则 等于（ ） A B C D 6小兰画了一个函数 y= 的图象如图，那么关于 x 的分式方程 =2 的解是（ ） 第 2 页（共 29 页） A x=1 B x=2 C x=3 D x=4 二、填空题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分 7计算：（ 2） 3= 8化简： a 2（ 3 4a） = 9 成立的条件是 10从长度分别为 3， 5， 7， 9 的 4 条线段中任取 3 条作边，能组成三角形的概率为 11如图，矩形 ， ， ，边 直线 l 上，将矩形 直线 l 作无滑动翻滚，当点 A 第 一次翻滚到点 点 A 经过的路线长为 12如图，四边形 边长为 1 的正方形， x 轴正半轴的夹角为 15，点 B 在抛物线 y=a 0）的图象上，则 a 的值为 第 3 页（共 29 页） 13如图在平面直角坐标系中，过格点 A， B， C 作一圆弧，圆心坐标是 14已知等边三角形 高为 4，在这个三角形所 在的平面内有一点 P，若点 P 到 距离是1，点 P 到 距离是 2，则点 P 到 最小距离为 三、解答题：本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分 15化简：（ ） （ m+1） 16某商场为了促销，凡购买 1000 元商品的顾客获抽奖券一张抽奖活动设置了如下的电翻奖牌，一张抽奖券只能有一次机会在 9 个数字中选中一个翻牌，其对应的反面就是奖品（重新启动会自动随机交换位置） （ 1）求一张抽奖券翻到一台电风扇的概率； （ 2）有两张抽奖券 翻奖牌，请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 翻奖牌正面 一台电风扇 一台收音机 谢谢参与 谢谢参与 一副球拍 一个 U 盘 两张电影票 谢谢参与 一副球拍 翻奖牌反面 17如图， O 的内接三角形， 它的一个外角， O 于点 P，仅用直尺按下列要求分别画图： （ 1）在图 1 中，画并标出 中线 （ 2）在图 2 中，画并标出 角平分线 （ 3）在图 3 中，画并标出 外角 角平分线 第 4 页（共 29 页） 18如图，已知直线 l 的解析式为 y=x+4 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交于 B 点 （ 1）写出 A、 B 两点的坐标； （ 2）又知点 C（ 2， 0），请在直线 l 上找一点 P，使得 P 的值最小，求 P 点的坐标 四、解答题：本大题共 4小题，每小题 8分，共 32分 19已知关于 x 的一元二次方程（ a c） 2 a+c） =0，其中 a、 b、 c 分别为 边的长 （ 1）如果 x=1 是方程的根，试判断 形状，并说明理由； （ 2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 形状，并说明理由 20如图， 是等腰三角形， D、 E、 F 分别在 ，已知： B= 0，C， F （ 1）写出图中所有与 等的角； （ 2）求证： E= 21生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此七（ 1）班数学兴趣小组的同学对学校的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶 550矿泉水， 第 5 页（共 29 页） 会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种： 全部喝完； 喝剩约 ； 喝剩约一半；开瓶但基本未喝； 未开瓶同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （ 1）参加这次会议的有 人，在图乙中 所在扇形的圆心角是 度，并补全条形统计图； （ 2）若开瓶 但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少（计算结果请保留整数）； （ 3）对会议浪费的矿泉水一事，请你提出两条改进的建议 22如图 1 是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景，如图 2 是小明锻炼时上半身由 置运动到地面垂直的 知： （ 1）求 倾斜角 的度数（精确到 1，友情提示： （ 2）若测得 计算小明头顶由 M 运动到 N 点的路径 的长度（精确到 五、解答题：共 10分 23如图，在一张透明的纸上画了一个 第 6 页（共 29 页） （ 1）如图 2，把纸片 起（ 折痕），使顶点 A 在 内部，点 A 的对称点为点 O，求证： （ 2）如图 3，把纸片 起 （ 折痕），使顶点 A 在 外部，点 A 的对称点为点 O 写出 的等式关系（只写出答案，无需证明） （ 3）如图 4，在图 2 的基础上再以 折痕叠纸片，使顶点 D、 E 在 内部，且点 D、 、 Q，求 大小 （ 4）如图 5，是一个侧 “M”形 知： 别延长 于点 R，问 否相等？