2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷含答案）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 广东卷 含答年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 广东卷 含答 案 案 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横 贴在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂 改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 锥体的体积公式V 1 3 sh 其中S是锥体的底面积 h是锥体的高 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若集合 A x 2 x 1 B A x 0 x 2 则集合 A B A x 1 x 1 B x 2 x 1 C x 2 x 2 D x 0 x 1 2 若复数 z1 1 i z2 3 i 则 z1 z1 A 4 2i B 2 i C 2 2i D 3 i 3 若函数 f x 3x 3 x 与 g x 33 xx 的定义域均为 R 则 A f x 与 g x 均为偶函数 B f x 为奇函数 g x 为偶函数 C f x 与 g x 均为奇函数 D f x 为偶函数 g x 为奇函数 4 已知数列 n a 为等比数列 n s5是它的前 n 项和 若 2 a 3 a 2a 且 4 a与 2 7 a的等差 中项为 5 4 则 5 s A 35 B 33 C 3l D 29 5 1 4 m 是 一元二次方程 2 0 xxm 有实数解 的 A 充分非必要条件 B 充分必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分非必要条件 2 6 如图 1 ABCV为正三角形 AABBCC 3 2 CCBBCCAB 平面ABC 且3AA 则多面体 ABCABC 的正视图 也称 主视图 是 7 已知随机量 X 服从正态分布 N 3 1 且 P 2 X 4 0 6826 则 P X 4 A 0 1588 B 0 1587 C 0 1586 D 0 1585 8 为了迎接 2010 年广州亚运会 某大楼安装了 5 个彩灯 他们闪亮的顺序不固定 每个 彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色 且这个 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同 记住 5 个彩灯有序 地各闪亮一次为一个闪烁 在每个闪烁中 每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮 而 相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒 如果要实现所有不同的闪烁 那么需要的时间至少是 A 1205 秒 B 1200 秒 C 1195 秒 D 1190 秒 2 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 必做题 9 13 题 9 函数 f x lg x 2 的定义域是 10 若向量a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 满足条件 c a 2b 2 则 x 11 已知a b c分别是 ABC的三个内角A B C所对的边 若a 1 b 3 A C 2B 则 sinC 12 若圆心在 x 轴上 半径为 2的圆 O 位于 y 轴左侧 且与直线 x y 0 相切 则圆 O 的方 程是 3 13 某城市缺水问题比较突出 为了制定节水管理办法 对全市居民某年的月均用水量进行 了抽样调查 其中 n 位居民的月均用水量分别为 1 x 4 x 单位 吨 根据图 2 所示 的程序框图 若 1 x 2 x 分别为 1 2 则输出的结果 s 为 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 如图 3 AB CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦 他们相交于 AB 的 中点 P 2 3 a PD OAP 30 则 CP 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 02 中 曲线 2sincos1 与 的极坐标为 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 l4 分 sin 3 0 04 12 212 sin 3125 f xAxAxx f f f 已知函数 在时取得最大值 1 求 x 的最小周期 2 求 x 的解析式 3 若 求 17 12 分 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况 随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称 出它们的重量 单位 克 重量的分组区间为 490 495 495 500 510 515 由此 得到样本的频率分布直方图 如图 4 1 根据频率分布直方图 求重量超过 505 克的 产品数量 2 在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件 设 Y 为 重量超过 505 克的产品数量 求 Y 的分布列 3 从该流水线上任取 5 件产品 求恰有 2 件产 4 品的重量超过 505 克的概率 18 本小题满分 14 分 如图 5 AEC是半径为a的半圆 AC为直径 点E为 AC的中点 点B和点C为线段 AD的三等分点 平面AEC外一点F满足FC DF FE 6a 1 证明 EBFD 2 已知点 Q R为线段 FE EB上的点 2 3 FQFE 2 3 FRFB 求平面BED与平面 RQD所成的两面角的正弦值 19 本小题满分 12 分 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 个单位的碳 