山东省日照市2016届高三校二模数学试题（理）含答案

2016 年高三校际联合检测 理科数学 2016 05 本试卷分第 I 卷和第卷两部分，共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生务必用 米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3第卷必须用 米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： =V (S 是柱体的底面积， h 是柱体的高 )； 34=3(R 是球的半径 ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率为 1 0 , 1 , 2 , , k C p p k n 第 I 卷 (共 50 分 ) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1)若复数 z 满足 11(i 为虚数单位 )，则复数 z 的共轭复数 z 的模为 (A)0 (B)1 (C) 2 (D)2 (2) 若集合 21，集合 x x ，则“ x A”是“ x B”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)设随机变量 服从正态分布 0 , 1 , 1 ,N P p 1 0 =P 则 (A) 12p(B) 1 p (C) 12p (D) 12 p(4) 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为 10，则判断框中应填入的条件是 (A) 3k (B) 2k (C) 3k (D) 3k (5)把函数 s i n 23f x x 图象向左平移4个单位后所得图象与 y 轴距离最近的对称轴方程为 (A) 3x (B) 6x (C) 24x (D) 1124x (6)某几 何体的三 视图如图所示，则该几何体的体积是 A） 43(B) 53(C) 223(D) 243(7) 函数 c o s xy e x (其中 的大致图象为 (8) 三内角 A， B， C 的对边分别为 2 2 2, , , 0a b c b c b c a ，则 0(A) 12(B) 12(C) 32(D) 32(9)已知直线 00x y k 与圆 224交于不同的两点 A， B， O 为坐标原点，且有 33O A O B A B k 的取值范围是 (A) 2, 2 2 (B) 3, (C) 2, (D) 3, 2 2 (10) 如图，已知双曲线 22: 1 0 , 0a 的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 6 0 , 3P A Q O Q O P o u u ur u u 则双曲线 C 的离心率为 (A) 233(B) 72(C) 396(D) 3 第 (共 100 分 ) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 (11)将某班参加社会实践的 48 名学生编号为： l， 2， 3， 48，采用系统抽样的方法从中抽取一 个容量为 6 的样本，已知 5 号， 21 号， 29 号， 37 号， 45 号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 _ (12)不等式 1 2 4 的解集为 _ (13) 设不等式组 0,4,1 表示的平面区域为 M，若直线 :2l y k x上存在区域 实数 k 的取值范围是 _ (14) 已知函数 2 xf x f x g x h x 且 ，其中 不等式 2 2 0 1 , 2a g x h x x 对恒成立，则实数 a 的取值范围是 _. (15)设集合 1 2 3, , 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 3iA m m m m i ，则集合 A 中满足条件：“1 2 325m m m ”的元素个数为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 (16)(本小题满分 12 分 ) 已知 函数 2c o s 2 3 s i n c o s s i nf x x x x a x 的一个零点是12 (I)求函数 ( ,64x ，求此时 (17)(本小题满分 12 分 ) 如图，已知平面 直线 垂直于 已知函数 所在的平面，且 P A A B A C (I)求 证： /面 ( 平面 二面角 Q 的 余弦 值 (18)(本小题满分 12 分 ) 某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了 