陕西省师大附中2012届高三数学第四次模拟试题 理

用心 爱心 专心1 陕西师大附中陕西师大附中 20122012 级模考 级模考 4 4 数学试卷 理科 数学试卷 理科 一 选择题 本题共 10 小题 满分共 50 分 1 设 是虚数单位 则复数 i 2012 3 13 i i A B 1 C 1 D i i 2 右图是一几何体的三视图 单位 则这个几何cm 体的体积为 A B C D 3 1cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 下列推理是归纳推理的是 A 为两个定点 动点满足 则动点的 A BP2PAPBaAB 0 a P 轨迹是以为焦点的双曲线 A B B 由 求出猜想出数列的前项和的表达式 1 2 31 n aan 123 S SS n an n S C 由圆的面积 猜想出椭圆的面积 222 xyr 2 Sr 22 22 1 xy ab Sab D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 4 同时具有性质 最小正周期是 图象关于直线 3 x对称 在 3 6 上是增函数的一个函数是 A B C D sin 26 x y sin 2 6 yx cos 2 3 yx sin 2 6 yx 5 已知直线与圆交于两点 且 则xya 22 4xy A BOAOBOAOB 实数的值为 a A 2 B 2 C 2 或 2 D 或66 6 若输入数据 执行 123 6 2 2 4 1 6 naaa 456 5 2 3 4 4 6aaa 下面如图所示的算法程序 则输出结果为 3 1 3 1 1 2 主 主 主 主 主 主 主 主 主 A B A A B C B C BB A A C 用心 爱心 专心2 A 0 6 B 0 7 C 0 8 D 0 9 7 已知 则二 0 2 cos 6 axdx 项式的展开式中的系数为 25 a x x x A 10 B 10 C 80 D 80 8 如果对于任意实数 表示不x x 超过 的最大整数 例如 x 3 273 那么 是 0 60 xy 的 1xy A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9 设直线与函数 的图像分别交于点 则当xt 2 f xx lng xx M N 达到最小值时 的值为 MNt A 1 B C D 1 2 2 2 5 2 10 设 其中 则大小关系为 33 3 3 2 xy xyxy MNP 0 xy MNP A B C D MNP NPM PMN PNM 二 填空题 本题共 5 小题 满分共 25 分 11 已知 且的最大值为 则 20 350 xy xy 2 2x y log 3 a a 12 已知双曲线的左顶点为 右焦点为 为双曲线右支上一点 2 2 1 3 y x 1 A 2 FP 则最小值为 12 PA PF 13 将一根长为 10 厘米的铁丝用剪刀剪成两段 再将每一段剪成相等的两段 然后将剪开的 4 段铁丝围成一个矩形 则围成的矩形面积大于 6 的概率等于 14 设函数的定义域为 若存在非零实数 使得对于任意 f xDl xM MD 是 结束 否 开始 输入 12 n n a aa S 0 i 1 i n 输出 S 1 i iSa S i 1ii 用心 爱心 专心3 有 且 则称为上的 高调函数 如果定义域为xlD f xlf x f xMl 的函数为上的高调函数 那么实数的取值范围是 1 2 f xx 1 mm 如果定义域为的函数是奇函数 当时 且R f x0 x 22 f xxaa 为上的 4 高调函数 那么实数 的取值范围是 f xRa 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题 评阅记分 A 极坐标与参数方程选讲选做题 设曲线C的参数方程为 23cos 1 3sin x y 为 参数 直线l的方程为320 xy 则曲线C上的动点到直线l距离的 P x y 最大值为 B 不等式选讲选做题 若存在实数满足不等式 则实数x 2 3 5 xxmm 的取值范围为 m C 几何证明选讲选做题 如图 切于点 割PCOAC 线经过圆心 弦于点 已知的半径PABOCDAB EOA 为 3 则 2PA PC OE 三 解答题 本题共 6 小题 满分共 75 分 16 本小题满分 12 分 已知分别为的三边所对的角 向量 A B CABC a b c 且 sin sinBAm cos cosABn 2sin Cnm 1 求角的大小 2 若成等差数列 且 CBCAsin sin sin18CA CB 求边 的长 c 17 本小题满分 12 分 已知数列 其中 数列的前 项 nn ab 1 1 2 a n an 和 数列满足 2 nn Sn a n N n b 11 2 2 nn bbb 1 求数列的通项公式 2 是否存在自然数 使得对于任意 nn abm 有恒成立 若存在 求出的最小值 n N2n 121 1118 1 4 n m bbb m 18 本小题满分 12 分 如图所示 在边长为的正方形中 点在12 11 ADD A B C A D P E O C B 用心 爱心 专心4 线段上 且 作 分别交 于点 AD3AB 4BC 1 BBA 1 AA 11 AD 1 AD 1 BP 作 分别交 于点 将该正方形沿 折叠 使 1 CCA 1 AA 11 AD 1 AD 1 CQ 1 BB 1 CC 得与重合 构成如图所示的三棱柱 1 DD 1 AA 111 ABCABC 1 求证 平面 2 求四棱锥的体积 AB 11 BCC BABCQP 3 求平面与平面所成角的余弦值 PQABCA C1 B1 A1 D1 C1 B1 A1 C B A Q P P Q D C B A 19 本小题满分 12 分 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中 两人一对一 比赛规则如下 若某人某次投篮命中 则由他继续投篮 否则由对方接替投 篮 现由甲 乙两人进行一对一投篮比赛 甲和乙每次投篮命中的概率分别是 两人投篮 3 次 且第一次由甲开始投篮 假设每人每次投篮命中与否均 1 1 3 2 互不影响 1 求 3 次投篮的人依次是甲 甲 乙的概率 2 若投篮命中一次得 1 分 否则得 0 分 用表示甲的总得分 求的分布 