2016年苏州市中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

1 值范围）问题 引例 1： 在坐标系中，点 3， 0)，点 B为 设 m，则 _ 引例 2： 如图，在边长为 1的等边 边 D，以 O， 的一个动点（不与 A、 射线 ，BC=a ， AC=b ，求 的最大值 . 引例 3： 如图， 0，半径长为 1 的圆 O 与 两边相切， P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， 为半径的圆 P 交射线 D、 E 两点，连接 线段 ). A 3 B 6 C 332D 33 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1 引例 1： 通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点 C 与两个定点 O、 A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中 “ 直线斜率 ”的直接运用 ； 2 引例 2： 通过圆的基本性质，寻找动点 C 与两个定点 A、 合不等式的性质进行转化 ，其实质是高中“ 柯西不等式 ”的直接运用； 3 引例 3： 本例动点的个数由 引例 1、引例 2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意 动点 D、 E 与一个定点 0），构造弦 径所在的直角三角形，从而转化为弦P 之间的数量关系，其实质是高中“ 正弦定理 ”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透 . 二、解题策略 1直观感觉，画出图形； 2特殊位置，比较结果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化 . 2 考展望与题型训练 例一、斜率运用 A 点的坐标为（ 2， 1），以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为 A 上的一个动点，请探索 n+m 的最大值 例二、 圆外一点与圆的最近点、最远点 1如图，在 ， 0， ， ， 点 面 内 的 一 个动 点，且 ，D 的中点，在 D 点运动过程中，线段 . 2 如图， ， 个 定点 ， 0， 动点 点出发沿半圆弧 点运动（点 在直径 ， 当 点时运动停止，在运动过程中，过 点 P 的垂线 点 （ 1）在点 线段 的取值范围为 ； （ 2）在点 线段 的最大值为 . 例三、 正弦定理 1 如图， ， 0 ， 5 ， 2， O 分别交 ， 连接 线段 2. 如图，定长弦 B 为直径的 点 C、 、 ， D 的中点， 过点 P 点 P， 若 ， ，则 3 例四、 柯西不等式、配方法 1如 图，已知半径为 2的 O 与直线 ，点 点 足为 C， O 交于点 D，连接 长为 x（ 2 x 4） ，则 当 x= 时， 且 最大值是 为 . 2如图，线段 ， B 上的一个动点，以 边作等边 ). 2 3在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心， 2 为半径画 O， P 是 O 上一动点，且 点 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，线段 度的最小值是 . 例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 1如图， 在 ， C=90， ， ， D 为 上一点 ，过点 D 作 垂线交直线 ，则线段 . 2 如图， ， C=90， A=30 ， ，以 的一点 O 为圆心 半径作 O，若 括 B、 则线段 取值范围是 . 4 3 如图， O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点， O 于点 Q，则 最小值为（ ） A B C 3 D 2 例五、其他知识的 综合 运用 1.（ 2015济南 ）抛物线 y=（ a 0）过点 A（ 1， 1）， B（ 5， 1），与 y 轴交于点 C （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）如图 1，连接 边作 点 P 在直线 方的抛物线上， Q 为坐标平面内的一点，且 面积为 30，求点 P 的坐标； （ 3）如图 2， 点 A、 B、 C 三点， 直径，点 M 为 上的一动点（不与点 A， 直角，边 延长线交于 N，求线段 度的最大值 2.（ 2013 秋 相城区校级期末）如图，已知 A、 B 是 O 与 x 轴的两个交点， O 的 半径为1， P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线 别交直线 x=2 于 C、 D 两点， E 为线段 中点 （ 1）判断直线 O 的位置关系并说明理由； （ 2）求线段 的最小值； （ 3）若 E 点的纵坐标为 m，则 m 的范围为 5 型训练】 1如图，已知直线 l 与 ， ， ， ， ，若在 ，使 C 为底边的等腰三角形，则 . 