20 名用户 (其中有 7 名男性用户和 13 名女性用户 )的评分，得到如图所示茎叶图对不低于 75 的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意已知对产品满意 用户中男性有 4 名 (I)以此“满意”的频率作为概率，求在 3 人中恰有 2 人满意的概率； (以上男性用户中随机抽取 2 人，女性用户中随机抽取 1 人，其中满意的人数为 ，求 的分布列与数学期望 (19)(本小题满分 12 分 ) 设 1 1 2 2, , ,A x y B x 21 l o x 图象上任意两点， M 为线段 中点，已知 点 M 的横坐标为 12若 1 2 1 ,f f f n Nn n n ， 且2n (I)求 (知 12 , 1 ,31 , 2 其中 T为数列 n 项和，若 1 1对一切 n N*都成立，试求实数 的取值范围 (20)(本小题满分 13 分 ) 已知函 数 3 11 l n 1 062ff x x a x x x a R a 且. (I)设函数 3162xg x x f x ，求函数 ( 0a 时，设函数 12h x f x； 若 0恒成立，求实 数 a 的取值范围； 证明： 2 2 2 2 2l n 1 2 3 1 2 3 ( *,n N e 为自然对数的底数 ) (21)(本小题满分 14 分 ) 已知椭圆 221 : 1 0a 左右两个焦点分别为123, , 1, 2F F R 为椭圆12x 轴垂直的直线与椭圆 抛物线 顶点是椭 圆 点与椭圆 (I)求椭圆 2的方程： (抛物线 一点 P(异于原点 O)作抛物线切线 l 交椭圆 A， B 两点 求 面积的最大值； (椭圆 焦点 直线1D 两点，过 R 且平行于 直线交椭圆于另一点 Q，问是否存在直线1l，使得四边形对角线互相平分 ?若存在，求出1不存在，说明理由 2016 年高三模拟考试 理科数学参考答案 、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1） 解析：答案 C, 11=1i ， 2z . （ 2） 解析 ： 答案 B,集合 2 1 0 xA x x x ，集合 l n 0 1 B x x x x ， 则 B A ，即 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件， (3)解析：答案 0()P 1 2 1 122()P p . （ 4） 解析：答案 A. k =1， 0s ， 第一次 2, 0 ， 第二次 2, 1 ， 第三次 0, 2 ， 第四次 4, 3 ， 第五次 10, 4 ， 所以 k 3. （ 5） 解析：答案 3f x x ( ) s i n ( )所对 应的图象向左平移4后2 64f x x ( ) s i n ( )，即 52 6f x x ( ) s i n ( )， 对称轴方程为52 62 ， 26. （ 6） 答案 B解析：几何体是由直径为 2 的半球，和底面直径为 2 高 为 2 的半圆柱（被轴截面一分为二）构成，所以 体积 35212113421213421 2323 （ 7） 答案 C解析： 函数 )(e c xy x 是偶函数， 在 ,0 是减函数，故可 排除 B、 D、 A 选项 （ 8） 答案 B解析：2122c o 120A 333 0 3 03 0 1 2 0 3 0 122260 3 3 3 3 022 C i n ( ) s i n ( )s i n ( ) s i n s i n ( )s i n ( ) s i n s i n ( )c o s s i n o oo o（ 9） 答案 A解析： 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即 |22k ， 由 0k 得 0 2 2k ， 如图，又由 3| | | |3O A O B A B 3| | | |3O M B M 6M B O ， 因 | | 2,所以 | | 1,故 | 121 + 1k k ， 综得 2 2 2k . （ 10） 答案 B解析： 因为 060 ，所以 为等边三角形 则 ， 渐 近 线 方 程 为 ),0,(, 则点 A 到 距 离,3| 22 )(3)( 2222 . 在 中，21232 )2()3(222 RR 得 22 7 . 由结合 222 ，可得27 故选 B. 第 卷 （ 共 100 分 ） 二、 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . （ 11） 答案 13 （ 12） 答案 2， （ 13） 答案 1 13 , (14)答案 17 , )12 .