如果相等，则请证明；如果不相等，则说明理由（举一反例） 六、解答题：共 12分 24如果两个二次函数图象的开口向上，顶点坐标都相同，那么称这两个二次函数互为 “同簇二次函数 ”，显然 “同簇二次函数 ”不是唯一的 （ 1）已知二次函数 y=36x+1 写出它的开口方向，顶点坐标； 请写出它的两个不同的 “同簇二次函数 ” （ 2）已知两个二次函数 y1=x 2+y2=x 2+同簇二次函数 ”，则 0， 填 “ ”、 “=“、或 “ ”号） 如果 y3=y1+是 同簇二次函数 ”，求证： 顶点在 x 轴上； 如果直线 y=t，与 次交于点 A、 B、 C、 D，且 C= 的值 第 7 页（共 29 页） 2016年江西省上饶市余干县中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分 1在下列实数中，无理数是（ ） A C D 【考点】 无理数 【分析】 根据无理数是无限不循环小数，可得答案 【解答】 解： A、 有理数，故 A 错误； B、 是有理数，故 B 错误； C、 是无理数，故 C 正确； D、 是有理数，故 D 错误； 故选： C 【点评】 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如 ， ， 2016余干县三模）在网络上用 “百度 ”引擎搜索 “中国梦 ”，能搜索到与之相关的结果为 20900000 个， “20900000”这个数用科学记数法表示为（ ） A 07 B 08 C 07 D 209107 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点 移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 20900000 用科学记数法表示为： 07 故选 A 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3计算：（ 2a） 2（ 3a） 3 的结果是（ ） 第 8 页（共 29 页） A 108 108 108 108考点】 单项式乘单项式 【分析】 根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式的乘法 ；根据单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的幂相乘；可得答案 【解答】 解：（ 2a） 2（ 3a） 3 =（ 4（ 27 = 108 故选： A 【点评】 本题考查了单项式乘单项式，熟记法则并根据法则计算是解题关键 4如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则 1+ 2+ 3 等于（ ） A 90 B 120 C 150 D 180 【考点】 三角形内角和定理；等边三角形的性质 【分析】 先根据图中是三个等边三角形可知三角形 各内角等于 60，用 1， 2， 3 表示出 根据三角形内角和定理即可得出结论 【解答】 解： 图中是三个等边三角形， 1=180 60 20 2=180 60 20 3=180 60 20 80， 1+ 2+ 3=360 180=180， 故选 D 第 9 页（共 29 页） 【点评】 本题考查的是等边三角形的性质，三角 形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于 60是解答此题的关键 5如图，若将如图正方形剪成四块，恰好能拼成如图的矩形，则 等于（ ） A B C D 【考点】 图 形的剪拼 【分析】 根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（ a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（ b+a+b）、 b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（ a+b） 2=b（ b+a+b），解方程即可求出 【解答】 解：依题意得（ a+b） 2=b（ b+a+b）， 整理得： a2+b2+ b2+， 方程两边同时除以 则（ ） 2 1+ =0， 解得： = ， 不能为负， = 故选 D 【点评】 此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题 6小兰画了一个函数 y= 的图象如图，那么关于 x 的分式方程 =2 的解是（ ） 第 10 页（共 29 页） A x=1 B x=2 C x=3 D x=4 【考点】 反比例函数的图象 【专题】 压轴题 【分析】 关于 x 的分式方程 =2 的解就是函数 y= 中，纵坐标 y=2 时 的横坐标 x 的值，据此即可求解 【解答】 解：由图可知当 x=3 时， y=0，即 =0， 解得 a=3， 当 =2 时， 解得 x=1 故选 A 【点评】 本题考查了函数的图象，正确理解：关于 x 的分式方程 =2 的解，就是函数 y= 中，纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的值是关键 二、填空题：本大题共 8小题，每小 题 3分，共 24分 7计算：（ 2） 3= 【考点】 负整数指数幂 【分析】 根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案 【解答】 解：原式 = = 第 11 页（共 29 页） 故答案为： 【点评】 本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键 8化简： a 2（ 3 4a） = 9a 6 【考点】 整式的加减 【分析】 先去括号，再合并同类项即可 【解答】 解：原式 =a 6+8a =9a 6 故答案为 9a 6 