2 已知：如图， B=90， A=30， 点出发，沿 速度向 B 点方向运动，当点 t 0)时，以 C 相切于点 D，与边 、 G 射线 G. （ 1）若点 C 上，则 ； （ 2）若点 C 的延长线上，则 . 3 如图， M， N 的半径 分别为 24心距 0P 为 M 上的任意一点， N 上的任意一点，直线 连心线 l 所夹的锐角度数为 ，当 P、 Q 在两圆上任意运动时， 的最大值为 ( ).(A) 612； (B)43； (C) 33； (D)344如图，在矩形 ， ， ， O 为矩形 为半径作 D，接 ). (A)4 (B)215(C)358(D)1745 如图，在 C=90， ， ，经过点 B 相切 的动圆与 、 Q， 则线段 ). A 194B 245C 5 D 42 6如图，在 等腰 C=90， C=4， 重合）， 过 A、 D、 O， ， 在此运动变化的过程中，线段 度的最小值为 7如图， A、 2， 0)、 (0， 2)， 0)，半径为 1，若 段 ，则 ). A 2 B 1 C. 222 6 如图，已知 A、 B 两点的坐标分别为 (0)、 (0， 1)， 0， 半径为 1， 线 ，则 ). A 3 B 113C 103D 4 9 如图， 等腰 0， C=4， ，点 边 ，则切线长 度 的最小值为 ( ). A. 7 C. 3 0 如图 60，半径长 1的 为半径的 P 交射线 D、 E 两点，连接 线段 度的 范围为 . 11在直角坐标系中，点 3， 0），点 P（ ）是第一象限内一点，且 ，则 的范围为 . 12在坐标系中，点 A 的坐标为（ 3， 0），点 P是 ，点 y=x+1上一动点，且 点 P，则 B P m，则 m 的取值范围是 . 13在平面直角坐标系中， M（ 3， 4）， 为圆心， 2为半径的 A（ ）、 B（ 1， 0），连接 . 蔡老师 点评： 与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几 何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积 )等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法； 2几何定理 (公理 )法； 3数形结合法等 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性 (目标不明确 )，解题时需要运用动态思维、数形结合 、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 7 参考答案： 引例 1. 解： C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当 圆 A 相切（即到 C 点）时， 小， ， ，由勾股定理得： ， 0， 0， 0， = ， 随着 C 的移动， 来越大， C 在第一象限， C 不到 x 轴点，即 90， ，故答案为： m 引例 1 图 引 例 2 图 引例 2. 2 ； 原题： （ 2013武汉模拟）如图，在边长为 1 的等边 ，以边 直径作 D，以 A 长为半径作圆 O， C 为半圆 不与 A、 B 重合的一动点，射线 O 于点 E， BC=a， AC=b （ 1）求证： AE=b+ a； （ 2）求 a+b 的最大值； （ 3）若 m 是关于 x 的方程： ax=一个根，求 m 的取值范围 【考点】圆的综合题 【分析】（ 1）首先连接 等边三角形，可得 0，又由圆 周角定理，可求得 E 的度数，又由 D 的直径，可求得 长，继而求得 AE=b+ a； （ 2）首先过点 C 作 H，在 ， BC=a， AC=b， ，可得（ a+b） 2= a2+2+2B=1+2+2+，即可求得答案； （ 3）由 ax=得（ x b）（ x+b+ a） =0，则可求得 x 的值，继而可求得m 的取值范围 【解答】解：（ 1）连接 等边三角形， 0， 0， 直径， 0， BC=a， a， a， AC=b， AE=b+ a； 8 （ 2）过点 C 作 H，在 ， BC=a， AC=b， ， a2+， S C= H， C=H， （ a+b） 2=a2+2+2B=1+2+2+， a+b ， 故 a+b 的最大值为 ， （ 3） ax= ， （ x+b）（ x b） + a（ x b）=0， （ x b）（ x+b+ a） =0， x=b 或 x=（ b+ a）， 当 m=b 时， m=b=， 0 m 1， 当 m=（ b+ a）时，由（ 1）知 m，又 ， 1 m2， 2m 1， m 的取值范围为 0 m 1 或 2m 1 【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 引例 3. 解：连接 P 点作 直 点 M，过 O 做 F，连接图， 0， 20 D， 0， EP P 与 A、 O 共线时，且在 O 点右侧时， P 直径最大 O 与 边均相切，且 0， 0， ， =2， +1=3， 故答案为： D。 