怎样理解思维的深度与理解的宽度

思维的深度与理解的宽度 要做大气的小学数学教师 未来的教育应当充分地彰显人与动物的最大区别 会的不要教 要 教的是不会的 人与动物最本质的区别是什么呢 我认为是人有想 象能力 抽象能力 而动物没有 10 月 20 日于杭州举行的首届中国小学数学教育峰会上 义务教育 数学课程标准 实验稿 修订组组长 东北师范大学校长史宁中 从追溯教育的本原开始 进行了他激情澎湃的演讲 小学那点知识不到半年就学会了 为什么要用 6 年的时间来学习呢 就是要培养能力 他进而发问 教育是干什么用的呢 是要培养素质的 什么素质 向上的精神 学习的兴趣 创造的激 情 社会的责任感 他认为 一个优秀的教师最根本的表现 就是他教的孩子愿不愿意 读书 这次修改课标 对一堂好课也进行了界定 好课除了要传授知识 还要培养学生学习的兴趣和良好的学习习惯 在常人看来 良好的学习习惯无非就是课前预习 上课认真听讲 课后复习 但是史宁中校长认为 良好的学习习惯绝不是这些 孩子的学习兴趣很大程度上在于他的好奇心 小孩子提前预习过了 他到学校还听不听讲 好奇心没有了 你怎么去激发他的兴趣 而 且孩子的判断能力不是很强 他都不知道他懂没懂 其实没懂 他 以为他懂了 又不听老师讲课了 这知识不就夹生了吗 我觉得良好的学习习惯第一条就是集中精力 我带了很多博士生 有些人思考就是不深人 后来我发现他们的问题出在不能集中精力 史宁中校长说 小学生精力集中的时间 一般只有十几分钟 最多 20 来分钟 老师就要在这十几二十分钟内把你要讲的东西讲出来 如果老师掌握了知识的本质以后 再精炼语言 肯定能在 20 分钟内 讲完 而反复地唠叨 重复 反而分散了学生的精力 作为国内研究统计与概率的数学大家 史宁中校长甚至认为 学数 学不用笔不用纸 用脑袋想就能想出来 而这正是锻炼一个人集中 精力思考问题的办法 教师应该引导学生真正集中精力来思考问题 数学是思维的科学 培养思维能力也一再被我们的数学教育所强调 然而在这次峰会上 学生不会思考的问题被一再提起 这是为什么 呢 史宁中校长深有感触地讲了个故事 北京大学一位数学系教授在期中考试的时候出了这样一道题 给出 一个条件 一个结论 但没有说从该条件推导出结论这一命题是正 确的 请学生判断该命题的正误 如正确 给出证明 如错误 举 出反例 结果 全班没有一个人做出来 这说明什么 说明我们的学生没有判断力 还没有真正学会如何思 考问题 我们只会做给出条件又给出正确结论的证明题 史宁中校长认为 对思维过程的忽视 是当下教学教育的一个普遍 现象 我们的老师讲课 往往是从中间开始讲 其实一开始的思维过程往 往很重要 却被扔掉了 老师看学生学得怎么样 也只看答案对不 对 知识是什么 是思考的结果 经验的结果 仅仅结果的教育是不能 教智慧的 智慧往往表现在过程中 有关过程的东西只有通过过程 来教 过程的教育能够培养我们的孩子正确的思考方法 最终培养 孩子数学的直观 因此我们要强调过程的教育 在过程中判断他的 思维是不是对的 而教师启发学生思考最好的办法 就是和学生一起思考 那么 有没有相应的评价体系来推动数学教育走向思考 走向过程 呢 同时负责数学教育质量监测标准制定的史宁中校长透露 未来 这一具有导向性的评价标准将有两个重大变化 第一 不要求计算速度 算对即可 有一种说法在学校很流行 一 看就会 一算就对 这是不行的 数学是需要思考的 不是培养技 术工 以后考试不要题量太大 第二 强调在理解上的掌握 他举例说 比如三角形内角和 180 度 你仅仅知道这个不算理解 你也应该知道 一个三角形里不能有两 个钝角 一个四边形内角和是 360 度 这些一步就能得到的结论都 应算在理解的范畴 理解没有内容是不行的 以此观之 中国未来小学数学教育将转入更加注重内涵的改革深化 阶段 其一 注重思考力的培养 其二 注重过程性经验的积累 其三 注重真正意义上的 理解 研究学生是当下的一个紧迫课题 10 年前主持研制了我国义务教育 数学课程标准 实验稿 的刘坚 教授 注 教育部基础教育课程教材发展中心主任助理 一个深切 的感受是 我们的数学教育 研究学生 远远不够 2004 年 他就在呼吁要研究学生 读懂学生 此次峰会 他再次重 申这一话题 没有对学生数学学习过程的深切体验 没有发现儿童 学习数学的独特性和多样性 就不可能发自内心地尊重学生 热爱 学生 让学生成为学习的主人就会永远停留在口头上 我们今天依然需要研究学生 研究他们是如何思考问题的 不要以 为只要老师讲清楚了 学生就明白了 一堂中学数学课 讲一元二次方程的一般表达式 