【点评】 本题考查了整式的加减，去括号与合并同类项是解题的关键 9 成立的条件是 1x1 【考点】 二次根式的乘除法 【分析】 直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法求出答案 【解答】 解： 成立， ， 解得： 1x1 故答案为： 1x1 【点评】 此题主要考查了二次根式的性质，正确得出关于 x 的不等式组是解题关键 10从长度分别为 3， 5， 7， 9 的 4 条线段中任取 3 条作边，能组成三角形的概率为 【考点】 概率公式；三角形三边关系 【分析】 由从长度分别为 3、 5、 7、 9 的 4 条线段中任取 3 条作三角形的边，等可能的结果有： 3、 5、7； 3、 7、 9； 5、 7、 9； 3、 7、 9，且能组成三角形的有： 3、 5、 7； 5、 7、 9； 3、 7、 9；直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 从长度分别为 3、 5、 7、 9 的 4 条线段中任取 3 条作三角形的边，等可能的结果有：3、 5、 7； 3、 7、 9； 5、 7、 9； 3、 7、 9， 且能组成三角形的有： 3、 5、 7； 5、 7、 9； 3、 7、 9； 第 12 页（共 29 页） 能组成三角形的概率为： ； 故答案为： 【点评】 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 11如图，矩形 ， ， ，边 直线 l 上，将矩形 直线 l 作无滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 点 A 经过的路线长为 6 【考点】 弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质 【专题】 压轴题；规律型 【分析】 如图根据旋转的性质知，点 A 经过的路线长是三段： 以 90为圆心角， 为半径的扇形的弧长； 以 90为圆心角， 为半径的扇形的弧长； 90为圆心角，矩形 角线长为半径的扇形的弧长 【解答】 解： 四边形 矩 形， ， ， D=3， 0，对角线 =5 根据旋转的性质知， 90， D=， 点 A 第一次翻滚到点 A位置时，则点 A经过的路线长为： = 同理，点 A第一次翻滚到点 A位置时，则点 A经过的路线长为： =2 点 A第一次翻滚到点 点 A经过的路线长 为： = 则当点 A 第一次翻滚到点 置时，则点 A 经过的路线长为： +2+ =6 故答案是： 6 第 13 页（共 29 页） 【点评】 本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质根据题意画出点 A 运动轨迹，是突破解题难点的关键 12如图，四 边形 边长为 1 的正方形， x 轴正半轴的夹角为 15，点 B 在抛物线 y=a 0）的图象上，则 a 的值为 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 连接 据正方形的对角线平分一组对角线可得 5，过点 B 作 x 轴于 D，然后求出 0，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 利用勾股定理列式求出 而得到点 B 的坐标，再把点 B 的坐标代入抛物线解析式求解即可 【解答】 解：如图，连接 四边形 边长为 1 的正方形， 5， = ， 过点 B 作 x 轴于 D， x 轴正半轴的夹角为 15， 5 15=30， ， = ， 点 B 的坐标为（ ， ）， 点 B 在抛物线 y=a 0）的图象上， a（ ） 2= ， 第 14 页（共 29 页） 解得 a= 故答案为： 【点评】 本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出 x 轴的夹角为 30，然后求出点 B 的坐标是解题的关键 13如图在平面直角坐标系中，过格点 A， B， C 作一圆弧，圆心坐标是 （ 2， 0） 【考点】 垂径定理；点的坐标；坐标与图形性质 【专题】 常规题型 【分析】 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 垂直平分线，交点即为圆心 【解答】 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（ 2， 0） 第 15 页（共 29 页） 故答案为：（ 2， 0） 【点评】 本题考查垂径定理的知识，理解本题中圆心在圆的弦的垂直平分线上，是垂直平分线的交点 14已知等边三角形 高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 距离是1，点 P 到 距离是 2，则点 P 到 最小距离为 1 【考点】 等边三角形的性质 【分析】 根据题意画出相应的图形，直线 直线 与 距离为 1，直线 直线 C 的距离为 2，当 P 与 N 重合时， P 到 最小距离；当 P 与 M 重合时， C 的最大距离，根据题意得到 为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 长，以及 长，由 出 长，求出等边三角形 高，即可确定出点 P 到 最小距离 【解答】 解：根据题意画出相应的图形，直线 直线 与 距离为 1，直线 直线与 距离为 2， 当 P 与 N 