2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科数学（打印版含详解）

数学 文科 试题 B 第 1 页 共 12 页 绝密 启用前 试卷类型 试卷类型 B 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 文科 数学 文科 参考公式 锥体体积公式 其中为锥体的底面积 为锥体的高 1 3 VSh Sh 线性回归方程中系数计算公式 ybxa 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx 样本数据的标准差 12 n x xx 222 12 1 n sxxxxxx n 其中 表示样本均值 xy 是正整数 则 n 1221 nnnnnn abab aababb 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 设复数满足 其中 为虚数单位 则z1iz iz A B C D i i1 1 2 已知集合为实数 且 为实数 且 则 Ax yx y 22 1 xy Bx yx y 1 xy 的元素个数为AB A 4 B 3 C 2 D 1 3 已知向量 若为实数 则 1 2 1 0 3 4 abc abc A B C 1 D 2 1 4 1 2 4 函数的定义域是 1 lg 1 1 f xx x A B C D 1 1 1 1 1 5 不等式的解集是 2 210 xx A B C D 1 1 2 1 1 2 1 1 2 6 已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定 若为上的动点 点xOyD 02 2 2 x y xy M x yD 数学 文科 试题 B 第 2 页 共 12 页 2 3 正视图 图 1 侧视图 图 2 2 俯视图 2 图 3 的坐标为 则的最大值为A 2 1 zOM OA A 3 B 4 C D 3 24 2 7 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个正五棱柱 对角线的条数共有 A 20 B 15 C 12 D 10 8 设圆与圆外切 与直线相切 则的圆心轨迹为C 22 3 1xy 0y C A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 9 如图 1 3 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别是等边三角形 等腰三角 形和菱形 则该几何体的体积为 A B 4 34 C D 2 32 10 设是上的任意实值函数 如下定义两个函数和 对任意 f x g x h xR fg x f gA x 则下列等式恒成立的是x R fg x f g x f gA x f x g x A fg A h x f hA g hA x B f gA h x fh A g h x C fg h x fg gh x D f gAA h x f gAA g hA x 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 11 已知是递增的等比数列 若 则此数列的公比 n a 2 2a 43 4aa q 12 设函数 若 则 3 cos1f xxx 11f a fa 数学 文科 试题 B 第 3 页 共 12 页 图 4 BA C D EF 13 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每 天打篮球时间 单位 小时 与当天投篮命中率之间的关系 xy 时间x12345 命中率y0 40 50 60 60 4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 用线性回归分析的方法 预测小李该月 6 号 打 6 小时篮球的投篮命中率为 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为和 5cos sin x y 0 2 5 4 xt yt 它们的交点坐标为 t R 15 几何证明选讲选做题 如图 4 在梯形中 ABCDABCD 分别为上的点 且 4AB 2CD E F AD BC3EF 则梯形与梯形的面积比为 EFABABFEEFCD 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 1 2sin 36 f xx x R 1 求的值 0 f 2 设 求的值 0 2 10 3 213 f 6 32 5 f sin 17 本小题满分 13 分 在某次测验中 有 6 位同学的平均成绩为 75 分 用表示编号为的同学所得成绩 n xn 1 2 6 n 且前 5 位同学的成绩如下 编号n12345 成绩 n x7076727072 1 求第 6 位同学的成绩 及这 6 位同学成绩的标准差 6 xs 2 从前 5 位同学中 随机地选 2 位同学 求恰有 1 位同学成绩在区间 68 75 中的概率 数学 文科 试题 B 第 4 页 共 12 页 B A B A C C D D E E G H 1 O 2 O 1 O 2 O 图 5 18 本小题满分 13 分 图 5 所示的几何体是将高为 2 