2010届高三数学专题测试——立体几何

1 2010 届高三数学专题测试届高三数学专题测试 立体几何立体几何 一 选择题 1 下列命题中 正确的是 A 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 B 如果一个平面内两条直线都平行于另一平面 那么这两个平面平行 C 如果两条直线都平行于同一平面 那么这两条直线平行 D 如果一条直线上有两个点到一个平面的距离相等 那么这条直线和这个平面平行 2 设 a b c 是不同的直线 是不同的平面 下列三个命题 1 若 a b 则 a 与 c 所成的角和 b 与 c 所成的角相等 2 若 a b 则 a 与 所成的角和 b 与 所成的角相等 3 若 则 a 与 所成的角和 a 与 所成的角相等 其中 正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 设 表示平面 L 表示不在 内也不在 内的直线 存在下列三个事实 1 L 2 3 L 若以其中两个作为条件 另一个作为结论 则可以构成三个 命题 这三个命题中 正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 4 已知 m n 是直线 是平面 给出下列命题 1 若 则 2 若 n n 则 3 若 内不共线的三点到平面 的距离都相等 则 4 若 n m 且 n m 则 5 若 m n 为异面直线 且 n n m m 则 其中正确的两个命题是 A 1 与 2 B 3 与 4 C 2 与 5 D 2 与 3 5 空间有 6 个点 任意四点都不共面 过其中任意两点均有一条直线 则成为异面直线 的对数为 A 15 B 30 C 45 D 60 6 是不重合的 2 个平面 在上任取 5 个点 在上任取 4 个点 由这些点所确 定的平面的个数最多是 A 42 个B 70 个C 72 个D 84 个 7 若平面 平面 又直线 直线 且 则 m l ml A mB lC m且D m或 ll 8 已知二面角是直二面角 P 为棱 AB 上一点 PQ PR 分别在平面 AB 内 且 45RPBQPB 则QPR 为 A 45 B 60 C 120 D 150 二 填空题 9 正方体的棱长为 由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是 a 10 平行六面体的棱长均为 4 由同一顶点出发的三条棱上分别取 PA1 2 PB 3 PC 则三棱锥ABCP 的体积与平行六面体的体积之比是 11 在正方体 1111 DCBAABCD 中 二面角 111 BCAD 的度数是 12 正方形ABCD被对角线 BD 和以 A 为圆心 AB 为半径的圆弧分成三部分 绕 A BD 2 AD 旋转 所得旋转体的体积 321 VVV 之比是 12 题 13 题 14 题 13 如图所示 空间四点 A B C D 中 每两点所连线段的长都等于 a 动点 P 在线 段 AB 上 动点 Q 在线段 CD 上 则 P 与 Q 的最短距离为 14 如图所示 ABCD 与 ABEF 均是边长为 a 的正方形 如果二面角 E AB C 的度数为 30 那么 EF 与平面 ABCD 的距离为 15 已知 AOB 90 过 O 点引 AOB 所在平面的斜线 OC 与 OA OB 分别成 45 60 则以 OC 为棱的二面角 A OC B 的余弦值等于 16 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2 3 则这个三棱锥的侧面和底面所成 二面角的度数为 三 解答题 17 已知四边形 ABCD 为直角梯形 AD BC ABC 90 PA 平面 AC 且 PA AD AB 1 BC 2 1 求 PC 的长 2 求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小 3 求证 二面角 B PC D 为直二面角 18 一副三角板拼成一个四边形 ABCD 如图 然后将它沿 BC 折成直二面角 1 求证 平面 ABD 平面 ACD 2 求 AD 与 BC 所成的角 3 求二面角 A BD C 的大小 3 19 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC 3 CC1 2 如图 1 求证 平面 A1BC1 平面 ACD1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 3 求点 