212（二）椭圆的简单几何性质(二)

2 1 2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 二二 一 基础过关 1 椭圆 1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是 x2 25 y2 9 A 8 2B 5 4C 5 1D 9 1 2 直线 y x 2 与椭圆 1 有两个公共点 则 m 的取值范围是 x2 m y2 3 A m 1B m 1 且 m 3 C m 3D m 0 且 m 3 3 AB 为过椭圆 1 中心的弦 F c 0 为椭圆的右焦点 则 AFB 面积的最大值为 x2 a2 y2 b2 A b2B abC acD bc 4 经过椭圆 y2 1 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l 交椭圆于 A B 两点 设 O 为坐 x2 2 标原点 则 等于 OA OB A 3B 1 3 C 或 3D 1 3 1 3 5 已知点 m n 在椭圆 8x2 3y2 24 上 则 2m 4 的取值范围是 A 4 2 4 2 B 4 4 3333 C 4 2 4 2 D 4 4 2222 6 若倾斜角为 的直线交椭圆 y2 1 于 A B 两点 则线段 AB 的中点的轨迹方程是 4 x2 4 7 人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆 近地点距地面 p 千米 远地点距 地面 q 千米 若地球半径为 r 千米 则运行轨迹的短轴长为 二 能力提升 8 已知 F1 F2是椭圆的两个焦点 满足 0 的点 M 总在椭圆内部 则椭圆离心率 MF1 MF2 的取值范围是 A 0 1 B 0 1 2 C D 0 2 2 2 2 1 9 若椭圆 1 的焦点在 x 轴上 过点 1 作圆 x2 y2 1 的切线 切点分别为 x2 a2 y2 b2 1 2 A B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 10 已知动点 P 与平面上两定点 A 0 B 0 连线的斜率的积为定值 22 1 2 1 试求动点 P 的轨迹方程 C 2 设直线 l y kx 1 与曲线 C 交于 M N 两点 当 MN 时 求直线 l 的方程 4 2 3 11 已知椭圆 C1 y2 1 椭圆 C2以 C1的长轴为短轴 且与 C1有相同的离心率 x2 4 1 求椭圆 C2的方程 2 设 O 为坐标原点 点 A B 分别在椭圆 C1和 C2上 2 求直线 AB 的方程 OB OA 12 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 到两点 0 0 的距离之和等于 4 设点 P 33 的轨迹为 C 1 写出 C 的方程 2 设直线 y kx 1 与 C 交于 A B 两点 k 为何值时 此时 AB 的值是多少 OA OB 三 探究与拓展 13 设椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P a b 满足 PF2 F1F2 x2 a2 y2 b2 1 求椭圆的离心率 e 2 设直线 PF2与椭圆相交于 A B 两点 若直线 PF2与圆 x 1 2 y 2 16 相交于 3 M N 两点 且 MN AB 求椭圆的方程 5 8 答案 1 D 2 B 3 D 4 B 5 A 6 x 4y 0 4 5 5 x 2 y2 a2 x2 4 其离心率为 故 3 2 a2 4 a 3 2 解得 a 4 故椭圆 C2的方程为 1 y2 16 x2 4 2 解 A B 两点的坐标分别记为 xA yA xB yB 由 2及 1 知 O A B 三点共线且点 A B 不在 y 轴上 OB OA 因此可设直线 AB 的方程为 y kx 将 y kx 代入 y2 1 中 x2 4 得 1 4k2 x2 4 所以 x 2 A 4 1 4k2 将 y kx 代入 1 中 得 4 k2 x2 16 y2 16 x2 4 所以 x 2 B 16 4 k2 又由 2 得 x 4x OB OA 2 B2 A 即 16 4 k2 16 1 4k2 解得 k 1 故直线 AB 的方程为 y x 或 y x 12 解 1 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以 0 0 为焦点 长半轴长为 2 的椭圆 它的短半轴长 b 33 1 22 3 2 故曲线 C 的方程为 x2 1 y2 4 2 设 A x1 y1 B x2 y2 其坐标满足Error 消去 y 并整理得 k2 4 x2 2kx 3 0 故 x1 x2 x1x2 2k k2 4 3 k2 4 x1x2 y1y2 0 OA OB y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 于是 x1x2 y1y2 1 3 k2 4 3k2 k2 4 2k2 k2 4 4k2 1 k2 4 又 x1x2 y1y2 0 k 1 2 当 k 时 x1 x2 1 2 4 17 x1x2 12 17 AB x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x2 x1 2 而 x2 x1 2 x2 x1 2 4x1x2 4 42 172 12 17 43 13 172 AB 5 4 43 13 172 4 65 17 13 解 1 设 F1 c 0 F2 c 0 c 0 因为 PF2 F1F2 所以 2c 整理得 2 a c 2 b2 c a 2 1 0 得 1 舍 或 所以 e c a c a c a 1 2 1 2 2 由 1 知 a 2c b c 可得椭圆方程为 3x2 4y2 12c2 直线 PF2的方程为 3 y x c 3 A B 两点的坐标满足方程组Error 消去 y 并整理 得 5x2 8cx 0 解得 x1 0 x2 c 8 5 得方程组的解Error Error 不妨设 A c c B 0 c 8 5 3 3 53 所以 AB c 8 5c 2 3 3 5 c 3c 2 16 5 于是 MN AB 2c 5 8 圆心