列和数学期望 20 本小题满分 13 分 已知抛物线 点关于轴的对称点为 2 4yx 1 0 MyN 直线 过点交抛物线于两点 lM A B 1 证明 直线的斜率互为相反数 2 求面积的最小值 NA NBANB 3 当点的坐标为 且 根据 1 2 推测并回答下列M 0 m 0m 1 m 问题 不必说明理由 直线的斜率是否互为相反数 面积的最小值是多少 NA NBANB 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 lnf xax x a R 1 若曲线在点处的切线与直线垂直 求 的值 yf x 1 1 f20 xy a 2 求函数的单调区间 3 当 且时 证明 f x1a 2x 用心 爱心 专心5 1 25f xx 陕西师大附中 2012 级模考数学试题参考答案 理科 一 选择题一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 题号 12345678910 答案 CBBBCADACD 二 填空题二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 11 12 13 14 32 1 5 2 1 1 15 A B C 7 10 3 10 1 2 9 4 5 三 解答题 16 解 I 2 分 sin cossincossinBAABBAnm 0 CCBAABC中 sin sin CBA 3 分Cnmsin 又 6 分 3 2 1 cos sin2sin 2sin CCCCCnm II 由成等差数列 得BCAsin sin sin sinsinsin2BAC 由正弦定理得 2bac 18 CBCA 10 分 36 18cos abCab即 由余弦定理 3 cos2 2222 abbaCabbac 12 分 6 3634 22 ccc 17 1 因为 2 nn Sn a n N 当时 2n 2 11 1 nn Sna 所以 22 11 1 nnnnn aSSn ana 用心 爱心 专心6 所以 即 1 1 1 nn nana 1 1 1 n n an an 又 1 1 2 a 所以 1232 1 12321 nnn n nnn aaaaa aa aaaaa 1232 1 11 114 3 2 1 nnn nnnn n 当时 上式成立 1n 因为 11 2 2 nn bbb 所以是首项为 公比为 的等比数列 故 6 分 n b222n n b 2 由 知 2n n b 则 211 121 1111111 112 2222 nn n bbb 假设存在自然数 使得对于任意 有m 2nn N 恒成立 121 1118 1 4 n m bbb 即恒成立 由 解得 1 18 2 24 n m 8 2 4 m 16m 所以存在自然数 使得对于任意 m 2nn N 有此时 的最小值为 16 12 分 121 1118 1 4 n m bbb 恒成立 m 18 C1 B1 A1 D1 C1 B1 A1 C B A Q P P Q D C B A 1 在正方形中 因为 11 ADD A5CDADABBC 所以三棱柱的底面三角形的边 111 ABCABC ABC5AC 因为 3AB 4BC 所以 所以 222 ABBCAC ABBC 因为四边形为正方形 11 ADD A 11 AABBA 所以 而 1 ABBB 1 BCBBB 用心 爱心 专心7 所以平面 4 分AB 11 BCC B 2 因为平面 所以为四棱锥的高 AB 11 BCC BABABCQP 因为四边形为直角梯形 且 BCQP3BPAB 7CQABBC 所以梯形的面积为 BCQP 1 20 2 BCQP SBPCQBC 所以四棱锥的体积 8 分ABCQP 1 20 3 A BCQPBCQP VSAB 3 由 1 2 可知 两两互相垂直 以为原点 建立如ABBC 1 BBB 图所示的空间直角坐标系 Bxyz z y x C1 B1 A1 B A Q P C 则 0 0 3A 0 0 0B 4 0 0C 0 3 0P 4 7 0Q 所以 0 3 3 AP 4 7 3 AQ 设平面的一个法向量为 PQA 1 xyz n 则 即 1 1 0 0 AP AQ n n 330 4730 yz xyz 令 则 所以 1x 1yz 1 1 1 1 n 显然平面的一个法向量为 BCA 2 0 1 0 n 设平面与平面所成锐二面角为 PQABCA 则 12 12 12 3 coscos 3 n n nn n n 所以平面与平面所成角的余弦值为 12 分PQABCA 3 3 19 1 记 3 次投篮的人依次是甲 甲 乙 为事件 A 由题意 得 122 339 P A 答 3 次投篮的人依次是甲 甲 乙的概率是 5 分 2 9 用心 爱心 专心8 2 由题意的可能有取值为 0 1 2 3 且 212125 0 323239 P 211121 1 323333 P 1122 2 33327 P 1111 3 33327 P 所以的分布列为 0123 P 5 9 1 3 2 27 1 27 的数学期望 12 分 512116 0123 93272727 E 20 1 设直线 的方程为 l 1 0 yk xk 由 可得 2 1 4 yk x yx 2222 240k xkxk 设 则 3 分 1122 A x yB xy 2 1212 2 24 1 k xxx x k 12 4y y 1 0N 1212 22 1212 44 1144 NANB yyyy kk xxyy 22 1221 2112 2222 1212 444 4 4444 0 4444 yyyy yyyy yyyy 又当 垂直于 轴时 点关于 轴 显然 lx A Bx0 NANBNANB kkkk 综上 6 分0 NANBNANB kkkk 2 2 12121212 448 NAB Syyyyy yxx 2 1 4 14 k 当 垂直于 轴时 lx4 NAB S 面积的最小值等于 11 分ANB 4 3 推测 NANB kk 面积的最小值为 13 分ANB 4m m 21 1 函数的定义域为 f x 0 x x 2 1 a fx xx 用心 爱心 专心9 又曲线在点处的切线与直线垂直 yf x 1 1 f20 xy 所以 即 4 分 1 12fa 1a 2 由于 2 1 ax fx x 当时 对于 有在定义域上恒成立 0a 0 x 0fx 即在上是