2016山东省高三压轴题数学试卷(理)含答案解析

- 1 - 2016 山东省 高考压轴卷 理科 数学 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数 z 满足 5)2( 则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 设集合 2 3 2 0M x x x ，集合 4)21( 则 （ ） A 2 B 1 C 1 D 2 , 是两个不同的平面，直线 m ，则“ m ” 是 “ / ” 的 ( ) 要条件 4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 ( ). A 6 B 5 C 4 D 3 将他们的模块测试成绩分成 6组 ： 40， 50)， 50， 60)， 60，70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 ，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 （ ） - 2 - A 588 B 480 C 450 D 120 知输入 x 的值为22 ， 则输出 y 的值为 ( ) A. 7 B. 11 C. 12 D. 24 n 项和 , 5S（ ） A235B 35 C225D 25 m， 12的最低点 m，风车翼片的一个端点 点 h（ m）与时间 f（ 间的函数关系式是（ ） A B C D 是 ）的导函数， 01f ，且 33f x f x，则 4 f x f x 的解集是 ( ) A. 43B. 23C. 32 ,D. 3e ,10. 已知 点 A 是抛物线 214对称轴与准线的 交 点 ， 点 F 为该抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足| | | |PF m ， 当 m 取最小值时，点 P 恰好在以 A ， F 为焦点的双曲线上 ， 则该双曲线的离心率为 （ ） A 512B 212 C 21 D 51 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分， 共 25分把答案填在答题卡的相应位置 - 3 - 11. 已知向量 ，满足 )3,1(a ， )()( ，则 |b . 12. 二项式 61展开式中的常数项为 . 13. 若 x， 目标函数 z= 2x+y 的最小值为 在单位圆 221上运动，点 P 到直线 3 4 1 0 0 与 3x 的距离分别记为1d、2d，则12小值为 _ ”；对任意实数 ,1b a a b，设 2( ) ( 2 ) ( 3 )f x x x x ，若函数 ( ) ( )g x f x k的图象与 x 轴恰有二个公共点，则实数 k 的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内 16.（本小题满分 12分） 在 中，内角 , 的对边为 , ，已知 . （ 1）求角 C 的值； （ 2）若 2c ，且 的面积为 3 ，求 . 17. （本小题满分 12分） 在三棱柱1 1 1 B C中 ，1 2A B B C C A A A ， 侧棱1面 且 D ， E 分别是棱11 点 F 在棱 ， 且 14B. （ 1） 求证： /面1 （ 2） 求二面角1E 的余弦值 . 18 （本小题满分 12分） 已知等差数列 n 项和 30S ，10 110S ，数列 n 项和 1b，1 21. - 4 - （）求 （）比较说明 理由 . 19. （本小题满分 12分） 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费 2元（不足 1小时的部分按 1小时计算）有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 11,24；两人租车时间都不会超过四小时 （ 1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （ 2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E 20. （本小题满分 13分） 已知直线 1被圆 2232截得的弦长恰与椭圆22: 1 ( 0 )a 的短轴长相等，椭圆 C 的离心率 22e （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知过点 1(0, )3M 的动直线 l 交椭圆 C 于 ,问：在 y 轴上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 直径的圆恒过定点 T ？若存在，求出点 T 的坐标，若不存在，请说明理由 21. （本小题满分 14分） 已知函数 l n ( )( ) l n ( ) , , 0 ) , ( ) ,xf x a x x x e g x 其 中是自然对数的底数， （ 1）当 1a 时，讨论函数 )(单调性并求 )(最小值； （ 2）求证 :在 (1)的条件下，21)(|)(| （ 3）是否存在实数 a ,使 )(最小值是 3 ，如果存在 ,求出 a 的值；若不存在 ,请说 明理由 . 2016 山东 高考压轴卷 数学理 1.