重合时， P 到 最小距离； 根据题意得： B= = ， 为等边三角形， F= = ， G= = ， C = ， ，即点 P 到 最小距 离是 1； 故答案为： 1 【点评】 此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键 三、解答题：本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分 第 16 页（共 29 页） 15化简：（ ） （ m+1） 【考点】 分式的混合运算 【专题】 计算题；分式 【分析】 原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 【解答】 解：原式 = = = 【点评】 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16某商场为了促销，凡购买 1000 元商品的顾客获抽奖券一张抽奖活动设置了如下的电翻奖牌，一张抽奖券只能有一次机会在 9 个数字中选中一个翻牌，其对应的反面就是奖品（重 新启动会自动随机交换位置） （ 1）求一张抽奖券翻到一台电风扇的概率； （ 2）有两张抽奖券翻奖牌，请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 翻奖牌正面 一台电风扇 一台收音机 谢谢参与 谢谢参与 一副球拍 一个 U 盘 两张电影票 谢谢参与 一副球拍 翻奖牌反面 【考点】 概率公式 【分析】 （ 1）由共有 9 种等可能的结果，只有 1 种情况是一台电风扇，直接利用概率公式求解即可求得答案； （ 2）由题意可 得共有等可能的结果： 99=81（种），其中都是 “谢谢参与 ”的有 9 种情况，则可求得答案 【解答】 解：（ 1） 共有 9 种等可能的结果，只有 1 种情况是一台电风扇， 第 17 页（共 29 页） 一张抽奖券翻到一台电风扇的概率为： ； （ 2） 共有等可能的结果： 99=81（种），其中都是 “谢谢参与 ”的有 9 种情况， 两张抽奖券都是 “谢谢参与 ”的概率为： 事件：得到总是 “谢谢参与 ”的概率 【点评】 此题考查了概率公式的应用用到 的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 17如图， O 的内接三角形， 它的一个外角， O 于点 P，仅用直尺按下列要求分别画图： （ 1）在图 1 中，画并标出 中线 （ 2）在图 2 中，画并标出 角平分线 （ 3）在图 3 中，画并标出 外角 角平分线 【考点】 作图 复杂作图 【专题】 作图题 【分析】 （ 1） E，根据垂径定理得 E，则 中线； （ 2）连结 F，根据垂径定理得到 = ，则 以 角平分线； （ 3）延长 O 于 G，连结 据垂径定理得 直平分 C，于是 据圆内接四边形的性质得 据圆周角定理得 以 分 【解答】 解：（ 1）如图 1， 第 18 页（共 29 页） （ 2）如图 2，连结 F，则 所求； （ 3）如图 3， 延长 O 于 G，则射线 所求 【点评】 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 18如图，已知直线 l 的解析式为 y=x+4 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交于 B 点 （ 1）写出 A、 B 两点的坐标； （ 2）又知点 C（ 2， 0），请在直线 l 上找一点 P，使得 P 的值最小，求 P 点的坐标 第 19 页（共 29 页） 【考点】 轴对称 次函数图象上点的坐标特征 【分析】 （ 1）把 x=0， y=0 代入解答即可； （ 2）根据轴对称的性质解答即可 【解答】 解：（ 1）把 x=0 代入 y=x+4=4，点 A 的坐标为（ 0， 4）； 把 y=0 代入 y=x+4，解得： x= 4，点 B 的坐标为（ 4， 4）， （ 2）点 O 关于 l 的 轴对称点 O（ 4， 4）， 连接 OC 交 l 于点 P， 则 P=OP+C= 为最小， 设经过 O、 C 两点的直线解析式为 y=mx+n， 将 O（ 4， 4），（ 2， 0）分别代入， 得 ， 解得 ， 所以经过 O、 C 两点的直线解析式为 y= 2x 4， 联立 ， 解得 所以点 P 的坐标为（ ， ） 第 20 页（共 29 页） 【点评】 本题考查了轴对称的问题，关键是根据直线的交点坐标解答 四、解答题：本大题共 4小题，每小题 8分，共 32分 19已知关于 x 的一元二次方程（ a c） 2 a+c） =0，其中 a、 b、 c 分别为 边的长 （ 1）如果 x=1 是方程的根，试判断 形 状，并说明理由； （ 2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 形状，并说明理由 【考点】 根的判别式；一元二次方程的解；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理 【分析】 （ 1）根据根的定义，把 x=1 代入即可得出 形状； （ 2）根据根的判别式得出 4，即可得出 a， b， c 的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断 形状 【解答】 解：（ 1） x=1 是一元二次方程（ a c） 2 a+c） =0 的根， （ a c） 2b+（ a+c） =0， a=b， a