高中数学必修4三角函数常考题型：任-意-角

任任 意意 角角 知识梳理 1 按旋转方向分 名称定义图形 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转形成的角 2 按角的终边位置 1 角的终边在第几象限 则此角称为第几象限角 2 角的终边在坐标轴上 则此角不属于任何一个象限 3 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 S 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的 k 360 k Z 和 常考题型 题型一 象限角的判断 例 1 已知角的顶点与坐标原点重合 始边落在 x 轴的非负半轴上 作出下列各角 并指出它们是第几象限角 1 75 2 855 3 510 解 作出各角 其对应的终边如图所示 1 由图 可知 75 是第四象限角 2 由图 可知 855 是第二象限角 3 由图 可知 510 是第三象限角 类题通法 象限角的判断方法 1 根据图形判定 在直角坐标系中作出角 角的终边落在第几象限 此角就是第几象限 角 2 根据终边相同的角的概念 把角转化到 0 360 范围内 转化后的角在第几象限 此 角就是第几象限角 对点训练 在直角坐标系中 作出下列各角 在 0 360 范围内 找出与其终边相同的角 并判定 它是第几象限角 1 360 2 720 3 2 012 4 120 解 如图所示 分别作出各角 可以发现 1 360 0 360 2 720 0 2 360 因此 在 0 360 范围内 这两个角均与 0 角终边相同 所以这两个角不属于任何一个象限 3 2 012 212 5 360 所以在 0 360 范围内 与 2 012 角终边相同的角是 212 所以 2 012 是第三象限角 4 120 240 360 所以在 0 360 范围内 与 120 角终边相同的角是 240 所以 120 是第三象限角 题型二 终边相同的角的表示 例 2 1 写出与 1 910 终边相同的角的集合 并把集合中适合不等式 720 360 的元素 写出来 2 分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合 3 写出终边落在图中阴影部分 包括边界 的角的集合 解 1 与角 1 910 终边相同的角的集合为 1 910 k 360 k Z 720 360 720 1 910 k 360 360 3 k 6 11 36 11 36 故 k 4 5 6 k 4 时 1 910 4 360 470 k 5 时 1 910 5 360 110 k 6 时 1 910 6 360 250 2 在 0 360 范围内 终边在直线 y 0 上的角有两个 即 0 和 180 因此 所有与 0 角终边相同的角构成集合 S1 0 k 360 k Z 而所有与 180 角终边相同的角构成 集合 S2 180 k 360 k Z 于是 终边在直线 y 0 上的角的集合为 S S1 S2 k 180 k Z 由图形易知 在 0 360 范围内 终边在直线 y x 上的角有两个 即 135 和 315 因此 终边在直线 y x 上的角的集合为 S 135 k 360 k Z 315 k 360 k Z 135 k 180 k Z 终边在直线 y x 上的角的集合为 45 k 180 k Z 结合 知所求角的集合为 S 45 k 180 k Z 135 k 180 k Z 45 2k 90 k Z 45 2k 1 90 k Z 45 k 90 k Z 3 终边落在 OA 位置上的角的集合为 90 45 k 360 k Z 135 k 360 k Z 终边落在 OB 位置上的角的集合为 30 k 360 k Z 故阴影部分角的集合可表示为 30 k 360 135 k 360 k Z 类题通法 1 终边相同的角常用的三个结论 1 终边相同的角之间相差 360 的整数倍 2 终边在同一直线上的角之间相差 180 的整数倍 3 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90 的整数倍 2 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角 其写法可分三步 1 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界 2 由小到大分别标出起始 终止边界对应的一个角 写出所有与 终边相同的角 3 用不等式表示区域内的角 组成集合 对点训练 已知角 的终边在如图所示的阴影部分内 试指出角 的取值范围 解 终边在 30 角的终边所在直线上的角的集合为 S1 30 k 180 k Z 终边在 180 75 105 角的终边所在直线上的角的集合为 S2 105 k 180 k Z 因此终边在图中阴影部分的角 的取值范围为 30 k 180 105 k 180 k Z 题型三 确定及所在的象限n n 例 3 若 是第二象限角 则 2 分别是第几象限的角 2 解 1 是第二象限角 90 k 360 180 k 360 k Z 180 k 720 2 360 k 720 2 是第三或第四象限的角 或角的终边在 y 轴的非正半轴上 2 是第二象限角 90 k 360 180 k 360 k Z 45 k 180 90 k 180 k Z 2 法一 当 k 2n n Z 时 45 n 360 90 n 360 n Z 2 即 是第一象限角 2 当 k 2n 1 n Z 时 225 n 360 270 n 360 n Z 2 即 是第三象限角 2 故 是第一或第三象限角 2 法二 45 k 180 表示终边为一 三象限角平分线的角 90 k 180 k Z 表示终边为 y 轴的角 45 k 180 90 k 180 k Z 表示如图中阴影部分图形 即 是第一或第三象限角 2 2 类题通法 1 n 所在象限的判断方法 确定 n 终边所在的象限 先求出 n 的范围 再直接转化为终边相同的角即可 2 所在象限的判断方法 n 已知角 所在象限 要确定角 所在象限 有两种方法 n 1 用不等式表示出角 的范围 然后对 n 的取值分情况讨论 被 n 整除 被 n 除余 1 被 n n 除余 2 被 n 除余 n 1 从而得出结论 2 作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线 它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域 从 x 轴非负半轴起 按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1 2 3 4 标号为几的区域 就是根据 终边所在的象限确定 的终边所落在的区域 如此 所在的象限就可以由标号区域所在的象 n n 限直观地看出 对点训练 已知角 为第三象限角 试确定角 2 是第几象限角 2 解 为第三象限角 k 360 180 k 360 270 k Z 1 2k 1 360 2 2k 1 360 180 k Z 则 2 可能是第一象限角 第二象限角或终 边在 y 轴非负半轴上的角 2 k 180 90 k 180 135 k Z 2 当 k 2n n Z 时 n 360 90 n 360 135 n Z 2 此时 为第二象限角 2 当 k 2n 1 n Z 时 n 360 270 315 n Z 2 此时 为第四象限角 2 综上所述 可能是第二象限角或第四象限角 2 练习反馈 1 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转 240 所形成的角是 A 120 B 120 C 240 D 240 解析 选 D 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转 240 所形成的角是 240 故选 D 2 与 435 角终边相同的角可以表示为 A 75 k 360 k Z B 435 k 360 k Z C 75 k 360 k Z D 75 k 180 k Z 解析 选 C 435 360 75 与 435 角终边相同的角是 75 k 360 k Z 3 以下说法 其中正确的有 填写序号 65 是第四象限角 225 是第三象限角 475 是第二象限角 315 是第一象限角 解析 65 是第四象限角 故 正确 225 是第三象限角 故 正确 475 360 115 是第二象限角 故 正确 315 360 45 是第一象限角 故 正确 答案 4 若角 2 014 则与角 具有相同终边的最小正角为 最大负角为 解析 2 014 5 360 214 与角 终边相同的角的集合为 214 k 360 k Z 最