【拿高分选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习精选《必考问题4 导数的几何意义、函数的单调性和极值》（命题方向把握+命题角度分析） 新人教版

1 必考问题必考问题 4 4 导数的几何意义 函数的单调性和极值导数的几何意义 函数的单调性和极值 1 2011 山东 曲线y x3 11 在点P 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 A 9 B 3 C 9 D 15 答案 C 由已知得切线的斜率k y x 1 3 切线方程为y 12 3 x 1 即 3x y 9 0 令x 0 得y 9 切线与y轴交点的纵坐标为 9 2 2012 辽宁 函数y x2 ln x的单调递减区间为 1 2 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 答案 B 由题意知 函数的定义域为 0 又由y x 0 解得 1 x 0 x 1 所以函数的单调递减区间为 0 1 3 2012 陕西 设函数f x ln x 则 2 x A x 为f x 的极大值点 1 2 B x 为f x 的极小值点 1 2 C x 2 为f x 的极大值点 D x 2 为f x 的极小值点 答案 D f x ln x x 0 f x 2 x 2 x2 1 x 由f x 0 解得x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 为减函数 当x 2 时 f x 0 f x 为增函数 x 2 为f x 的极小值点 4 2012 大纲全国 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 答案 A y 3x2 3 当y 0 时 x 1 则x y y的变化情况如下表 2 x 1 1 1 1 1 1 y y c 2 c 2 因此 当函数图象与x轴恰有两个公共点时 必有c 2 0 或c 2 0 c 2 或 c 2 1 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 考查定积分的性质及几何意义 2 考查利用导数的有关知识研究函数的单调性 极值和最值 进而解 证 不等式 3 用导数解决日常生活中的一些实际问题 以及与其他知识相结合 考查常见的数学 思想方法 首先要理解导数的工具性作用 其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系 掌握 求函数极值 最值的方法步骤 对于已知函数单调性或单调区间 求参数的取值范围问题 一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题 再利用分离参数法求解 必备知识 导数的几何意义 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线 的斜率 即k f x0 2 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为y f x0 f x0 x x0 3 导数的物理意义 s t v t v t a t 基本初等函数的导数公式和运算法则 1 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f x cf x 0 f x xn n R R f x nxn 1 f x sin xf x cos x f x cos xf x sin x f x ax a 0 且a 1 f x axln a f x exf x ex 3 f x logax a 0 且a 1 f x 1 x ln a f x ln x f x 1 x 2 导数的四则运算法则 u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x v x 0 u x v x u x v x u x v x v x 2 函数的单调性与导数 1 设函数f x 在 a b 内可导 若f x 0 则f x 在区间 a b 上是单调递增 函数 若f x 0 则f x 在区间 a b 上是单调递减函数 2 若在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 函数的极值与导数 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有点x 都f x0 f x 就说 f x0 是函数f x 的一个极大值 如果对x0附近的所有点x 都有f x0 f x 就说f x0 是 函数的一个极小值 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 不一定有最值 必备方法 1 可导函数的单调性 1 求函数f x 的单调区间 确定函数的定义域 求f x 若求减区间 则解f x 0 若求增区间 则解f x 0 2 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性 求f x 确认f x 在 a b 内的符号 推出结论 f x 0 为增函数 f x 0 为减函数 3 已知函数的单调性 求参数的取值范围 转化为一般不等式f x 0 或f x 0 在单调区间上恒成立问题 2 函数的极值与最值 根据最值定理 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可 将过程简化 即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的 函数值进行比较 就可判定最大 小 的函数值 就是最大 小 值 对于开区间 a b 内可 导的函数 定义域为开区间或半开半闭区间 求最值时 除求出函数的极大值 极小值外 4 还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的大致图象 再判定函数的最大 小 值 否则会出现错误 但定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点 必为最值点 3 利用导数解决优化问题的步骤 1 审题设未知数 2 结合题意列出函数关系式 3 确定函数的定义域 4 在定义 域内求极值 最值 5 下结论 导数的几何意义及其应用 常考查 根据曲线方程 求其在某点处的切线方程 根据曲线的切线方程求曲线 方程中的某一参数 例 1 2011 新课标全国 已知函数f x 曲线y f x 在点 aln x x 1 b x 1 f 1 处的切线方程为x 2y 3 0 求a b的值 审题视点 求f x 由Error 可求 听课记录 解 f x a x 1 x ln x x 1 2 b x2 由于直线x 2y 3 0 的斜率为 且过点 1 1 1 2 故Error 即Error 解得a 1 b 1 解决函数切线的相关问题 需抓住两个关键点 其一 切点是交点 其二 在切点处的导数是切线的斜率 因此 解决此类问题 一般要设出切点 建立关系 方 程 组 其三 求曲线的切线要注意 过点P的切线 与 在点P处的切线 的差异 过 点P的切线中 点P不一定是切点 点P也不一定在已知曲线上 在点P处的切线 点P 是切点 突破训练 1 直线y 2x b是曲线y ln x x 0 的一条切线 则实数 b 解析 y 令 2 得 x 故切点为 代入直线方程 得 ln 2 1 x 1 x 1 2 1 2 ln 1 2 1 2 b 所以b ln 2 1 1 