【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出 间的关系，再解决切线的性质来解决问题本题属于中等难度题 ，难点在于找到 半径 间的关系，只有找到 间的关系，才能说明当 A、 O、 P 三点共线时 大 引例 3 图 例一、斜率运用 【考点】切线的性质；坐标与图形性质【专题】探究型 【分析】设 m+n=k，则点 P（ m， n）在直线 x+y=k 上，易得直线 y= x+k 与 y 轴的交点坐标为（ 0， k），于是可判断当直线 y= x+k 与 A 在上方相切时， k 的值最大；直线 y= x+k与 x 轴交于点 C，切 A 于 P，作 x 轴于 D， E，连接 图，则 C（ k，0），利用直线 y= x+k 的性质易得 5，则 等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得 B=1， B=k+2，所以四边形 5，则 B=1， ，所以 E+1，然后在 用 到 2+k= （ +1），解得 k= 1，从而得到 n+m 的最大值为 1 【解答】解：设 m+n=k，则点 P（ m， n）在直线 x+y=k 上，当 x=0 时， y=k，即直线 y=x+k 与 y 轴的交点坐标为（ 0， k），所以当直线 y= x+k 与 A 在 上方相切时， k 的值最大， 9 直线 y= x+k 与 x 轴交于点 C，切 A 于 P，作 x 轴于 D， E，连接 图， 当 y=0 时， x+k=0，解得 x=k，则 C（ k， 0）， 直线 y= x+k 为直线 y= x 向上平移 5， 等腰直角三角形， A 的切线， B=1， B=k+2， 四边形 矩形， 5， B=1， 等腰直角三角形， ， E+1，在 ， 2+k= （ +1），解得 k= 1， n+m 的最大值为 1 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题解决本题的关键是确定直线 y= x+k 与 A 相切时 n+m 的最大值 例二、 圆外一点与圆的最近点、最远点 1. 解：作 中点 E，连接 直角 ， = =5， E 是直角 边 的中点， M 是 中点， E 是 中点， 在 ， 1+1，即 故答案是： 2.（ 1） 2 3 4 3；（ 2） 2 2 13 ； 变式题： （ 2011邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中， O 的直径 ，不同侧有定点 C 和动点 P， 其运动过程是：点 P 在弧 滑动，过点 C 作 垂线，与 延长线交于点 Q （ 1）当 时， O 相切； 此时 （ 2）当点 P 运动到与点 C 关于 称时，求 长； （ 3）当点 P 运动到弧 中点时，求 长 10 【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形 【专题】计算题 【分析】（ 1）当 圆 O 的切线时， 圆 O 的切线，此时 圆的直径，由 直于直径 到 切线，即可得到 长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形 ，利用锐角三角函数定义即可求出 长； （ 2）当点 P 运动到与点 C 关于 称时，如图 1 所示，此时 D，由 圆O 的直径，得到 直角，在直角三角形 ，由 长，利用锐角三角函数定义求出 长，再由三角形 面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高 一半来求，求出 长，得到 长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到 值，由 长即可求出 （ 3）当点 P 运动到弧 中点时，如图 2 所示，过点 B 作 点 E，由 P 是弧 到 5，得到三角形 等腰直角三角形，由 长，求出 长，在直角三角形 ，由 到 用三角函数定义求出 长，由 E 求出 长，即可求出 长 【解答】解：（ 1）当 圆心 O，即 圆 O 的直径时， O 相切，理由为： 圆 O 的直径， 圆 O 的切线，此时 ； ， = = ，则 ；故答案为： 5； ； （ 2）当点 P 运动到与点 C 关于 称时，如图 1 所示，此时 D， 图 1 图 2 又 O 的直径， 0， ， ， ， ， 又 S C= D， C=D，即 34=5 ， ， 在 ， 0， = ； 11 （ 3）当点 P 运动到弧 中点时，如图 2 所示，过点 B 作 点 E， P 是弧 中点， 5， E=2 ，又 = ， = ， E+ + = ， 由（ 2）得， 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 再变式： 如图 3时， 长。 图 3 例三、 正弦定理 1. 