(15)答案 18 （ 11） 答案 13 解析： 系统抽样也叫等距抽样，因共 48 人，抽取样本容量为 6 ，所以抽样距为 8 ，所以这 6 个样本编号由小到大是以 8 为公差的等差数列，故样本中另一名学生的编号为 13 . （ 12） 答案 2 . 解析： 1x 时， 1 2 4 ，得 3 12 x ； 12x 时， 1 2 4 ，得 12x ； 2x 时， 1 2 4 ，得 522x； 答案 2 . （ 13） 答案 1,31 解析：据题意画出 平面区域 M ，如图 l )2( 点)0,2(D ,要使得 直线 :l )2( 存在区域 M 内的点， 只需要 , 即131 k . （ 14） 答案 17 , )12 已知得 ( ) ( ) = 2 ,xg x h x ， 所以 ( ) ( ) = 2 ,xg x h x 又因为 ()奇函数， ()函数， 故 ( ) ( ) = 2 ,xg x h x 联立解得 2 + 2 2 2( ) = , ( )22x x x xh x g x. 代入不等式 2 ( ) ( 2 ) 0 ,a g x h x 得： 2222( 2 2 ) 2 0在 1,2 上恒成立 . 令 3 1 52 2 , 24 ，则 2 2 22 2 = 2 则原不等 式可化为 1 2 3 1 5( ) , , 2 2 4a t 恒成立 显然当 32t 时，右式取得最大值为 1712 ， 1712a . （ 15） 答案 18 解析 ：对于 2|5 分以下几种情况： |2，即此时集合 A 的元素含有一个 2，或 2，两个 0， 2 或 2 从三个位置选一个有 3 种选法，剩下的位置都填 0，这种情况有 32=6 种； |4，即此时集合 A 含有两个 2，或 2，一个 0；或者一个 2，一个 2，一个 0； 当是两个 2 或 2，一个 0 时，从三个位置任选一个填 0，剩下的两个位置都填 2 或 2，这种情况有 32=6 种； 当是一个 2，一个 2，一个 0 时，对这三个数全排列即得到 321=6 种； 集合 A 中满足条件 “2|5”的元素个数为 6+6+6=18 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 . （ 16）解：（） s in)co ss co s)( 2 s o sc o ss )2c o 1)12( c o )1(212c (212s 3 分 由已知 0)12( f，即 0)1(216c (216s 解得 1a 4 分 所以 )11(212c 1(212s co )62 x 所以函数 )(最小正周期 22 T 7 分 （） 4,6x，23622 x， 所以 )( 4,6上是增函 数， 10 分 当62)2s 2)6()( m i n 当43)3s 2)4()( m a x 12 分 (17) ( )证明：过点 Q 作 C 于点 D ， Q 平面 平面 线为 Q 平面 平面 平面 又 平面 /A ， 又 平面 平面 /面 5 分（ ） 解 法 一 ： Q 平面 B P Q C ，又 P A A B A CQ ， C， Q ， P Q B P Q C ， Q 点 D 是 中点，连接 则 C ， Q 平面 平面 平面 /D ， D ， 又 / / , 四边形 矩形 . 分别以 ,建立空间直角坐标 系 O 不妨设 2，则 (1,1,2)Q ， (0,2,0)B ， (0,0,2)P ， 设平面 法向量为 ( , , )n x y zr ， (1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 2 ) ,P Q P B u u ur u u 则 00n B r 02 2 0 ， 可求平面 一个法向量 (1, 1, 1)n r . 又 Q 平面 法向量为 (1,0,0)m 3c o s , =3| | | | r ur r 因为二面角 Q 的平面角为钝 角， 所以二面角 Q 的余弦值为 12 分 解 法 二 ： Q 平面 B P Q C ，又 P A A B A CQ ， C， Q ， P Q B P Q C ， Q 点 D 是 中点，连接 则 C ， Q 平面 平面 平面 /D ， D ， 又 / / , 四边形 矩形 设 2 , 2 , 2 2 ,P A a P Q A D a P B a 6BQ a . 过 Q 作 B 于点 ,R 2 6 6 ,222 2 2 ,2 取 中点 ,M 连接 , 中点 ,N 连接 ,11 ,42P R P B P MQ 1 ,2A / / ,N ,BQ ,A M P B R N P B 为二面角 Q 的平面角 . 连接 ,则 2 2 2 22 3 Q P P N a a a 又 2 ,2RN a2 2 22 2 231 3322 2222a a R N Q R N 所以二面角 Q 的余弦值为 12 分 (18)解： （） 由频率估计“满意”的概率为 6 在 3 人中恰有 2 人满意的概率为 223 0 . 