B1到平面 A1BC1的距离 20 长方体 1111 DCBAABCD 中 1 BCAB 2 1 AA E是侧棱 1 BB中点 1 求直线 1 AA与平面EDA 11 所成角的大小 2 求二面角BACE 1 的大小 3 求三棱锥EDCA 11 的体积 4 21 在斜三棱柱 A1B1C1 ABC 中 底面是等腰三角形 AB AC 侧面 BB1C1C 底面 ABC 1 若 D 是 BC 的中点 求证 AD CC1 2 过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1的平面交侧棱于 M 若 AM MA1 求证 截面 MBC1 侧面 BB1C1C 3 AM MA1是截面 MBC1 平面 BB1C1C 的充要条件吗 请你叙述判断理由 22 如图 已知三棱柱 A1B1C1 ABC 的底面是边长为 2 的正三角形 侧棱 A1A 与 AB AC 均成 45 角 且 A1E B1B 于 E A1F CC1于 F 1 求点 A 到平面 B1BCC1的距离 2 当 AA1多长时 点 A1到平面 ABC 与平面 B1BCC1的距离相等 5 试题答案试题答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 3 3 a 10 1 64 11 120 12 1 1 1 13 解析 以 A B C D 为顶点的四边形为空间四边形 且为正四面体 取 P Q 分 别为 AB CD 的中点 因为 AQ BQ 2 2 a PQ AB 同理可得 PQ CD 故线段 PQ 的 长为 P Q 两点间的最短距离 在 Rt APQ 中 PQ 2 2 2 2 3 2222 a aAPAQa 答案 2 2 a 14 解析 显然 FAD 是二面角 E AB C 的平面角 FAD 30 过 F 作 FG 平面 ABCD 于 G 则 G 必在 AD 上 由 EF 平面 ABCD FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离 即 FG 2 a 答案 2 a 15 解析 在 OC 上取一点 C 使 OC 1 过 C 分别作 CA OC 交 OA 于 A CB OC 交 OB 于 B 则 AC 1 OA 2 BC 3 OB 2 Rt AOB 中 AB2 6 ABC 中 由余弦 定理 得 cos ACB 3 3 答案 3 3 16 解析 设一个侧面面积为 S1 底面面积为 S 则这个侧面在底面上射影的面积为 3 S 由题设得 3 2 1 S S 设侧面与底面所成二面角为 则 cos 2 1 3 3 1 11 S S S S 60 答案 60 17 解析 1 解 因为 PA 平面 AC AB BC PB BC 即 PBC 90 由勾股定 理得 PB 2 22 ABPA PC 6 22 PCPB 2 解 如图 过点 C 作 CE BD 交 AD 的延长线于 E 连结 PE 则 PC 与 BD 所成 的角为 PCE 或它的补角 6 CE BD 2 且 PE 10 22 AEPA 由余弦定理得 cos PCE 6 3 2 222 CEPC PECEPC PC 与 BD 所成角的余弦值为 6 3 3 证明 设 PB PC 中点分别为 G F 连结 FG AG DF 则 GF BC AD 且 GF 2 1 BC 1 AD 从而四边形 ADFG 为平行四边形 又 AD 平面 PAB AD AG 即 ADFG 为矩形 DF FG 在 PCD 中 PD 2 CD 2 F 为 BC 中点 DF PC 从而 DF 平面 PBC 故平面 PDC 平面 PBC 即二面角 B PC D 为直二面角 18 解析 1 证明 取 BC 中点 E 连结 AE AB AC AE BC 平面 ABC 平面 BCD AE 平面 BCD BC CD 由三垂线定理知 AB CD 又 AB AC AB 平面 BCD AB 平面 ABD 平面 ABD 平面 ACD 2 解 在面 BCD 内 过 D 作 DF BC 过 E 作 EF DF 交 DF 于 F 由三垂线定 理知 AF DF ADF 为 AD 与 BC 所成的角 设 AB m 则 BC 2m CE DF 2 2 m CD EF 3 6 m 3 21 arctanADF 3 21 DF EFAE DF AF ADFtan 22 即 AD 与 BC 所成的角为 arctan 3 21 3 解 AE 面 BCD 过 E 作 EG BD 于 G 连结 AG 由三垂线定理知 AG BD AGE 为二面角 A BD C 的平面角 EBG 