《数学多重积分》PPT课件.ppt

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重积分 三 二重积分的性质 第一节 一 引例 二 二重积分的定义与可积性 四 曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 解法 类似定积分解决问题的思想 一 引例 1 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底 xoy面上的闭区域D 顶 连续曲面 侧面 以D的边界为准线 母线平行于z轴的柱面 求其体积 大化小 常代变 近似和 求极限 1 大化小 用任意曲线网分D为n个区域 以它们为底把曲顶柱体分为n个 2 3 常代变 在每个 4 近似和 则 中任取一点 小曲顶柱体 5 取极限 令 2 平面薄片的质量 有一个平面薄片 在xoy平面上占有区域D 计算该薄片的质量M 度为 设D的面积为 则 若 非常数 仍可用 其面密 大化小 常代变 近似和 求极限 解决 1 大化小 用任意曲线网分D为n个小区域 相应把薄片也分为小区域 2 常代变 中任取一点 3 近似和 4 取极限 则第k小块的质量 两个问题的共性 1 解决问题的步骤相同 2 所求量的结构式相同 大化小 常代变 近似和 取极限 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 二 二重积分的定义及可积性 定义 将区域D任意分成n个小区域 任取一点 若存在一个常数I 使 可积 在D上的二重积分 积分和 是定义在有界区域D上的有界函数 引例1中曲顶柱体体积 引例2中平面薄板的质量 如果在D上可积 也常 二重积分记作 这时 分区域D 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 二重积分存在定理 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体的体积的负值 因此 二重积分是在这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和 三 二重积分的性质 k为常数 为D的面积 则 特别 由于 则 5 若在D上 6 设 D的面积为 则有 7 二重积分的中值定理 证 由性质6可知 由连续函数介值定理 至少有一点 在闭区域D上 为D的面积 则至少存在一点 使 使 连续 因此 例1 比较下列积分的大小 其中 例1 比较下列积分的大小 其中 解 积分域D的边界为圆周 它与x轴交于点 1 0 而域D位 从而 于直线的上方 故在D上 例2 判断积分 的正负号 解 分积分域为 则 原式 猜想结果为负但不好估计 舍去此项 例3 估计下列积分之值 例3 估计下列积分之值 解 D的面积为 由于 积分性质5 即 1 96 I 2 8 设函数 D位于x轴上方的部分为D1 当区域关于y轴对称 函数关于变量x有奇偶性时 仍 在D上 在闭区域上连续 域D关于x轴对称 则 则 有类似结果 在第一象限部分 则有 四 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 截面积为 截柱体的 故曲顶柱体体积为 同样 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 内容小结 1 二重积分的定义 2 二重积分的性质 与定积分性质相似 3 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 被积函数相同 且非负 思考与练习 解 由它们的积分域范围可知 1 比较下列积分值的大小关系 2 设D是第二象限的一个有界闭域 且0 y 1 则 的大小顺序为 提示 因0 y 1 故 故在D上有 3 计算 3 计算 解 第二节二重积分的计算法 如果积分区域为 其中函数 在区间上连续 一 利用直角坐标系计算二重积分 X 型 应用计算 平行截面面积为已知的立体求体积 的方法 得 解 如果积分区域为 Y 型 解 X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割 改变积分的次序 解 积分区域如图 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 二 小结 Y 型 X 型 思考题 思考题解答 二 利用极坐标系计算二重积分 1 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 极点在区域以外 2 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 极点在区域边界上 极坐标系下区域的面积 3 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 极点在区域内部 解 解 解 解 解 二重积分在极坐标下的计算公式 在积分中注意使用对称性 二 小结 作业P136 2 4 1 2 5 3 4 P153 1 3 6 1 5 6 第三节三重积分 三重积分的概念三重积分的计算 一 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用 引例 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 求分布在 内的物质的 可得 大化小 常代变 近似和 求极限 解决方法 质量M 密度函数为 1 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似 2 性质 例如 下列 乘 积和式 极限 3 中值定理 在有界闭域 上连续 则存在 使得 V为 的 体积 二 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 方法3 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后 推广到一般可积函数的积分计算 的密度函数 方法 