1-2-2_绝对值方程及非负性_题库教师版

1对值方程及非负性 题库教师版 0 内容 基本要求 略高要求 较高要求 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 板块 一 ： 绝对值非负性 【例 1】 （ 4 级 ） 若 73 2 2 1 02m n p ，则 2 3 _ _ _ _ _ _ _p n m . 【解析】 3m ， 72n， 12p， 3232p n m . 【巩固】 （ 2 级 ） 若 42 ，则 _ . 【解析】 4 ( 2 ) 2 【巩固】 （ 6 级） （第 10届希望杯 2 试）已知 a 、 b 、 c 都是负数，并且 0x a y b z c ，则 0 【解析】 根据绝对值的非负性可知 ， ， ，所以 0 【巩固】 （ 8 级） （ 2008 年学而思杯） 已知非零实数 a 、 b 、 c 满足 24 2 0a b c ，那么 【解析】 由非负性可得到 0 ，且 4 2 0a b c ， 得到 5 3 0， 所以 35，代入 可得到： 25所以 32 5552 75 【例 2】 （ 6 级） （人大附中常考试题）已知 a 为实数，且满足 2 0 0 2 0 1a a a ，求 2200a 的值 【解析】 由题意可知： 201a ，所以可得 2 0 0 2 0 1a a a ，即 201 200，所以 2201 200a ，所例题精讲 中考要求 绝对值方程及非负性 1对值方程及非负性 题库教师版 0 以原式的值为 201 【例 3】 （ 6 级） （ 2008 第二届两岸四地华罗庚杯） 设 a 、 b 同时满足 2( 2 ) | 1 | 1a b b b ； | 3 | 0 那么 【解析】 因为 | 1 | 1 ，而完全平方式非负，所以 20，且 1b 非负 又因为 | 3 | 0 ，所以 30 ，观察可知 2a ， 1b ，所以 2 【巩固】 （ 2 级 ） 已知 21 2 0 ，求 的具体取值 【解析】 由绝对值和平方的非负性我们可以知道： 12 ， 【巩固】 （ 4 级） （ 2003 年杭州市中考题）已知 2( ) 5 5a b b b ，且 2 1 0 ，那么 _ 【解析】 因为 2( ) 5 5a b b b ，我们可以知道 50b ，所以原式可以表示为： 22( ) 5 5 , ( ) 0 ,a b b b a b a b ，又因为 2 1 0 ，进 而 1 1 12 1 0 , 3 1 , , ,3 3 9a b a a b a b . 【例 4】 （ 8 级） （第 6 届希望杯 1 试）若 a 、 b 、 c 为整数，且 1 9 9 5 1a b c a ，求 c a a b b c 的值 【解析】 法一：根据题意： 19， 95为非负整数， 分类讨论： 若 0 ， 1，则 1b c a c ，此时原式 2 ； 若 1， 0，则 1b c b a ，此时原式 2 法二：从总体考虑， 、 一个为 0 ，一个为 1 ，也就是 a 、 b 、 c 有两个相同，另一个和他们相差 1 故三者两两取差的绝对值应该有 2 个 1 和 1 个 0 ，所以2c a a b b c 【例 5】 （ 8 级 ） 求满足 1ab a b 的所有整数对 【解析】 因为 1ab a b ，且 00a b a b ， ， 均为整数 所以可得 01 或者 10 由可得 01或 01 又因为 均为整数 所以31 2 41 2 3 400 1 11 0 1 0aa a ab b b b ， ， ，由得 10或 10 1对值方程及非负性 题库教师版 0 所以5611 ，综上可得：共有 6 对，分别是： 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【巩固】 （ 8 级 ） （ 03 年创 新杯数学竞赛）若 ,整数，且 2 0 0 3 2 0 0 3| | | | 1x y z x ，则 | | | | | |z x x y y z 的值是多少 ? 【解析】 2003| | 0 , | | 0x y x y ,同理 2003| | 0，所以一个为 0，一个为 1，也就是说 ,两个相同，另一个和他们相差 个 1和 1个 0，所以 | | | | | |z x x y y z =2. 当然也可以分类讨论，更 利于学生接受 . 【例 6】 （ 6 级 ） 设 a 、 b 是有理数，则 9有最小值还是最大值？其值是多少？ 【解析】 根据绝对值的非负性可以知道 0 ，则 99 ，有最小值 9. 教师可在此多多拓展形式！ 【巩固】 （ 4级） （ 2009 十三 中学单元检测）代数式 24 ( ) 最大值为 ，取最大值时， a 与 b 的 关系是 _ 【解析】 4 ，互为相反数； 【例 7】 （ 6 级 ） 已知 2 1 0a b a ，求 1 1 1. 2 2 1 9 9 4 1 9 9 4a b a b a b 的值 【解析】 由 2 1 0a b a 得 12 ， 所以 1 1 1. 