ax bx c 0 一个 学生说 老师 这怎么能是一元二次方程的一般表达式呢 一个复 杂的二次三项式刚刚等于零 太特殊了 我认为一般表达式应写成 ax bx c d 刘坚教授评论说 字母表示数 小学就讲的内容 到高中都有学生 弄不清楚 这可以说是初等代数中最重要的一人核心概念 中小学 生真正理解并能自如地运用是一件十分困难的事情 教学中一定要 给机会让学生充分表达 呈现自己的想法与困惑 另一个例子 让他印象更为深刻 老师讲完有理数运算法则后问 3 4 等于多少 一个学生说 等于 9 好的 请坐 另一个学生说 等于 1 2 说说你是怎么做的 课后调查第一个学生为什么会得出 9 学生说 先从数轴上找到 3 这个点 从此出发 向相反方向移动 4 次 每次 3 个单位 也就是 4 个 3 于是得到 9 多么好的数学思维 尽管结果是错的 然而 因为结果是错的 学 生往往就没有机会表达自己的想法 而另一个学生按规则做 做对 了 就可以得到表扬 这会鼓励怎样的学习文化 虽然早已不是第 一次讲这个例子 但每次讲刘坚教授都特别激动 他引述著名数学家 数学教育家波利亚的话说 教师在课堂上讲什 么当然是重要的 然而学生想的是什么则更加千百倍的重要 其实奥苏贝尔也说过类似的话 如果一定要把教育心理学归纳为一 句话的话 那我只能说要千方百计弄清楚儿童已经知道了什么 当下 我们对学生如何学习数学的研究非常有限 所以 我们一定 要去研究学生是如何学习数学的 研究个体与群体的数学学习活动 是如何发生的 从这个意义上讲 教学研究根本上是研究学生 教 学的根本改革应以研究学生为基础 数学经验需要积累 更需要提升 数学活动经验 不是一个新词 却因为进入了新修订的 数学课程 标准 而成为一个新的研究领域 经验对于学习的重要性不言而喻 杜威曾说 一盎司经验胜过一吨 理论 史宁中校长说 创新能力来自知识积累 经验积累和思维训 练 所以我们应基于学生数学经验开展有效教学 北京教育学院数理学 院副院长张丹认为 就小学数学课堂而言 有两个问题值得注意 其一 就每个抽象的数学概念而言 教学时应找找其背后有没有原 型 为什么要寻找原型 一方面 数学来自生活 另一方面 通过原 型 学生可以更好地理解数学概念的来龙去脉 比如负数比较大小 小孩子怎么能够理解这么抽象的意义呢 可以 找出温度计 负数大小的比较就容易理解了 小数的原型是什么 元 角 分无疑是重要的一个 再比如 数数活动 能给孩子们积累什么样的经验 顺序 大小 还有呢 一一对应 还有吗 计算 往前数是减法 往后数 是加法 了解了这些 我们在上这些内容的时候 也就会更加重视 经验 其二 数学经验的提升 张丹副教授说 老师们已经开始关注数学经验 但有点浅尝辄止的 感觉 有一次 一位老师上 圆的认识 这一课 他请六年级学生观察圆有 什么特点 学生答 圆圆的 没有边 没有角 这是一个小学一年 级学生都能回答出来的答案 老师没有继续挑战学生的思维 而是 直接转人他的课题 其实 一年级学生也会这么回答 这就是学生对于圆的原始经验认 识 但对六年级学生而言 老师完全可以提升经验 比如拿出一个 椭圆 你看 这也是圆圆的 没有边 没有角 为什么不用它做车 轮呢 这就开始触及圆的本质特征 张丹副教授认为 数学经验一方 面在于积累 另一方面也需要提升 经验不经过提升 内化 概括 难以成为学习的内在支撑 学科气质从哪里来 随着近年来对教师专业素养以及数学与生活的关系的关注 学科气 质渐渐进人大家的视野 数学教师应该有什么样的独特气质 什么 样的课能被称作真正好的数学课 成为很多人追问的话题 南京大学哲学系教授郑毓信认为 数学的核心是理性精神 无论课 程教学怎么改革 数学教育都要牢牢抓住数学的基本问题 什么是 数学教育的基本问题 数学思想 数学方法和数学教育思想 目前我们的数学课 在学科气质上仍有许多不足之处 比如课堂评价语言 我们听得比较多的是 很好 你真棒 这是什 么语言 社会性语言 现在的关键是怎么从社会性的用语向学科性的 用语转变 一个班级讨论文化的塑造必须经历心理的 社会的 科 学的发展阶段 而较为严重的问题是 作为学科气质的核心内容 思维的深刻性并 未受到重视 最明显的表现是 课堂思考多为即时型 长时思考几 乎为空白 而正是长时思考决定了思考的深度 获诺贝尔奖的日本数学家广中平佑说 我认为思考问题的态度有两种 一种是花费较短时间的即时思考型 一种是花费较长时间的长期思考型 所谓的思考能人 大概就是指 能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的