方法1 投影法 先一后二 该物体的质量为 细长柱体微元的质量为 微元线密度 解 先一后二 方法2 截面法 先二后一 为底 dz为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度 投影法 方法3 三次积分法 设区域 利用投影法结果 把二重积分化成二次积分即得 当被积函数在积分域上变号时 因为 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算 如图 解 如图 小结 三重积分的计算方法 方法1 先一后二 方法2 先二后一 方法3 三次积分 具体计算时应根据 三种方法 包含12种形式 各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择 例4 计算三重积分 用 先二后一 例4 计算三重积分 解 用 先二后一 解 如图 作业P153 6 2 3 4 8 9 10 15 练习 计算 其中 练习 计算 其中 练习计算 其中 解 利用对称性 2 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 柱面坐标下的曲面方程 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 如图所示 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 解 知交线为 解 所围成的立体如图 所围成立体的投影区域如图 其中 为由 例8 计算三重积分 所围 及平面 柱面 成半圆柱体 其中 为由 例8 计算三重积分 所围 解 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体 例9 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 计算时将三重积分化为三次积分 小结 在柱面坐标的体积元素 练习 计算 其中 练习 计算 其中 解 利用对称性 思考题 选择题 1 计算 所围成 其中 由 分析 若用 先二后一 则有 计算较繁 采用 三次积分 较好 所围 故可 思考 若被积函数为f y 时 如何计算简便 表为 解 2 计算 其中 练习 1 计算三重积分 其中 是由 xOy平面上曲线 所围成的闭区域 提示 利用柱坐标 原式 绕x轴旋转而成的曲面与平面 2 解 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义 得 其中 第四节重积分的应用 一 立体体积 二 曲面的面积 一 立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 例1 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V 例2 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V 解 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在xOy面上的投影为 记所围域为D 在点 例2 求曲面 利用 先二后一 计算 例3 试计算椭球体 的体积V 解法1 例3 求半径为a的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 二 曲面的面积 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 称为面积元素 则 故有曲面面积公式 1 若光滑曲面方程为 则有 即 2 若光滑曲面方程为 3 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 例4 计算半径为a的球的表面积 例4 计算半径为a的球的表面积 例5 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解 曲面在xOy面上投影为 则 出的面积A 作业P164 1 5 7 9 14P175 1 2 3 重积分的计算及应用 一 重积分计算的基本方法 二 重积分计算的基本技巧 三 重积分的应用 一 重积分计算的基本方法 1 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面 线 围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 2 选择易计算的积分序 积分域分块要少 累次积分易算为妙 图示法 列不等式法 从内到外 面 线 点 3 掌握确定积分限的方法 累次积分法 1计算二重积分 其中D为圆周 所围成的闭区域 提示 利用极坐标 原式 2 把积分 化为三次积分 其中 由曲面 提示 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 3 计算积分 其中 是两个球 R 0 的公共部分 提示 由于被积函数缺x y 原式 利用 先二后一 计算方便 4 计算三重积分 其中 是由 zOx平面上曲线 所围成的闭区域 提示 利用柱坐标 原式 绕x轴旋转而成的曲面与平面 补充题 计算积分 其中D由 所围成 提示 如图所示 连续 所以 二 重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1 交换积分顺序的方法 2 利用对称性简化计算 3 消去被积函数绝对值符号 4 利用重积分换元公式 证明 提示 左端积分区域如图 交换积分顺序即可证得 1 2 其中 是 所围成的闭区域 提示 被积函数在对称域 上关于z为奇函数 利用 对称性可知原式为0 由球面 练习题 例1 计算二重积分 其中 1 D为圆域 2 D由直线 解 1 利用对称性 围成 2 积分域如图 将D分为 添加辅助线 利用对称性 得 例3 计算二重积分 在第一象限部分 解 1 两部分 则 其中D为圆域 把与D分成 作辅助线 2 提示 两部分 说明 若不用对称性 需分块积分以去掉绝对值符号 作辅助线 将D分成 例4 如图所示 交换下列