【 答案】 D 【 解析】 由题意得 5 5 ( 2 ) 22 ( 2 ) ( 2 )i i ，所以 2，所以 z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选 D. 2.【 答案】 A 【 解析】 - 5 - 由已知 | 2 1A x x ， | 2N x x ，所以 | 2 M N x x U 故选 A 3.【 答案】 C 【 解析】 一条直线垂直于两个不同的平面，则这两个平面平行；反之也成立（面面平行的判定与性质）。故选 C. 考点：充分条件和必要条件 . 4. 【 答案】 B 【 解析】 由三视图可知几何体为圆锥和半球的组合体 ，圆锥的高为为 22，故圆锥的母线长为22( 2 2 ) 1 3，故几何体的表面积 21 4 1 1 3 52S . 5.【 答案】 B 【 解析】 根据频率分布直方图，成绩不少于 60 分的频率，然后根据频数 =频率总数，可求出所求 绩不少于 60 分的学生的频率为 01 00人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不少于 60 分的人数为 . 6.【 答案】 D 【 解析】 由程序框图，22 lo g 3 4x ，因此 x 值变为222 l o g 3 1 3 l o g 3 4 ，此时计算223 l o g 3 l o g 332 2 2 8 3 2 4y 故选 D 7.【 答案】 C 【 解析】 因为 n 项和，1462 , 以21 1 11 1 1( 5 ) ( ) ( 1 3 )2 2 2a a a ，解得 1 32a ，所以 5 3 5 4 1 2 55 2 2 2 2S ，故选 C. 8.【 答案】 B 【 解析】 设 h（ t） = ， 12 =12， = 由于最大值与最小值分别为 18， 2 - 6 - ，解得 A= 8， B=10 h（ t） = 8t+10 故选： B 9. 【 答案】 D 【 解析】 根据 01f ， 33f x f x，导函数于原函数之间没有用变量 知函数与 有关，可构造函数为 321xf x e， 4 3 3f x f x f x ，即 3， 32 1 3 ，解得 23故选 D 10.【 答案】 C. 【 解析】 如下图所示， (0, 1)A ， (0,1)F ，过 P 作准线的垂线，垂足是 H ，由对称性，不妨令 P 在第一象限，| | | | s i n| | | |P F P A P A ，问题等价于求 的最小值， 而 211 1 1 1 1 144t a n 2 144 H x xx x x x ，当且仅当 11 24 时 等号成立， 此时 | | | | 2 2 2 2 2 1P A P F a a ， 1 2121ce a ，故选 C 11.【 答案】 10 【 解析】 由 )()( ，即 22( ) ( ) 0a b a b a b r r r r r r，即 ab以 22| | | | 1 3 1 0 12.【 答案】 20 - 7 - 【 解析】 61中的通项为61 rr n ，若为常数项，则 3r ， 3661 20rr n rC x . 13.【 答案】 解析】 由题意作平面区域如下， ， 目标函数 z= 2x+y=2x+z， 故结合图象可知， 当过点 B（ 3， 2）时， z 有最小值为 23+2= 4； 故答案为 4 14.【 答案】 4555【 解析】 设 ，则13 c o s 4 s i n 1 0 432 s i n c o 5d ，而 2 3 ，所以12 485 s in c o 455 s i ，所以12小值为 4555，故答案应填455 5 . 15.【 答案】 3 , 2 8 , 7 1 - 8 - 【 解析】 由题意得出 函数 23 4 12 1 4x x x x 或，作出函数 函数 ( ) ( )g x f x k的图象与 x 轴恰有二个公共点，则方程 0f x k即 f x k 恰有二个不同实根，则 1k 或23k 或 78k ，所以 k 的取值范围是 3 , 2 8 , 7 1 ，故答案应填 3 , 2 8 , 7 1 . 1 2 3 4 5 4,7 )C ( - 1,3 )D ( 4,8 )E ( 1, - 1 )A ( - 1,2 )16.【 答案】（ 1）3C；（ 2） 2 【 解析】 （ 1） ， s o ss ， )s 2s o ss ， s o o ss o ss ， ，21C. 又 C 是三角形的内角，3C. （ 2） 3 33 4 又 c o ， 2)(4 2 ， 4 2 17.【 答案】（ 1）详见解析；（ 2） 105. 【 解析】 - 9 - （ 1） 设 O 为 中点，连结1 14B， O 为 中点， F 为 中点， 又 E 为11/O， 又 D 为11O 为 中点， 1B， 又 1 /B， 四边形1 1 /D， 又 1/O， /D ， 又 平面1平面1 /面1 2） 建立如图所示的坐标系 ， 1 2A B B C C A A A ， D ， E 分别为11点， 14B， ( 1,0,1)E ， 1( , 0, 0)2F ， (1,0,0)B ， (0,0,2)D ， 1(0, 3,2)C ， 设平面 1法向量为 ( , , )n x y zr ， 1( , 0, 1)2 ( 1, 0, 2 ) 1 ( 1, 3 , 2 ) 20B D n x z r ， 1 3 2 0B C n x y z r ， 不妨 令 1z ，则 0y ， 2x ， (2,0,1)n r ，同理可得 平面1个 法向量为 (1, 3 , 2)m | | 1 2 ( 3 ) 0 2 1 1 0c o s ,5| | | | 2 2 5 u r ru r ru r r， 二面角 1E 的余弦值为 105 . 