7-7 容斥原理_学生版

奥数周周练 容斥原理 1 【例 1】 一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错 3 道题，两人都答错的题目是题目总数的16。求甲、乙都答对的题目数 . 【例 2】 在 1100 的全部自然数中，不是 3 的倍 数也不是 5 的倍数的数有多少个 ？ 【巩固】 在 从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个 ? 【巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数。 【巩固】 50 名 同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按 1， 2， 3， 49， 50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名 ? 奥数周周练 容斥原理 2 【巩固】 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下： （ 1）标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔； （ 2）标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅笔； （ 3）标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖； （ 4）其他标签号均奖 1 支铅笔 那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支 ? 板块二、三量重叠问题 【例 3】 某 班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 34 人，手中有黄旗的共有 26 人，手中有蓝 旗的共有 18 人 其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6 人 而 手中只有红、黄两种小旗的有 9 人，手中只有黄、蓝两种小 旗的有 4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3 人，那么这个 班共有多少人 ？ 【巩固】 某 班有 42 人，其中 26 人爱打篮球， 17 人 爱打排球， 19 人爱踢足球， 9 人既爱打 篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又 爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好 问：既爱打篮球又爱打排球的有几人 ？ 【例 4】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动其中有 24 人参加了数学小组， 20 人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 3 5 倍，又是 3 项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人求参加文艺小组的人数 奥数周周练 容斥原理 3 【巩固】 五 年级三班学 生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有 25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组， 27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人，语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人求这个班的学生人数 【巩固】 五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动，其中 24 人参加了绘画小组， 20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 ，又是三项活动都参加人数的 7 倍，既参加朗 诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。 【例 5】 三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上 (如图 )，三个纸片共同重叠的面积是 10平方厘米 三个纸片盖住桌面的总面积是 100 厘米 问：图中阴影部分面积之和是多少 ？ 【巩固】 如图，已知甲、乙、丙 3 个圆的面积均为 30，甲 与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6， 8， 5，而 3 个圆覆盖的总面积为 73求阴影部分的面积 容斥原理 4 【例 6】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60 平方厘米阴影部分的面积总和是 40 平方厘米， 3 张板盖住的总面积是 100 平方厘米， 3 张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ 【巩固】 如 图所示， A 、 B 、 C 分别是面积为 12 、 28 、 16 的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在 外面的总面积为 38 若 A 与 B 、 B 与 C 的公共部分的面积分 别为 8 、 7 ， A 、 B 、 C 这 三 张纸片的公共部分为 3 求 A 与 C 公共部分的面积是多少 ？ 【例 7】 在某个风和日丽的日子， 10 个同学相约去野餐，每个人都 带了吃的，其中 6 个人带了汉堡， 6 个人带了鸡腿， 4 个人带 了芝士蛋糕，有 3 个人既带了汉堡又带了鸡腿， 1 个人既带 了鸡腿又带了芝士蛋糕 2 个人既带了汉堡又带了芝土蛋 糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？ 【巩固】 盛夏的一天，有 10 个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有 5 人；可乐、雪碧都要的有 3 人；可乐、橙汁都要的有 2 人；雪碧、橙汁都要的有 2 人；三样都要的只有 1 人，证明其中一定有 1 人这三种饮料都没有要 容斥原理 5 【例 8】 (2008 年西城实验考题 )新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人； 50 人没有参加演奏； 10人同时参加了跳舞 和合唱但没有参加演奏； 40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 _人 【巩固】 五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数的 5 倍，并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？ 【巩固】 某学校派出若干 名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为 10、 15、 20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？ 科学 51 人文艺 56 人17154体育 55 人 容斥原理 6 【例 9】 全班有 25 个学生，其中 17 人会骑自行车， 13 人会游泳， 8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀 若全班有 6 个人数学不及格，那么， 数学成绩优秀的有几 个学生 ？ 有几个人既会游泳，又会滑冰 ？ 【巩固】 五年级一班共有 36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个小组，若参加 5人，参加 B 组的人数仅次于 A 组，参加 C 组、 D 组的人数 相同，参加 E 组的人数最少，只有 4 人那么，参加 B 组的有 _人 【例 10】 以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【例 11】 (2008 年西城实验考题 )在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、 5、 7 中两个数的倍数的数共有 个 【巩固】 有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号 为 1， 2， 3， 2000，然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5 的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？ 奥数周周练 容斥原理 7 【巩固】 在 从 1 到 1998 的自然数中，能被 2 整除，但不能被 3 或 7 整除的数有多少个？ 测试 4、 光 明小学组织棋类比