解：由垂线段的性质可知，当 边 的高时，直径 短， 如图，连接 O 点作 足为 H， 在 ， 5， D=2，即此时圆的半径为 1，由圆周角定理可知 0， 在， E = ，由垂径定理可知 ，故答案为： 例三 1 答图 例三 2 答图 2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理 【分析】当 ， 最大，连接 出矩形 出 C，求出 即可 【解答】解：法 ：如图：当 ， 最大，连接 M 为 点， O， 0， 四边形 矩形， C， O 直径 ， 半径 ，即 ，故答案为： 4 法 ：连接 据 0，所以 C， M， O， P，四点共圆，且 直径连接 E 的一条弦，当 直径时 大，所以 O=4 时 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的 位置，题目比较好，但是有一定的难度 12 例四、 柯西不等式、配 方法 1. 过 O 作 足为 E， O 的弦， D， 又 0， 四边形 矩形， A=2，又 PC=x， D=CE=x 2， （ x 2）， C PD=x 2（ x 2） =x 2x+4=4 x， D=2（ x 2） （ 4 x） = 22x 16= 2（ x 3） 2+2， 2 x 4， 当 x=3 时，D 的值最大，最大值是 2 第 1 题答图 第 2 题答图 2. 解：如图，分别作 A 与 B 角平 分线，交点为 P 是等边三角形， 直平分线 又 圆心 O 在 直平分线上，则交点 P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点 连接 半径 短，则 0， ， B， C=2， 在直角 ， C 故选： B 3. 解：（ 1）线段 度的最小值为 4，理由如下：连接 O 于 P， 中点 C， P 时 ， 短， 即 短，此时 故答案为： 4 （ 3 题答图） 例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 1. 求 小值，就是求半径 最小值。 2. 4333； 3. 【考点】切线的性质【专题】压轴题 【分析】因为 切线，所以 又 定值，所以当 小时， 小根据垂线段最短，知 时 小根据勾股定理得出结论即可 13 【解答】解： O 于点 Q， 0， ， 4，即 ，当 小时， 小， 点 O 到直线 l 的距离为 3， 最小值为 3， 最小值为 = 故选 B 【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定 小时点 P 的位置是解题的关键，难度中等偏上 例五、其他几何知识的运用 1. 解：（ 1）将点 A、 B 的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： 抛物线得解析式为 y=6x+4 （ 2）如图所示： 设点 P 的坐标为 P（ m， 6m+4） ， 平行四边形的面积为 30， S 5，即： S 梯形 S S m（ 5+6m+4+1） 55 （ m 5）（ 6m+5） =15 化简得： 5m 6=0，解得： m=6，或 m= 1 m 0， 点 P 的坐标为（ 6， 4） （ 3）连接 圆的直径， 0 又 A（ 1， 1）， B（ 5， 1）， 点 横坐标为 3， 将 x=0 代入抛物线的解析式得： y=4， 点 C 的坐标为（ 0， 4）设点 坐 标为（ 3， m）， 1A， ，解得： m=2， 点 坐标为（ 3，2）， ，在 ，由勾股定理得：= =6， 点 E 的坐标为（ 5， 5） ， 当 直径时， 大，此时 大 E=2 ， =3 2. 【考点】圆的综合题【专题】综合题 【分析】（ 1）连接 x 轴交于点 F要证 O 相切，只需证 0，只需证 0，由 B 可得 需证 需证 D，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题 14 （ 2）连接 于 求线段 的最小值，只需求 的最小值，在 知，只需求出 最小值就可 （ 3）设 O 与 y 轴的正半轴的交点为 Q，由图可知：点 P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，而点 P 在点 Q 时，点 E 的纵坐标为 1，由此就可得到 m 的范围 【解答】解：（ 1）直线 O 相切 证明：连接 x 轴交于点 F O 的直径， 0 E 为 中点， E= B， 0， 0， O 的半径， O 的切线 （ 2）连接 0， ， 1 当 ， F=2，此时 短， 小值为 3，即 小值为 ， 线段 的最小值为 2 （ 3） 设 O 与 y 轴的正半轴的交点为 Q， 由图可知：点 P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点 E 的纵坐标越来越小，当点 P 在点 Q 时，由 得点 E 的纵坐标为 1 点 P 是圆上第一象限内的一个动点， m 的范围为 m 1 【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求 最小值转化为求 最小值是解决第（ 2）小题的关键 【题型训练】 1. 