求二次函数解析式的三种基本方法和十种策略

二次函数是初中数学的一个重要内容 也是高中数学的一个重要基础 熟 练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证 二次函数的解析式有三种基本形式 1 一般式 y ax bx c a 0 2 顶点式 y a x h k a 0 其中点 h k 为顶点 对称轴为 x h 3 交点式 y a x x x x a 0 其中 x x 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标 求二次函数的解析式一般用待定系数法 但要根据不同条件 设出恰当的 解析式 1 若给出抛物线上任意三点 通常可设一般式 2 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值 通常可设顶点式 3 若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离 通常可设交 点式 探究问题 典例指津 例 1 已知二次函数的图象经过点和 求这个二次函数的 解析式 分析 由于题目给出的是抛物线上任意三点 可设一般式 y ax bx c a 0 解 设这个二次函数的解析式为 y ax bx c a 0 依题意得 解这个方程组得 这个二次函数的解析式为 y 2x 3x 4 例 2 已知抛物线的顶点坐标为 与轴交于点 求这条抛物线的解析式 分析 此题给出抛物线的顶点坐标为 最好抛开题目 给出的 重新设顶点式 y a x h k a 0 其中点 h k 为 顶点 解 依题意 设这个二次函数的解析式为 y a x 4 1 a 0 又抛物线与轴交于点 a 0 4 1 3 a 这个二次函数的解析式为 y x 4 1 即 y x 2x 3 例 3 如图 已知两点 A 8 0 2 0 以 AB 为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点 C 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 分析 A B 两点实际上是抛物线与 x 轴的交点 所以可设交点式 y a x x x x a 0 其中 x x 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标 解 依题意 设这个二次函数的解析式为 y a x 8 x 2 又连结 AC BC 利用射影定理或相交弦定理的推论易得 OC AC BC 8 2 OC 4 即 C 0 4 a 0 8 0 2 4 a 这个二次函数的解析式为 y x 8 x 2 即 y x x 4 变式练习 创新发现 1 在图的方格纸上有A B C三点 每个小方格的边长为 1 个单位长度 l 在给出的直角坐标系中分别写出点A B C的坐标 2 根据你得出的A B C三点的坐标 求图象经过这三点的二次函数的 解析式 2 已知抛物线的顶点坐标为 与轴交于点 求这条抛物线的解 析式 3 已知抛物线过 A 2 0 B 1 0 C 0 2 三点 求这条抛物 线的解析式 参考答案 1 1 A 2 3 B 4 1 C 8 9 2 y x 4x 9 2 y x 2 1 即 y x 4x 5 3 y x 2 x 1 即 y x x 2 十种二次函数解析式求解 一 三点式 1 已知抛物线 y ax2 bx c 经过 A 0 B 0 C 0 3 三 点 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y a x 1 4 经过点 A 2 3 求抛物线的解析式 二 顶点式 1 已知抛物线 y x2 2ax a2 b 顶点为 A 2 1 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y 4 x a 2 2a 的顶点为 3 1 求抛物线的解析式 三 交点式 1 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为 3 0 5 0 求抛物线 y x a x b 的解析式 2 已知抛物线线与 x 轴两个交点 4 0 1 0 求抛物线 y a x 2a x b 的解析式 四 定点式 1 在直角坐标系中 不论 a 取何值 抛物线经过 x 轴上一定点 Q 直线经过点 Q 求抛物线的解析式 2 抛物线 y x2 2m 1 x 2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y mx m 4 求抛物 线的解析式 3 抛物线 y ax2 ax 2 过直线 y mx 2m 2 上的定点 A 求抛物线的解析式 五 平移式 1 把抛物线 y 2x2 向左平移 2 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得 到抛物线 y a x h 2 k 求此抛物线解析式 2 抛物线向上平移 使抛物线经过点 C 0 2 求抛物线的解析 式 六 距离式 1 抛物线 y ax2 4ax 1 a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为 2 求抛物线的解 析式 2 已知抛物线 y m x2 3mx 4m m 0 与 x 轴交于 A B 两点 与 轴交于 C 点 且 AB BC 求此抛物线的解析式 七 对称轴式 1 抛物线 y x2 2x m2 4m 4 与 x 轴有两个交点 这两点间的距离等于抛物线 顶点到 y 轴距离的 2 倍 求抛物线的解析式 2 已知抛物线 y x2 ax 4 交 x 轴于 A B 点 A 在点 B 左边 两点 交 y 轴 于点 C 且 OB OA OC 求此抛物线的解析式 八 对称式 1 平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上 且 A 10 0 AC 16 D 2 6 AD 交 y 轴于 E 将三角形 ABC 沿 x 轴折叠 点 B 到 B1 的位置 求经过 A B E 三点的抛物线的解析式 2 求与抛物线 y x2 4x 3 关于 y 轴 或 x 轴 对称的抛物线的解析式 九 切点式 1 已知直线 y ax a2 a 0 与抛物线 y mx2 有唯一公共点 求抛物线的解析 式 2 直线 y x a 与抛物线 y ax2 k 的唯一公共点 A 2 1 求抛物线的解析 式 3 十 判别式式 1 已知关于 X 的一元二次方程 m 1 x2 2 m 1 x 2 0