2 5 答案 ln 2 1 利用导数研究函数的单调性 常考查 利用导数研究函数的单调性问题 由函数的单调性求参数的范围 例 2 1 已知导函数f x 的下列信息 当 1 x 4 时 f x 0 当x 4 或x 1 时 f x 0 当x 4 或x 1 时 f x 0 试画出函数y f x 图象的大致形状 2 确定函数f x 2x3 6x2 7 在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 3 已知函数f x 4x ax2 x3 x R R 在区间 1 1 上是增函数 求实数a的取值 2 3 范围 审题视点 题 1 已知函数的导数的符号 可先判断函数的单调性 进而画出草图 题 2 要求函 数的单调区间 可先求函数的导函数 再令导函数大于 0 或小于 0 解得函数的单调区间 题 3 是已知单调区间反求字母a的范围 可先求导函数 再令导函数在已知的单调区间上 恒非负 或非正 听课记录 解 1 当 1 x 4 时 f x 0 可知y f x 在此区间内单调递增 当x 4 或x 1 时 f x 0 可知y f x 在此区间内单调递减 当x 4 或x 1 时 f x 0 可知这两点处的切线是水平的 综上 函数y f x 图象的大致形状如图所示 2 f x 6x2 12x 令 6x2 12x 0 解得x 0 或x 2 因此 当x 0 时 函数f x 是增函数 当x 2 时 f x 也是增函数 令 6x2 12x 0 解得 0 x 2 因此 当x 0 2 时 f x 是减函数 3 f x 4 2ax 2x2 且f x 在 1 1 的任意子区间内均不恒为 0 又因f x 在区间 1 1 上是增函数 6 所以f x 0 对x 1 1 恒成立 即x2 ax 2 0 对x 1 1 恒成立 解之得 1 a 1 所以实数a的取值范围为 1 1 题 2 利用了函数单调的充分条件 若f x 0 则f x 单调递增 若 f x 0 则f x 单调递减 题 3 利用了函数单调的必要条件 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 注意必要条件中的等号不能省略 否则 漏解 突破训练 2 2012 新课标全国 设函数f x ex ax 2 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0 时 x k f x x 1 0 求k的最大值 解 1 f x 的定义域为 f x ex a 若a 0 则f x 0 所以 f x 在 上单调递增 若a 0 则当x ln a 时 f x 0 当x ln a 时 f x 0 所以 f x 在 ln a 上单调递减 在 ln a 上单调递增 2 由于a 1 所以 x k f x x 1 x k ex 1 x 1 故当x 0 时 x k f x x 1 0 等价于 k x x 0 x 1 ex 1 令g x x 则g x 1 x 1 ex 1 xex 1 ex 1 2 ex ex x 2 ex 1 2 由 1 知 函数h x ex x 2 在 0 上单调递增 而h 1 0 h 2 0 所以h x 在 0 上存在唯一的零点 故g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当x 0 时 g x 0 当x 时 g x 0 所以g x 在 0 上的最小值为g 又由g 0 可得 e 2 所以g 1 2 3 由于 式等价于k g 故整数k的最大值为 2 7 利用导数研究函数的极值或最值 常考查 直接求极值或最值 利用极 最 值求参数的值或范围 常与函数的单调 性 方程 不等式及实际应用问题综合 形成知识的交汇问题 例 3 已知函数f x x3 mx2 nx 2 的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 审题视点 1 根据f x g x 的函数图象的性质 列出关于m n的方程 求出m n的值 2 分类讨论 听课记录 解 1 由函数f x 的图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 而g x 的图象关于y轴对称 所以 0 2m 6 2 3 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 得x 2 或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 和 2 令f x 0 得 0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0 得x 0 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 0 2 2 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 由此可得 当 0 a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当 1 a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 8 当a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当 0 a 1 时 f x 有极大值 2 无极小值 当 1 a 3 时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1 或a 3 时 f x 无极值 1 求单调递增区间 转化为求不等式f x 0 不恒为 0 的解集即 可 已知f x 在M上递增 f x 0 在M上恒成立 注意区别 2 研究函数的单调性后可画出示意图 讨论区间与 0 2 的位置关系 画图 截取 观察即可 突破训练 3 2012 北京 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a 3 b 9 时 若函数f x g x 在区间 k 2 上的最大值为 28 求k的取 值范围 解 1 f x ax2 1 f x 2ax f 1 2a 又f 1 c a 1 f x 在点 1 c 处的切线方程为y c 2a x 1 即 y 2ax a 1 0 g x x3 bx g x 3x2 b g 1 3 b 又g 1 1 b c g x 在点 1 c 处的切线方程为 y 1 b 3 b x 1 即y 3 b x 2 0 依题意知 3 b 2a 且a 1 2 即a 3 b 3 2 记h x f x g x 当a 3 b 9 时 h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 h x 与h x 在 2 上的变化情况如下 x 3 3 3 1 1 1 2 2 h x 0 0 h x 28 4 3 由此可知 当k 3 函数h x 在区间 k 2 上的最大值为h 3 28 当 3 k 2 时 函数h x 在区间 k 2 上的最大值小于 28 因此 k的取值范围是 3 9 错把 充分不必要条件 当作 充要条件 给定区间 a b 若f x 0 则f x 在 a b 上为增函数 若f x 0 则f x 在 a b 上为减函数 反之不然 这也就是说f x 0 f x 0 是f x 在 a b 上为增 函数 减函数 的充分不必要条件 而不是充要条件 示例 2012 济南实验中学模拟 已知函数f x ax3 3x2 x 1 在 R R 上是减 函数 求a的取值范围 满分解答 f x 3ax2 6x