3 (1 0 . 3 ) 0 . 1 8 9C ； 【 或 1891000】 . 5分 （） 的 可 能 取 值 为 0 、 1 、 2 、 3 ， 2 13 11217 1 311( 0 ) 91C C ，1 1 2113 4 31 1 22 1 2 17 1 3 7 1 346( 1 ) 91C C C C C ， 2142217 1 3 4( 3 ) 91 ， 1 1 4 6 4 3 0( 2 ) 19 1 9 1 9 1 9 1P ， 10分 的分布列为 数学期望 4 6 3 0 4 1 1 81 2 3 9 1 9 1 9 1E 12 分 （ 19） 解：（） M 是 M 点的坐标为（ x， y）， 由 ,21)(21 21 21 121 2 2 212122122111111111x f ) ( ) l o g l o gl o g ( ) n ),1()2()1(且 2n ， 0 1 2 3 P 119146913091491又 n ),1()2()1(且 2n ， 两式相加，得 )1()1()2()2()1()1(2 n 1 111 n， ),2(2 1 n 6 分 （）当 1n 时，由121，得 49 n 时， 1 14 ( ) .( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 2 n n n n nn 321=2 431 1 1 13 4 1 2) ( ) 432（ 131 n 1(1 T ，得22 2 n , (422 44 且仅当 2n 时等号成立，444 . 综上的取值范围是 ),21( . 12 分 (20)解：（ I） 21 ( 1 )( ) l x x a x ， 1 ( 1 )( 1 ) , ( 1 ) 122 ) ( l n 1 ) , ( ) ( l n 1 ) l ng x a x x g x a x x a ， 令 0 ， 当 0a 时 ，解得 1x ；当 0a 时，解得 01x， 所以 0a 时函数 1, ； 0a 时函数 0,1 . . （ 因为 0a ， 211( ) ( ) l x f x x a x ，由题意得 因为 2a x ah x ( ) ( )x a x ， 所以当 (0, )时， 0 ， 当 ( , ) 时， 0 ， m i n 1( ) ( ) l x h a a a a . 由 10 a a a得 a ，则实数 a 的取值范围是 0,e （分离参数法亦可） . 由 知 时， 21 e l n 02h x x x 在 0,x 上恒成立，当 时等号成立， 22 e l nx x x N 时 , ，令 1, 2, 3 , ，累加可得 , 2 2 2 22 e l n 1 l n 2 l n 3 l n 1 2 3 即 2 2 2 2 2l n 1 2 3 1 2 3 ,en n n . . (21)解析： ( )由已知得，2RF x轴，2 3|2由椭圆的定义得：1 3| | 22R F a，又 1c ， 221 9| | ( 2 ) 4R F c ，2239( 2 ) 424 ， 22 4 0 , 2a a a ， 2 2 2c b a， 2 3b ， 所求 椭圆 221 :143，抛物线 2:C 2 4 . 4 分 ( )设 2( , 2 )( 0 )P t t t ，显然切线 l 的斜率存在， 第 21 题图 切线 l 的方程为 22 ( )y t k x t ， 即 2( ) 2y k x t t . 由 22( ) 24y k x t ，消去 x 得 224 4 8 0k y y k t t ， 由 21 6 1 6 ( 2 ) 0k k t t ，得 1 从而切线 l 的方程为 2x ty t. 由222143x ty ，得 2 2 3 4( 3 4 ) 6 3 1 2 0t y t y t ， 令 6 2 43 6 1 2 ( 3 4 ) ( 4 ) 0t t t ，得 204t. 知 2121A B t y y 221 2 1 21 ( ) 4t y y y y ， = 3422226 4 ( 3 1 2 )1 ( )3 4 3 4= 42222344 3 1( 3 4 ) 原点到切线 l 的距离为 221， 所以 12S A B d= 4 4 222( 3 4 )23( 3 4 )t t . 令 234， 204t， 4 16u . 则有 S222( 4 ) ( 4 )()9923uu = 2222 3 ( 8 1 6 ) ( 1 7 1 6 )9u u u ， 令 16，因为 4 16u ，所以 16在区间（ 4,16）上为增函数，得 8 17v . 从而 S 223 2 5 1 3 69 ，当 252v时， 2 3 6 2 5 6 2 5 1369 4 2 = 3 由 1 6 2 52vu u ，得 2 5 3 4 14u ，有 3 4 1 22