7-5_组合_题库学生版VIP

题库 学生 版 2 知识框架图 7 计数综合 7合 7合及其 应用 7除 法 7板法 确理解组合的意义 ； 正确区分排列、组合问题； 根据具体的问题，写出符合要求的组合； 及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的 学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如 排除 法、 插 板法等 一 、组合问题 日常生活中有很多 “分组 ”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种 “分组 ”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题 一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个 ()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 从 n 个不同元 素中取出 m 个元素 ()的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的组合数记作 一般地，求从 n 个不同元素中取出的 m 个元素的排列数 第一步： 从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有 知识要点 教学目标 组合 题库 学生 版 2 第二步：将每一个组合中的 m 个元素进行全排列，共有 根据乘法原理，得到 m m mn n P 因此，组合数 1 2 ) 11 2 3 2 1 L nn n n n n m m m（ ） （ （ ）（ ） （ ） 这个公式就是组合数公式 二 、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质： m n () 这个公式的直观意义是： n 个元素中取出 m 个元素组成一组的所有分组方法 示从 n 个元素中取出 ()个元素组成一组的所有分组方法显然，从 n 个元素中选出 m 个元素的分组方法恰是从 n 个元素中选 m 个元素剩下的 ()个元素的分组方法 例如，从 5 人中选 3 人开会的方法和从 5 人中选出 2 人不去开会的方法是一样多的，即 3255 规定 1 0 1 模块一 、 组合及其应用 【例 1】 计算： 26C， 46C； 27C， 57C （ 2 级） 【例 2】 计算： 198200C； 5556C； 98 100100 1002 （ 2 级） 【巩固】 计算： 312C； 9981000C； 2288 （ 2 级） 【例 3】 6 个 朋友聚会，每两人握手一次，一共 握手多少次？ （ 2 级） 【巩固】 某班毕业生中有 20 名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？例题精讲 题库 学生 版 2 （ 2 级） 【例 4】 （难度等级 ） 学校开设 6 门任意选修课，要求每个学生从中选学 3 门，共有多少种不同的选法 ？ （ 4 级） 【例 5】 某校举行排球单循环赛，有 12 个队参加问：共需要进行多少场比赛？ （ 2 级） 【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有 24 个队参加问：共需要进行多少场比赛？ （ 2 级） 【例 6】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与 其他所有的人赛一场，根据积分决出 冠军，循环赛共要进行78 场，那么共 有多少人参 加循环赛 ？ （ 4 级） 【例 7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3 个阶段进行，第 一 阶 段：将参加比赛的 48 名选手分成 8 个小组，每组 6 人，分别 进行单循环赛；第二阶段：将 8 个小组产生的前 2 名共 16 人 再分成 4 个小组，每组 4 人，分别进行单循环赛；第 三 阶段： 由 4 个小组产生的 4 个第 1 名进行 2 场半决赛和 2 场决赛，确 定 1 至 4 名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？ （ 4 级） 【例 8】 从分别写有 1 、 3 、 5 、 7 、 9 的五张卡片中任取两张， 做 成一道两个一位数的乘法题，问： 有多少个不同的乘积？ 有多少个不同的乘法算式？ （ 6 级） 【巩固】 9、 8、 7、 6、 5、 4、 3、 2、 1、 0 这 10 个数字中划去 7 个数字，一共有多少种方法？ （ 4 级） 【巩固】 从 分别写有 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 的 八 张卡片中任取两张， 做 成一道两个一位数的 加 法题，有多少种不同的和？ （ 4 级） 【例 9】 在 1100 中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同 的取法 ？ （ 6 级） 题库 学生 版 2 【巩固】 从 19 、 20 、 93 、 94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（ 6 级） 【例 10】 一个盒子装有 10 个 编号依次为 1 ， 2 ， 3 ， L ， 10 的球，从中摸出 6 个球，使它们 的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少 ？ （ 6 级） 【例 11】 用 2 个 1， 2 个 2， 2 个 3 可以组成多少个 互不相同的六位数 ？ 用 2 个 0 ， 2 个 1 ， 2 个 2 可以组成多少个互不相同的六 位数 ？ （ 6 级） 【例 12】 从 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 中任取三个数字，从 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？ （ 6 级） 【例 13】 从 0 、 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 这七个数字中，任取 3 个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用 1 次，比如 100、 210 就是可以组成的，而 211 就是不可以组成的） （ 2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级） （ 4 级） 【例 14】 用 2 个 1， 2 个 2， 2 个 3 可以组成多少个 互不相同的六位数 ？ 