底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后 将其中一半沿切面向右 水平平移后得到的 分别为 的中点 分别为 A A B B A CD A C D A DE A D E 1122 O O O O CDC D 的中点 DED E 1 证明 四点共面 12 OA O B 2 设为中点 延长到 使得 证明 平面 G AA 1 A O H 11 O HA O 2 BO H B G 19 本小题满分 14 分 设 讨论函数的单调性 0a 2 ln 1 2 1 f xxaa xa x 20 本小题满分 14 分 设 数列满足 0b n a 1 ab 1 1 1 n n n nba a an n2 1 求数列的通项公式 n a 2 证明 对于一切正整数 n2 n a 1 1 n b 21 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系上 直线 交轴于点 设是 上一点 是线段的垂直xOyl2x xAPlMOP 平分线上一点 且满足 MPOAOP 1 当点在 上运动时 求点的轨迹的方程 PlME 2 已知 设是上动点 求的最小值 并给出此时点的坐标 1 1 T HEHOHT H 3 过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点 求直线的斜率 1 1 T y 1 lE 1 l 的取值范围 k 数学 文科 试题 B 第 5 页 共 12 页 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 数学 文科 参考答案数学 文科 参考答案 一 选择题一 选择题 1 A 1 i zi iii 2 C 的元素个数等价于圆与直线的交点个数 显然有 2 个交点AB 22 1xy 1xy 3 B 由 得 解得 1 2 ab abc64 1 0 1 2 4 C 且 则的定义域是 10 1 10 x x x 1x f x 1 1 1 5 D 或 则不等式的解集为 2 1 210 1 21 0 2 xxxxx 1x 1 1 2 6 B 即 画出不等式组表示的平面区域 易知当直线经2zxy 2yxz 2yxz 过点时 取得最大值 2 2 z max 2224z 7 D 正五棱柱中 上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线 所以一个正五棱 柱对角线的条数共有条5 210 8 A 依题意得 的圆心到点的距离与它到直线的距离相等 则的圆心轨迹为抛物C 0 3 1y C 线 9 C 该几何体是一个底面为菱形的四棱锥 菱形的面积 四棱锥的高为 1 2 2 32 3 2 S 3 则该几何体的体积 11 2 3 32 3 33 VSh 10 B 对 A 选项 fg A h x fg x h x f g x h x f hA g hA x f hA g hxA f hA g x h xA 故排除 A f g x h x h g x h x AA 对 B 选项 f gA h x f g h x A f h x g h x 故选 B fh A g h x fh x g h x f h x g h x 对 C 选项 fg h x fg h x f g h x fg gh x fggh xfgg h x 故排除 C f g g h x 数学 文科 试题 B 第 6 页 共 12 页 对 D 选项 f gAA h x f gx h xf x g x h x A 故排除 D f gAA g hA x f gx g h xf x g x g x h x AA 二 填空题二 填空题 11 2 或 22 4322 4422402 2 1 0aaa qa qqqqq 2q 1q 是递增的等比数列 n a2q 12 即 9 3 cos111f aaa 3 cos10f aaa 则 33 cos 1cos110 19faaaaa 13 小李这 5 天的平均投篮命中率0 50 53 1 0 40 50 60 60 4 0 5 5 y 3x 1 2222 2 1 0 2000 1 0 2 0 01 2 1 0 12 n ii i n i i xxyy b xx 0 47aybx 线性回归方程 则当时 0 010 47yx 6x 0 53y 预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为0 53 14 表示椭圆 2 5 1 5 5cos sin x y 2 2 1 5 x y 5501 xy 且 表示抛物线 2 5 4 xt yt 2 4 5 yx 或 舍去 2 2 2 2 1 5501 5 4501 4 5 x yxy xxx yx 且 5x 又因为 所以它们的交点坐标为01y 2 5 1 5 15 如图 延长 7 5 AD BCADBCP 2 3 CD EF 4 9 PCD PEF S S 2 4 CD AB 4 16 PCD PEF S S P BA C D EF 数学 文科 试题 B 第 7 页 共 12 页 B A B A C C D D E E G H 1 O 2 O 1 O 2 O H 7 5 ABEF EFCD S S 梯形 梯形 三 解答题三 解答题 16 解 1 0 2sin 1 6 f 2 即 110 3 2sin 3 2sin 232613 f 5 sin 13 即 16 32 2sin 32 2sin 3625 f 3 cos 