c0， ac， 等腰三角形； （ 2） 方程有两个相等的实数根， 4， 即 44（ a+c）（ a c） =0， b2+c2= 直角三角形 【点评】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各个定理的内容是解题的关键 第 21 页（共 29 页） 20如图， 是等腰三角形， D、 E、 F 分别在 ，已知： B= 0，C， F （ 1）写出图中所有与 等的角； （ 2）求证： E= 【考点】 全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）结合等腰三角形的性质，结合 “同角的余角相等 ”即可判断； （ 2）过点 F 作 明三角形 三角形 等即可 【解答】 （ 1）解：图中与 等的角有： （ 2）证明：如图 1， 过点 F 作 点 G， 是等腰三角形， B= F， 1+ 2= 2+ 3=90， 1= 3， 在 ， ， G， G， C= 5， 第 22 页（共 29 页） C， E=C= 【点评】 此题主要考查全等三角形的判定与运用，会根据题意构造全等三角形解决问题是解题的关键 21生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此七（ 1）班数学兴趣小组的同学对学校的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶 550矿泉水，会后对所发矿泉水喝的 情况进行统计，大致可分为四种： 全部喝完； 喝剩约 ； 喝剩约一半；开瓶但基本未喝； 未开瓶同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （ 1）参加这次会议的有 60 人，在图乙中 所在扇形的圆心角是 30 度，并补全条形统计图； （ 2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少（计算结果请保留整数）； （ 3）对会议浪费的矿泉水一事，请 你提出两条改进的建议 【考点】 条形统计图；扇形统计图；加权平均数 【分析】 （ 1）由扇形统计图可看出 类占了整个圆的一半即 50%，从条形统计图又知 类共 30人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而 类有 5 人，已知部分数和总数可以求出 类所占总数百分比，再由百分比确定所占圆的圆心角的度数；根据 类圆形角占 360的 可得 类的人数，已知总人数和 、 、 、 类的人数可求出 类的人数为 5 人，将条形统计图中补完整； （ 2）用总的浪费量除以总人数 60 就得 到平均每人的浪费量； （ 3）从节约用水角度提出合理建议均可 【解答】 解：（ 1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约 的人数是总人数的 50%， 3050%=60，即参加这次会议的总人数为 60 人 第 23 页（共 29 页） 360=30， 所在扇形的圆心角是 30 补全条形统计图如下： （ 2）平均每人浪费的矿泉水量为：（ 30 550+5 550+5550） 60160 （ 3）建议： 改发小瓶矿泉水； 自选矿泉水； 供应开水； 有剩余矿泉水带走等 故答案为：（ 1） 60， 30 【点评】 此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键 22如图 1 是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景，如图 2 是小明锻炼时上半身由 置运动到地面垂直的 知： （ 1）求 倾斜角 的度数（精确到 1，友情提示： （ 2）若测得 计算小明头顶由 M 运动到 N 点的路径 的长度（精确到 【考点】 解直角三角形的应用 长的计算 【分析】 （ 1）过 A 作 别交 长线于 F， H，则四边 形 矩形， D，F，可求得 直角三角形 ，已知两边，满足解直角三角形的条件，就可求得 的值； （ 2）由在直角三角形中两个锐角互余，求得 度数，由弧长公式求得弧 长 【解答】 解：（ 1）过 A 作 别交 长线于 F， H 第 24 页（共 29 页） 四边形 矩形 C 在 ， = 18 即 倾斜角度数约为 18； （ 2） 0 18=72 80 08 的长 = ） 答：小明头顶运动的路径 的长约为 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的 应用，熟练应用锐角三角函数的概念和弧长公式是解题关键 五、解答题：共 10分 23如图，在一张透明的纸上画了一个 第 25 页（共 29 页） （ 1）如图 2，把纸片 起（ 折痕），使顶点 A 在 内部，点 A 的对称点为点 O，求证： （ 2）如图 3，把纸片 起（ 折痕），使顶点 A 在 外部，点 A 的对称点为点 O 写出 的等式关系（只写出答案，无需证明） （ 3）如图 4，在图 2 的基础上再以 折痕叠纸片，使顶点 D、 E 在 内部，且点 D、 、 Q，求 大小 （ 4）如图 5，是一个侧 “M”形 知： 别延长 于点 R，问 否相等？如果相等，则请证明；如果不相等，则说明理由（举一反例） 【考点】 几何变换综合题 【分析】 （ 1）由平角和对折的性质简单计算 80 2 可； （ 2）由平角和对折的性质简单计算 180即可； （ 3）由对折和平角的意义进行简单的计算， （ 3