用 2 个 0， 2 个 1， 2 个 2 可以 组成多少个互不相同的六 位数 ？ （ 6 级） 【巩固】 用两个 3，一个 2，一个 1，可以组成多少个不重复的 4 位数？ （ 6 级） 【例 15】 工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件进行检查，问： （ 1）一共有多少种不同的抽法？ （ 2）抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？ 题库 学生 版 2 （ 3）抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？ （ 6 级） 【例 16】 200 件产品中有 5 件是次品，现从中任意抽取 4 件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有 1 件次品；不都是次品 （ 6 级） 【例 17】 在一个圆周上有 10 个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的 ： 直线段 ； 三角形 ； 四边形 （ 6 级） 【巩固】 平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为 端点的线段共有多少条 ？ （ 4 级） 【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个 ？ （ 4 级） 【例 18】 平面内有 12个点，其中 6 点共线，此外 再无三点共线 可确定多少个三角 形 ？ 可确定 多少条射线 ？ （ 6 级） 【巩固】 如图，问： 图 1 中，共有多少条线段？ 图 2 中，共有多少个角？ （ 4 级） C 5C 4C 3C 2C 1 .P 3P 2P 1 图 2 题库 学生 版 2 【例 19】 某班要在 42 名同学中选出 3 名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在 42 人中选 3 人站成一排，有多少种站法？ （ 6 级） 【巩固】 学校新修建的一条道路上有 12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中 2 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的 2 盏 灯，那么熄灯的方法共有多少种？ （ 6 级） 【例 20】 将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有 _种不同的方法 （ 2007 年“希望杯”第一试） （ 4 级） 【例 21】 在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法？ （ 4 级） 【例 22】 在一次考试的选做题部分，要求在第一题的 4 个小题中选做 3 个小题，在第 二题的 3 个小题中选做 2个小题，在 第三题的 2 个小题中选做 1 个小题， 有多少种不同的选法？ （ 6 级） 【例 23】 某年级 6 个班的数学课，分配给甲、乙、 丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种 ？ （ 6 级） 【例 24】 (2007 年 “迎春杯”高年级初赛 )将 19 枚棋子放入 55 的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有 _种不同的放法 （ 4 级） 【例 25】 甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型 的 气球，共 3 串，有一串是红气球 3 个，有一串是黄气球 2 个，有一串是绿气球 4 个，而且每次 射击 必须射最下面的气球，问 有 多少种不同的射法？（ 6 级） 题库 学生 版 2 绿黄红【例 26】 有 8 个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？ （ 6 级） 【例 27】 某池塘中有 A B C、 、 三只游船， A 船可乘坐 3 人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐 1 人，今有 3 个成人和 2 个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们 5 人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？ （ 6 级） 【例 28】 有蓝色旗 3 面，黄色旗 2 面，红色旗 1 面这些旗的模样、大小都相同现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号 ，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号 ? （ 4 级） 【例 29】 从 10名男生， 8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？ 恰有 3 名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选； 某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名 女生，某两名男生最多入选两人 （ 6 级） 【例 30】 从 4 名男生， 3 名女生中选出 3 名代表 不同的选法共有多少种？ “ 至 少有一名女生”的不同选法共有多少种 ？ “ 代表中男、女生都要有 ” 的不同选法共有多少种 ？ （ 6 级） 题库 学生 版 2 【巩固】 在 6 名内科医生和 4 名外科医生中，内 科主任和外科主任各一名，现要组成 5 人医疗小组送医下乡，按照下列条 件各有多少种选派方法 ？ 有 3 名 内 科医生和 2 名外科医生； 既有内科 医生，又有外科医生； 至少有一 名主任参加； 既有主任，又有外 科医生 （ 8 级） 【例 31】 在 10 名学生中，有 5 人会装电脑，有 3 人会安装音响设备，其余 2 人既会安 装电脑，又会安装音响设备，今选派由 6 人组成的安装小组，组内安装电 脑要 3 人，安装音响设备要 3 人，共有 多少种不同的选人方案 ？ （ 8 级） 【例 32】 有 11 名外语翻译人 员，其中 5 名是英语翻译员， 4 名是日语 翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出 8 人，使他们 组成两个翻译小组，其中 4 人翻译英文，另 4 人翻译日文， 这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张 ？ （ 8 级） 【 巩巩 固固 】 某旅社有导游 9 人，其中 3 人只会英语， 2 人只会日语，其余 4 个既会英语又会 日语现要从中选 6人，其中 3 人做英 语导游，另外 3 人做日语导游 则 不同 的选择方法有多少种 ？ （ 8 级） 板块二 、 排除 法 对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况 【例 33】 如图所示，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？ （ 6 级） 题库 学生 版 2 【例 34】 如图，正方形 边界上共有 7 个点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 、其中 B 、 D 、 F 分别在边 以这 7 个点 中 的 4 个点为顶点组成的不同的四边形的 个数是 _ 个 (小学数学奥林匹克决赛 ) （ 6 级） 固】 图中正方形的四边共有 8 个点，其中任意 4 点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？ （ 4 级） 【例 35】 如图，有 53 个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成个三角形 （ 4级） 【例 36】 在 100 1995 的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？ （ 4 级） 【例 37】 1 到 1999 的自然 数中，有多少个与 5678 相加时，至少发生一次进位？ （ 6 级） 【 巩巩 固固 】 所有 三位数中，与 456 相加产生进位的数有多少个？ （ 6 级） 【巩固】 从 1 到 2004 这 2004 个正整数中 ， 共有几个数与四位数 8866 相加时 ， 至少发生一次进位 ？ （ 6 级） 【例 38】 在三位数中，至少出现一个 6 的偶数有多少个？ （ 6 级） 【例 39】 由 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成的没有重复数字的六位数中，百位不是 2 的奇数有 个 （ 6 级） 题库 学生 版 0 2 【例 40】 从三个 0、四个 1，五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？ （ 6 级） 【例 41】 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ （ 6 级） 【例 42】 一栋 12 层楼房备有电梯，第二层至第 六层电梯不停在一楼有 3 人进了电梯， 其中至少有一个要上 12 楼，则他们到 各层的可能情况共有多少种 ？ （ 6 级） 【例 43】 8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？ （ 6 级） 【例 44】 若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的” 问一共有多少“上升的”自然数？ （ 6 级） 【例 45】 6 人同时被邀请参加一项活动 必须有 人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？ （ 6 级） 【例 46】 由数字 1， 2， 3 组成五位数，要求这五位数中 1， 2， 3 至少各出现一 次，那么这样的五位数共有_个 (2007 年“迎春杯”高年级组决赛 ) （ 6 级） 【例 47】 5 条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这 5 条直线的交点为顶点能构成几个三角形？ (构成的三角形的边不一定在这 5 条直线上 ) （ 8 级） 【例 48】 正方体的顶点 (8 个 )，各边的中点 (12 个 )，各面的中心 (6 个 )，正方体的中心 (1 个 )，共 27 个 点，以这 27 个点中的其中 3 点一共能构成 多少 个三角形 ？ （ 6 级） 【例 49】 用 A、 B、 C、 D、 E、 F 六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（ 6 级） 题库 学生 版 1 2 【 解解 析析 】 板块三 、 插板法 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参与分物体的组至少都分到 1 个物体，不能有没分到物体的组出现 在有些题目中，已知条件与上面 的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法 使用插板法一般有如下三种类型： m 个人分 n 个东西，要求每个人至少有一个 这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的 ( 1)n个空隙中放上 ( 1)m 个插板，所以分法的数目为 11 m 个人分 n 个东西，要求每个人至少有 a 个 这个时候，我们先发给每个人 ( 1)a 个，还剩下 ( 1)n m a个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型来处理就可以了 所以分法的数目为 1( 1) 1mn m m 个人分 n 个东西，允许有人没有分到 这个时候，我们不妨先借来 m 个东西，每个人多发 1 个，这样就和类型一样了，不过这时候物品总数变成了 ()个 ，因此分法的数目为 11 【例 50】 有 10 粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？ （ 4 级） 【巩固】 小红有 10 块糖，每天至少 吃 1 块， 7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？ （ 6 级） 【巩固】 (2008 年西城实验考题 )有 12 块糖，小光要 6 天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法 （ 6级） 【巩固】 （ 2009 年十三分小升初入学测试题） 把 5 件相同的礼物全部分给 3 个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有 种 （ 6 级） 【巩固】 把 7 支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙 3 个人，每人至少