30 BE 2 2 m EG 4 2 m 又 AE 2 2 m tan AGE GE AE 2 AGE arctan2 即二面角 A BD C 的大小为 arctan2 19 解析 1 证明 由于 BC1 AD1 则 BC1 平面 ACD1 同理 A1B 平面 ACD1 则平面 A1BC1 平面 ACD1 7 2 解 设两平行平面 A1BC1与 ACD1间的距离为 d 则 d 等于 D1到平面 A1BC1的距 离 易求 A1C1 5 A1B 25 BC1 13 则 cos A1BC1 65 2 则 sin A1BC1 65 61 则 S 111 CBA 61 由于 111111 DCABBCAD VV 则 3 1 S 11BC A d S 2 1 3 1 1111 DCBYA BB1 代入求得 d 61 6112 即两平行平面间的距离为 61 6112 3 解 由于线段 B1D1被平面 A1BC1所平分 则 B1 D1到平面 A1BC1的距离相等 则由 2 知点 B1到平面 A1BC1的距离等于 61 6112 20 解析解析 1 要求线面所成角 首先需要找到这个角 为此 我们应该先作出面EDA 11 的一条垂线 不难发现 AE正为所求 由长方体 1111 DCBAABCD 知 1111 AABBAD面 又 11A ABBAE面 所以 AEAD 11 在矩形 11A ABB中 E为 1 BB中点且2 1 AA 1 AB 所以 2 1 EAAE 所以 AEA1 为等腰直角三角形 AEEA 1 所以 AE面EDA 11 所以 AEA1 就是直线 1 AA与平面EDA 11 所成的角 为 45 2 要作出二面角的平面角 一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线 则可 利用三垂线定理 或逆定理 将其作出 注意到 11BCC BAB面 所以 面 1 ABC 11BCC B面 所以 只需在 11BCC B面内过点E作 1 BCEF 于 F 则 EF面 1 ABC 过F作 1 ACFG 于 G 连 EG 则EGF 就是二面角BACE 1 的平面角 在 1 EBC 中 5 5 2 1 11 1 1 BC BCEB BC S EF EBC 所以 5 53 22 11 EFECFC 在 1 ABC 中 10 30 sin 1 111 AC AB FCGFCFCFG 在EFGRt 中 3 6 tan FG EF EGF 所以 二面角BACE 1 的平面角的大小为 3 6 arctan 3 要求三棱锥EDCA 11 的体积 注意到 2 中已经求出了点E到平面 8 11D AC的距离 EF 所以 6 1 6 1 3 1 11 111111 EFCDADEFSVV DACDACEEDCA 另一方面 也可以利用等积转化 因为 11 CDAB 所以 ABEDC 11 面 所以 点 A 到平EDC 11 面的距离就等于 点B到平EDC 11 面的距离 所以 6 1 6 1 3 1 111111 1111111 CDBCEBCDSVVV EBCEBCDEDCBEDCA 21 解 1 证明 AB AC D 是 BC 的中点 AD BC 底面 ABC 平面 BB1C1C AD 侧面 BB1C1C AD CC1 2 证明 延长 B1A1与 BM 交于 N 连结 C1N AM MA1 NA1 A1B1 A1B1 A1C1 A1C1 A1N A1B1 C1N C1B1 底面 NB1C1 侧面 BB1C1C C1N 侧面 BB1C1C 截面 C1NB 侧面 BB1C1C 截面 MBC1 侧面 BB1C1C 3 结论是肯定的 充分性已由 2 证明 下面证必要性 过 M 作 ME BC1于 E 截面 MBC1 侧面 BB1C1C ME 侧面 BB1C1C 又 AD 侧面 BB1C1C ME AD M E D A 共面 AM 侧面 BB1C1C AM DE CC1 AM DE CC1 D 是 BC 的中点 E 是 BC1的中点 AM DE 2 1 2 1 1 CCAA1 AM MA1 22 解 1 BB1 A1E CC1 A1F BB1 CC1 BB1 平面 A1EF 即面 A1EF 面 BB1C1C 在 Rt A1EB1中 A1B1E 45 A1B1 a A1E 2 2 a 同理 A1F 2 2 a 又 EF a A1E 2 2 a 同理 A1F 2 2 a 又 EF a EA1F 为等腰直角三角形 EA1F 90 过 A1作 A1N EF 则 N 为 EF 中点 且 A1N 平面 BCC1B1 即 A1N 为点 A1到平面 BCC1B1的