5 0 2 2 12 cos1 sin 13 2 4 sin1 cos 5 5312463 sin sincoscossin 13513565 17 解 1 解得 6 1 7076727072 75 6 x 6 90 x 标准差 222222222 126 11 5135315 7 66 sxxxxxx 2 前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为 且 a b 1 2 3 4 5 a b ab 则基本事件有 共 10 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 种 这 5 位同学中 编号为 1 3 4 5 号的同学成绩在区间 68 75 中 设 A 表示随机事件 从前 5 位同学中随机选出 2 位同学 恰有 1 位同学成绩在区间 68 75 中 则 A 中的基本事件有 共 4 种 则 1 2 2 3 2 4 2 5 42 105 P A 18 证明 1 连接 2 BO 22 O O 依题意得是圆柱底面圆的圆心 1122 O O O O 是圆柱底面圆的直径 CD C D DE D E 分别为 的中点 A B B A C D A DE A D E 12 90A O DB O D 1 A O 2 BO 四边形是平行四边 BB 22 O O 22 O O B B 形 2 BO 2 BO 数学 文科 试题 B 第 8 页 共 12 页 1 A O 2 BO 四点共面 12 OA O B 2 延长到 使得 连接 1 A O H 11 O HAO 1 HH HOHB 11 O HA O 四边形是平行四边形 1 O H 2 O B 12 O O B H 12 O O H B 1222 O OO O 122 O OB O 2222 O OB OO 面 12 O O 22 O O B B 面 面H B 22 O O B B 2 BO 22 O O B B 2 BOH B 易知四边形是正方形 且边长AA H H 2AA 1 1 tan2 HH HO H O H 1 tan 2 A G A H G A H 1 tantan1HO HA H G 1 90HO HA H G 1 HOH G 易知 四边形是平行四边形 12 O O HB 12 O O BH 2 BO 1 HO 2 BOH G H GH BH 平面 2 BO H B G 19 解 函数的定义域为 f x 0 2 12 1 2 1 1 2 1 2 1 aa xa x fxaa xa xx 令 2 2 1 2 1 1g xaa xa x 数学 文科 试题 B 第 9 页 共 12 页 22 4 1 8 1 121644 31 1 aaaaaaa 当时 令 解得 1 0 3 a 0 0fx 1 31 1 2 1 aaa x aa 则当或时 1 31 1 0 2 1 aaa x aa 1 31 1 2 1 aaa x aa 0fx 当时 1 31 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaaaa x aaaa 0fx 则在 上单调递增 f x 1 31 1 0 2 1 aaa aa 1 31 1 2 1 aaa aa 在上单调递减 1 31 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaaaa aaaa 当时 则在上单调递增 1 1 3 a 0 0fx f x 0 当时 令 解得1a 0 0fx 1 31 1 2 1 aaa x aa 0 x 1 31 1 2 1 aaa x aa 则当时 1 31 1 0 2 1 aaa x aa 0fx 当时 1 31 1 2 1 aaa x aa 0fx 则在上单调递增 f x 1 31 1 0 2 1 aaa aa 在上单调递减 1 31 1 2 1 aaa aa 20 1 解 1 1 1 n n n nba a an 1 1 1 nn n aba nan 1 111 nn nn ab ab 当时 则是以 1 为首项 1 为公差的等差数列1b 1 1 1 nn nn aa n n a 数学 文科 试题 B 第 10 页 共 12 页 即1 1 1 n n nn a 1 n a 当且时 0b 1b 1 1111 11 nn nn abb ab 当时 1n 11 1 1 n n abbb 是以为首项 为公比的等比数列 1 1 n n ab 1 1 bb 1 b 111 11 n n n abbb 111 1 1 1 n nn n nb ab bbb b 1 1 n n n nb b a b 综上所述 1 01 1 11 n n n nb b bb a b b 且 2 证明 当时 1b 1 212 n n ab 当且时 0b 1b 21 1 1 1 nnn bbbbb 要证 只需证 1 21 n n ab 1 2 1 1 1 n n n nb b b b 即证 2 1 1 1 nn nb b bb 即证 21 21 1 nnn n b bbbb 即证 21 1 1 2 nn n bbbbn b 即证 21 12 1111 2 nn nn bbbbn bbbb 21 12 1111 nn nn bbbb bbbb 21 21 1111 nn nn bbbb bbbb 数学 文科 试题 B 第 11 页 共 12 页 x y O 2x A P l M M x y O