18.【 答案】（） 2( 2 2 )2n n n ， 13；（）当 *4( )n n N时， 2n n n nS b T a；当*5( )n n N 时， 2n n n nS b T a ，理由见解析 . 【 解析】 （）设等差数列 差为 d ，由已知可得： 11545 3 021 0 91 0 1 1 02 解得 1 22， 所以 2 ( 1 ) 2 2na n n ， 2( 2 2 )2n n n 对数列 已知有2121，即222 1 3 ， - 10 - 所以213（ *） 又由已知1 21，可得 *12 1 ( 2 , ) n n N ， 两式相减得112 ( ) 0n n n nb b T T ，即 *1 2 0 ( 2 , )n n nb b b n n N ， 整理得 *1 3 ( 2 , )b n n N 结合（ *）得1 3 （常数）， *, 所以数列 b为首项， 3 为公比的等比数列， 所以 13. （）12 1 3 1 ， 所以 213 , 2 2 3 1 ,n n nS b n n T a n 于是 2 1 2 12 3 2 3 1 3 5 2n n nS b T a n n n n n 显然当 *4( )n n N时， 20n n n nS b T a，即 2n n n nS b T a， 当 *5( )n n N 时， 20n n n nS b T a，即 2n n n nS b T a， 所以当 *4( )n n N时， 2n n n nS b T a；当 *5( )n n N 时， 2n n n nS b T a. 19.【 答案】（ 1） 516；（ 2）分布列见解析，数学期望是 72 【 解析】 （ 1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 11,44 记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件 A ，则 1 1 1 1 1 1 5()4 2 2 4 4 4 1 6 所以，甲、乙两人所付得租车费用 相同的概率为 516 （ 2）设甲、乙两个所付的费用之和为 ， 可能取得值为 0， 2， 4， 6， 8 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5( 0 ) , ( 2 ) , ( 4 )8 4 4 2 2 1 6 4 4 2 4 2 4 1 6 P P P ， 1 1 1 1 3( 6 ) 4 4 2 4 1 6 P ， 1 1 1( 8 ) 4 4 1 6 P ， 分布列 - 11 - 所以 1 5 5 3 1 70 2 4 6 88 1 6 1 6 1 6 1 6 2E 20.【 答案】（ 1） 2 2 12x y；（ 2）存在一个定点 (0,1)T 满足条件 【 解析】 （ 1）则由题设可求得 1b 又 22e，则 2a ，所以椭圆 C 的方程是 2 2 12x y（ 2）解法一：假设存在点 (0, )直线 l 的斜率存在，设其方程为 13y ，将它代入椭圆方程，并整理得 22(1 8 9 ) 1 2 1 6 0k x k 设点 的坐标分别为1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则 12 212 2121 8 9161 8 9 ， 因为1 1 2 2( , ) , ( , )T A x y v T B x y v u uv u 2 211,33y k x y k x ，所以221 2 1 2 1 2 1 21 2 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )3 3 9 u u v u u v T B x x y v y v k x x k k v x x v 2 2 22( 6 6 ) ( 3 2 5 )62v k v 当且仅当 0B 恒成立时，以 直径的圆恒过定点 T 所以 226 6 03 2 5 0 ，解得 1v ，此时以 直径的圆恒过定点 (0,1)T 当直线 l 的斜率不存在， l 与 y 轴重合，以 直径的圆为 221也过点 (0,1)T 综上可知，在坐标平面上存在一个定点 (0,1)T ，满足条件分 解法二：若直线 l 与 y 轴重合，则以 直径的圆为 221， 若直线 l 垂直于 y 轴，则以 直径的圆为 221 1 6()39 ， - 12 - 由 222211 1 6()39 ，解得 01，由此可知所求点 T 如果 存在，只能是 (0,1) 事实上点 (0,1)T 就是所求的点，证明如下： 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 与 y 轴重合时，以 直径的圆为 221，过点 (0,1)T ； 当直线 l 的斜率存在，设直线方程为 13y ， 代入椭圆方程并整理得 22(1 8 9 ) 1 2 1 6 0 设点 的坐标为1 1 2 2( , ) , ( , )