2 2 1 9 9 4 1 9 9 4a b a b a b 1 1 1. 3 4 1 9 9 5 1 9 9 6 9971996 【例 8】 （ 6 级 ） 若 3 与 1999 互为相反数，求 2的值 【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道： 3 1 9 9 9 0x y x y 所以必然有 30 且 1 9 9 9 0 ， 解方程组可得： 1 9 9 9 1 0 0 1x y y ， 所以原式 2 1 9 9 9 1 0 0 1 10003x y x y yx y x y 1对值方程及非负性 题库教师版 0 板块 二 ： 绝对值方程 模块一、单重绝对值方程 【例 9】 （ 2 级） 不解方程直接判断方程 2 4 3 0x ； 32 ； 33 ； 20 无解的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【解析】 根据绝对值的非负性可知：选 B 【例 10】 （ 2 级） 解方程： 2 3 5x 【解析】 根据绝对值的意义，原方程可化为 2 3 5x 或者 2 3 5x ，解得 1x 或 4x 【例 11】 （ 4 级） （ 2010 人大附期中练习题） 解方程 1 1 2 1123 【解析】 原方程整理得： 1315x，即 1315x或者 1315x ，所以原方程的解为 85x或者 185x【例 12】 （ 4 级） 解方程 2 1 3 1 【解析】 根据两数的绝 对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以，由原方程可以得到 2 1 3 1 或 2 1 3 1 ，解得 20 ， 【巩固】 （ 6 级） 解方程 2 1 6 【解析】 本题应当分为三种情况来讨论： 当 2010，即 1x 时，原方程化为 2 1 6 ，解得 52x当 2010，即 12x 时，原方程化为 2 1 6 ，无解 当 2010，即 2x 时，原方程化为 2 1 6 ，解得 72x【例 13】 （ 6 级） 解方程 2 5 3 8 0x y x y 【解析】 因为任何数的绝对值都不小于零，所以当两数的绝对值之和为零时，只能这两个数都等于零，这样可以得 2 5 03 8 0 ，由此解得 13【例 14】 （ 6 级 ） （人大附中第一学期期中考试）已知 x y y x ，且 3x ， 4y ，求 3的值 . 1对值方程及非负性 题库教师版 0 【解析】 x y y x ， 0 且 3x ， 4y ， 当 3x ， 4y ， 0 ，所以 3 37 3 4 3 ； 当 3x ， 4y ， 0 ，不满足题意； 当 3x ， 4y ， 0 ，所以 3 311 ； 当 3x ， 4y ， 0 ，不满足题意 【例 15】 （ 6 级 ） (第 14 届“希望杯”数字竞赛试题 )方程 93 3 52x x x 的解是 【解析】 对 x 的值分 4 段讨论 若 3x 则原方程化为 93 3 52x x x ，解得： 2x 与 3x ， 矛盾； 若 30x 则原方程化为 93 3 52x x x ，解得： 29x； 若 03x 则原方程化为 93 3 52x x x ，解得： 29x； 若 3x 则原方程化为 93 3 52x x x ，解得： 2x 与 3x 矛盾；综上所述可得方程的解为 29x 【巩固】 （ 4 级） 已知 12x ， 3y ，且 x 与 y 互为相反数，求21 43 x xy y的值 【解析】 12x ， 12x ， 3, 1x； 3y ， 3y ，且 x 与 y 互为相反 数， 所以 3x ， 3y ，21 4 2 43 x xy y 【巩固】 （ 2 级） 若 1a ， 2b ， 3c 且 ，那么 a b c 【解析】 根据题意可得： 1, 2 , 3a b c ，那么 0a b c 或 2 . 【例 16】 （ 6 级） 若已知 a 与 b 互为相反数，且 4 ，求2 1a ab ba 的值 . 【解析】 a 与 b 互为相反数，那么 0 ) 1 0 1a a b b a b a b a b a b a a b a ， 4 ， 4 ， 当 4 时，且 0 ，那么 2, 2 ， 4 ； 当 4 时，且 0 ，那么 2, 2 ， 4 ； 综上可得2 41a ab ba . 【巩固】 （ 8 级） （第 15 届江苏省初中数学竞赛试题）如果 10x x y ， 12y x y ，那么 （ ） A B. 2 C. 185D. 225【解析】 讨论 x 的符号：若 x 0, 则由第一个方程的 10,y 代入到第二个方程 x =12 显然是矛盾的，从而 x 0, 1对值方程及非负性 题库教师版 0 同样的方法可以讨论 ,y 确定 y 的符号。能可到 185模块二、多重绝对值方程 【例 17】 （ 8 级 ） (五羊杯数学竞赛 )解方程： 1 1 1 1 0x 【解析】 从外到内逐渐去掉绝对值 . 