函数的间断点

函函数数间间断断点点求求法法两两个个基基本本步步骤骤 1 间断点 不连续点 的判断 间断点 不连续点 的判断 在做间断点的题目时 首要任务是将间断点的定义熟记于心 下面我们一 起看一下教材上间断点的定义 2 2 间断点类型的判断 间断点类型的判断 找出函数的间断点后 然后判断间断点的类型 主要通过间断点的左右极 限情况来划分 1 第一类间断点 在间断点处的左右极限都存在 可以分为以下两种 可去间断点 左右极限存在且相等 可去间断点 左右极限存在且相等 跳跃间断点 左右极限存在但不相等 跳跃间断点 左右极限存在但不相等 2 第二类间断点 在间断点处的极限至少有一个不存在 经常使用到的 有以下两种形式的第二类间断点 无穷间断点 在间断点的极限为无穷大 无穷间断点 在间断点的极限为无穷大 振荡间断点 在间断点的极限不稳定存在 振荡间断点 在间断点的极限不稳定存在 间断点间断点 是 f x 的间断点 f x 在点处的左右极限都存在为第一类间断点 0 0 f x 至少有一个不存在 则是 f x 的第二类间断点 在 0点处左右极限 0 第一类间断点中 可去间断点 左右极限相等 跳跃间断点 左右极限不相等 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点等 下面通过一道具体的真题 说明函数间断点的求法 函数的间断点 一 函数的间断点 设函数在点的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数有下列三种 xf 0 x xf 情形之一 1 在没有定义 0 xx 2 虽在有定义 但不存在 0 xx xf xx 0 lim y 在 间断 x 1 1 1 x y 1 1 lim1 1x x x 3 虽在有定义 且存在 但 0 xx xf xx 0 lim 0 0 limxfxf xx 则函数在点为不连续 而点称为函数的不连续点或间断点 xf 0 x 0 x xf 下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况 给出间断点的分类 1 x 在连续 在间断 极限为 2 1 x1 x1 x 在间断 极限为 2 在间断 1 x1 x1 x 左极限为 2 右极限为 1 1 x 在间断 极限不存在 0 x0 x 像 这样在点左右极限都存在 0 x 的间断 称为第一类间断 其中极限存在 的 称作第一类间断的可补间断 此时 只要令 则在函数就变成连续的了 被称作第一类间断中的跳跃间 21 y1 x 断 被称作第二类间断 其中 也称作无穷间断 而 称作震荡间断 就一般情况而言 通常把间断点分成两类 如果是函数的间断点 但左极限 0 x xf y x 1 1 2 1 1 xy y x 1 1 2 1 1 1 2 x x y 11 11 x xx y y x 1 1 2 1 1 11 xx xx y y x 1 1 2 1 x y 1 sin 及右极限都存在 那么称为函数的第一类间断点 不是第一 0 0 xf 0 0 xf 0 x xf 类间断点的任何间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左 右极限相等者称为 可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点 例例 1 确定 a b 使 0 1 sin 0 0 sin xb x x xa x x x xf 在 0 x 处连续 解解 xf 在 0 x 处连续 lim 0 xf x lim 0 xf x 0 f 因为 bb x xxf xx 1 sinlim lim 00 1 sin lim lim 00 x x xf xx af 0 所以 1 ba 时 xf 在 0 x 处连续 例例 2 求下列函数的间断点并进行分类 1 1 1 2 x x xf 分析分析 函数在 1 x 处没有定义 所以考察该点的极限 解解 因为 2 1 lim 1 1 lim 1 2 1 x x x xx 但 xf 在 1 x 处没有定义 所以 1 x 是第一类可去间断点 2 0 1 0 1 sin x x x x xf 分析分析 0 x 是分段函数的分段点 考察该点的极限 解解 因为 0 1 sinlim 0 x x x 而 1 0 f 所以 0 x 是第一类可去间断点 总结总结 只要改变或重新定义 xf 在 0 x 处的值 使它等于 lim 0 xf xx 就可使函数在可去间 断点 0 x 处连续 3 0 1 0 1 xx xx xf 分析分析 0 x 是分段函数的分段点 且分段点左右两侧表达式不同 考察该点的左 右极限 解解 因为 1 1 lim lim 00 xxf xx 1 1 lim lim 00 xxf xx 所以 0 x 是第一类跳跃间断点 4 x xf 1 arctan 分析分析 函数在 0 x 处没有定义 且左 右极限不同 所以考察该点的单侧极限 解解 因为 2 1 arctanlim lim 00 x xf xx 2 1 arctanlim lim 00 x xf xx 所以 0 x 是第一类跳跃间断点 5 x exf 1 解解 因为 x xx exf 1 00 lim lim 所以 0 x 是第二类无穷间断点 6 x xf 1 sin 解解 x xf xx 1 sinlim lim 00 极限不存在 所以 0 x 是第二类振荡间断点 7 求 x x xf sin 的间断点 并将其分类 解解 间断点 2 1 0 kkx 当 0 x 时 因 1 sin lim 0 x x x 故 0 x 是可去间断点 当 2 1 kkx 时 因 x x kx sin lim 故 2 1 kkx 是无 穷间断点 小结与思考与思考 本节介绍了函数的连续性 间断点的分类 1 求 n n x x xf 2 1 1 lim 分析 分析 通过极限运算 得到一个关于 x 的函数 找出分段点 判断 1 0 1 1 1 0 11 1 x x x xx xf