水化合物 个单位的蛋白质和 个单位的维生素C 一个单位的晚餐含 个单位的碳水 化合物 个单位的蛋白质和 个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中 至少含 个单位的碳水化合物 个单位的蛋白质和 个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 元和 元 那么要满足上述的营养要 求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 20 本小题满分 14 分 已知双曲线 2 1 2 x y 的左 右顶点分别为 12 A A 点 11 P x y 11 Q xy 是双曲线上不同的两个动点 1 求直线 1 A P与 2 A Q交点的轨迹 E 的方程 2 若过点的两条直线 1 l和 2 l与轨迹 E 都只有一个交点 且 12 ll 求h的值 5 21 本小题满分 14 分 设 12 A x y 22 B xy是平面直角坐标系xOy上的两点 现定义由点A到点B的一种折 线距离 p A B为 2121 p A Bxxyy 对于平面xOy上给定的不同的两点 12 A x y 22 B xy 1 若点 C x y是平面xOy上的点 试证明 p A Cp C Bp A B 2 在平面xOy上是否存在点 C x y 同时满足 p A Cp C Bp A B p A Cp C B 若存在 请求出所有符合条件的点 请予以证明 6 参考答案参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 二 填空题 9 2 10 2 11 1 12 22 2 2xy 13 0 25 14 9 8 a 15 3 2 4 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 17 解 1 根据频率分布直方图可知 重量超过 505 克的产品数量为 0 01 0 05 5 4012 件 2 Y 的可能取值为 0 1 2 2 28 2 40 63 0 130 C P Y C 7 11 2812 2 40 56 1 130 C C P Y C 2 12 2 40 11 2 130 C P Y C Y 的分布列为 Y012 P 63 130 56 130 11 130 3 利用样本估计总体 该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0 3 令 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量 则 5 0 3 B 故所求概率为 223 5 2 0 3 0 7 0 3087PC 18 解法一 1 证明 E 为 AC中点 AB BC AC 为直径 EBAD 222222 EF 6 5 BFBEaaa EBFB 又BFBD B EBBDF 平面 FDBDF 平面 EBFD 2 解 过 D 作HDQR 22 FQ FE FR FB 33 QREB HDEB 8 又DBEDRQD 平面平面 解法二 1 证明 E 为 AC中点 AB BC AC 为直径 EBAD 222222 EF 6 5 BFBEaaa EBFB 又BFBD B EBBDF 平面 FDBDF 平面 EBFD 2 解 如图 以 B 为原点 BE 为 x 轴正方向 BD 为 y 轴正方向 过 B 作平面 BEC 的 9 垂线 建立空间直角坐标系 由此得 B 0 0 0 C 0 a 0 D 0 2a 0 E a 0 0 平面 BED 与平面 RQD 所成二面角正弦值为 2 29 29 19 解法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和 y 个单位 所花的费用 为 z 元 则依题意得 z 2 5x 4y 且 x y 满足 0 0 0 0 12864 3216 6642 7 61054 3527 xyxy xyxy xyxy xyxy 即 Z 在可行域的四个顶点 A 9 0 B 4 3 C 2 5 D 0 8 处的值分别是 10 A Z 2 5 9 4 0 22 5 B Z 2 5 4 4 3 22 C Z 2 5 2 4 5 25 D Z 2 5 0 4 8 32 比较之 B Z最小 因此 应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 就可满 足要求 解法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位 和 y 个单位 所花的费用为 z 元 则依 题意得 z 2 5x 4y 且 x y 满足 0 0 0 0 12864 3216 6642 7 61054 3527 xyxy xyxy xyxy xyxy 即 让目标函数表示的直线 2 5x 4y z 在可行域上平移 由此可知 z 2 5x 4y 在 B 4 3 处取 得最小值 因此 应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 就可满足要求 解法一 联立 解得交点坐标为 1 11 11 2222 yy xyxy xxxx 即 则0 2xx 而点 11 P x y在双曲线 2 2 1 2 x y 上 11 2 2 1 1 1 2 x y 将 代入上式 整理得所求轨迹 E 的方程为 2 2 102 2 x yxx 且 因为点 P Q 是双曲线上的不同两点 所以它们与点 12 AA 均不重合 故点 12 AA和均不 在轨迹 E 上 过点 0 1 及 2 A2 0 的直线l的方程为220 xy 解方程组 2 2 220 1 2 xy x y 得20 xy 所以直线l与双曲线只有唯一交点 2 A 故轨迹 E 不经过点 0 1 同理轨迹 E 也不经过点 0 1 综上分析 轨迹 E 的方程为 2 2 102 2 x yxx 且 2 设过点 0 Hh的直线为 1 ykxh h 联立 2 2 1 2 x y 得 222 124220kxkhxh 令 222222 164 12 22 01 20k hkhhk 得 12 解得 22 12 11 22 hh kk 由于 12 ll 则 2 12 1 1 3 2 h k kh 故 过点 12 AA 分别引直线 12 ll 通过y轴上的点 0 Hh 且使 12 ll 因此 12 AHA H 由1 2 22 hh