1 1 1 1x ，所以 1 1 1 1x ， 所以有： 1 1 2x 或者 1 1 0x ，进而可得： 13x 或者 11x ， 当 13x 时有， 13x ，即 4x 或者 2x ； 当 11x 时有， 11x ，即 0x 或者 2x 【巩固】 （ 6 级 ） 当 01x 时，求方程 1 1 1 0x 的解 【解析】 根据 x 所在的范围，可得 0x ， 10x ，因此 11x x x x ， ，按从内到外的顺序逐个去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为： 1 1 1 0x ，即 10x ，所以 1x 【巩固】 （ 6 级） 解方程 ： 2 1 1 2x ； 【解析】 掉外层绝对值可得： 2 1 1 2x ，移项可得： 2 1 3x ，或 2 1 1x (舍去 )； 由 2 1 3x 可得 2 1 3x ，所以原方程的解为： 2x 或 1x 【巩固】 （ 6 级） 求方程 3 1 4 的解 . 【解析】 解法一： 13 1 03 ，； 3 1 0 ， 12x， 14，这 3 个零点将数轴分成 4段， 我们分段讨论研究可以得到结果为： 32x或 54x， 但其实这么做是没必要的 解法二： 当 13x时，方程可化为： 4 1 4x ， 54x， 在 13x 范围内，是方程的解 当 13x时，方程可化为 2 1 4x ， 当 2 1 4x 时，得 52x， 5123 ， 52x不是解，舍去； 当 2 1 4x 时，得 32x， 3123， 32x是方程的一个解 综上可得，原方程的解为 32x或 54x 【例 18】 （ 6 级） 解方程： 2 1 2 1 1对值方程及非负性 题库教师版 0 【解析】 先将内层的绝对值符号去掉，再对外层的绝对值进行研究 . 当 2x 时，原方程可化为： 3 2 1 ，进而可得： 3 2 1 ， 23x在 2x 的范围内，所以是原方程的解； 当 2x 时，原方程可化为： 1 2 1 ，进而可得： 1 2 1 ， 2x 不在 2x 的范围内，所以不是原方程的解； 综上可得原方程的解为 23x. 【例 19】 （ 8 级 ） 解绝对值方程： 35162 【解析】 35162 或 6 ，即 35 72x x 或 35 52x x 当 70x 时（即 7x ）， 3502x ， 35 72x x 化为 35 72x x ， 解得 9x 当 50x 时（ 5x ），若还有 3502x （即 53x）， 35 52x x ， 解得 15x 当 50x 时（ 5x ），若还有 3502x （即 53x）， 35 52x x ， 解得 1x 再来检验这三个解 9x （舍去）、 15x 、 1x 【例 20】 （ 8 级 ） 证明：方程 1 2 3x x x x 只有一个解 【解析】 这一命题既是要证明：在数轴上，到原点和 1 的两个对应点距离之和，与到 2 和 3 的两个对应点距离之和相等的点只有一个，显然， 32x是这样一个点，如图，对任何小于 32的一个数，它在数轴上的对应点位于点 32x的左侧，这时，它到原点的距离比到 3 的对应点的距离小，即 3 ，同理可得： 12 ，所以 1 2 3x x x x ，它不是方程的解，同样可以证明，任意大于 32的数也不是这个方程的解， 所以，方程只有一个解 模块三、含有字母参数的绝对值方程 【例 21】 （ 6 级） 若 21 有三个整数解，求 a 的值 【解析】 显然 0a ，则 21 ， 21 当 1a 时， 21 或者 21 ，方程有四个解： 3 1 3 1a a a a ， ， ，； 当 1a 时， 21 ，方程有两个解： 3 a ， 1a ； 当 1a 时， 22x 或 20x ，方程有三个解： 4， 0， 2 综上所得，当 1a 时，原方程有三个整数解 1对值方程及非负性 题库教师版 0 【例 22】 （ 6 级） 已知方程 1x 有一个负根而没有正根 ,求 a 的取值范围。 【解析】 当 0x 时 ; 1x ; 1 01x a( 1a );即 1a ； 当 0x 时 ; 1x ； 11x a ( 1a ), 1a ;反过来即 1a 。 【例 23】 （ 6 级） 求关于 x 的方程 1 232 的解 【解析】 原方程化为 1 232 ，需根据 a 的取值范围进行分类讨论： 当 3a 时，原方程无解 当 3a 时，方程可化为 1 202 x ，解得 4x 当 3a 时，方程化为 1 232 或 1 232 ，解得 2 10或 22 【例 24】 （ 6 级） 已知关于 x 的方程 32kx x 有一个正数解，求 k 的取值范围 【解析】 当 0x 时，方程可化为 32kx x ，即 23，根据题意，此时方程有一个正数解，故可以得到 20k ，即 2k 练习 1 （ 2 级 ） 已知 2 4 5 3 1 0a b c ，求 a 、 b 、 c 的值 . 【解析】 2a , 5b , 13c. 练习 2 （ 2 级 ） (01 年全国初中竞赛题 )若 3 2 3 0 ，则 【解析】 2 0 3 0 2 3x y x y ， ， ， 32 课后练习 1对值方程及非负性 题库教师版 0 练习 3 （ 6 级）