解：连接 图 1， O 于 B， 0， 0， 0， B， C，作出线段 垂直平分线 图 2， ，又 圆 O 与直线 交点， r， 2r，即： 100 0， r2 0，直线 l 与 O 相离， r 10， 2 r 10故答案为： 2 r 10 15 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理， 直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度 （ 2004无锡）已知：如图， ， B=90， A=30， O 从 每秒 速度向 B 点方向运动，当点 O 运动了 t 秒（ t 0）时，以 C 相切于点 D，与边 交于 E、 F 两点过 E 作 射线 G （ 1）若 E 与 B 不重合，问 t 为何值时， 似？ （ 2）问：当 t 在什么范围内时，点 G 在线段 ？ 当 t 在什么范 围内时，点 G 在线段 （ 3）当点 G 在线段 （不包括端点 B、 C）时，求四边形 面积 S（ 于时间 t（秒）的函数关系式，并问点 O 运动了几秒钟时， S 取得最大值最大值为多少？ 【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定 【专题】综合题；压轴题；分类讨论 【分析】（ 1）连接 么 0， 0由于 0，因此 0，因此本题可分两种情况进行讨论： 当 0， 0时， 0这样 等，那么 G 和 C 重合 当 0时，可在直角 ，根据 A 的度数和 长表示出 长，也就能表示出 长，由于 A= 0，那么 E，可在直角 ，用 长表示出 而根据 出的关于 比例关系式即可求出此时 t 的值 （ 2）本题可先求出 表达式，然后令 可得出 G 在 长线上时 t 的取值范围 （ 3）由于四边形 是规则的四边形，因此其面积可用 面积 面积 面积来求得在前两问中已经求得 表达式，那么就不难得 16 出这三个三角形的面积据此可求出 S， t 的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出 S 的最大值及对应的 t 的值 【解答】解：（ 1）连接 O 于点 D， ， A=30，t， F= t， A又 0 30=60， 0， D= 0， 似 B= 0， 当 0， （ 6 t）则 0= 时 G 与 C 重合， =2 ， t， = ， = ， t= ； 当 0 ， 0， ， t 在 ， A=30， ， 2， ， 2 解得 t= 答：当 t 为 或 时， 似； （ 2） O 于点 D， ， A=30， t， 0， 0在 ， B=90， A=30， ， ， t ， 0， E18 t当 018 t6，即 t4 时，点 G 在线段 ；当 18 t 6，即 0 t 时，点 G 在线段 延长线上； （ 3）过点 D 作 M在 ， A=30， t S=SSS6 27 t= （ t ） 2+ （ t4） 所以当 t= 时， s 取得最大值，最大值为 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点 4. 解：当 P 点移动到平行于 与 D 相切时， 积的最大，如图， P 是 D 的切线， 直与切线，延长 M，则 17 在矩形 ， ， ， =5， ， 0， = ， ， ， ， D+ = ， 最大面积= M= = ， 故选 D （ 4 题答图） （ 5 题答图） 【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出 P 处于什么位置时面积最大； 5. 解：如图，设 中点为 F，圆 F 与 切点为 D，连接 0， ， ， 0， D= D 当点 F 在直角三角形 斜边 高 时， D 有最小值， CB=选：B 7. 解：若 面积最小，则 C 相切，连接 ， ， C+；由勾股定理，得： ； S D= ；易证得 =（ ） 2=（ ） 2= ， 即 S S ； S S 22 =2 ； 另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选： C （ 7 题答图） （ 8 题答图） 8. 解：当射线 C 相切时， 积的最大连接 0， C， D， O=2， 连接 EF=x， F ， ， = ，即 = ，解得 x= ， S = = 故选：B 18 【点评】本题是一个动点 问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线 C 相切时， 积的最大 9. 解：当 ， 长最短在直角 ， = =4 ， C 的切线， 0， = = 故选 A 【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当，线段 短是关键 （ 9 题答图） （ 10 题答图） 10. 解：连接 延长，与 于 F 点，与圆 O 交于 P 点，此时线段 大， 连接 得 F 为 中点， 0， D， 等边三角形， 角平分线，即 0，在 ， ， 0， ， A=P=3，在 ， 0， ， ，根据勾股定理得：= ，则 同理可得： 最小值为 2 33， 2 3 3 33 。 ； ； 13. 解：设 P（ x， y）， x+1） 2+ x 1）2+ =2（ x2+2， x2+ ，当点 P 处于 得最值， 最大值为 M=5+2=7， 大值为100 【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点 P 坐标，将所求代数式的值转化为求解 最大值，难度 较大 19 附： 线 分别与 x、 y 轴交于点 A、