高考数学 第12课时—反函数教案

用心 爱心 专心1 反函数反函数 二 教学目标 理解反函数的意义 会求一些函数的反函数 掌握互为反函数的函数图象 间的关系 会利用 xfy 与 1 xfy 的性质解决一些问题 三 教学重点 反函数的求法 反函数与原函数的关系 四 教学过程 一 主要知识 1 反函数存在的条件 从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数 2 反函数的定义域 值域上分别是原函数的值域 定义域 若 yf x 与 1 yfx 互 为反函数 函数 yf x 的定义域为A 值域为B 则 1 f fxx xB 1 ff xx xA 3 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 它们的图象关于yx 对称 二 主要方法 1 求反函数的一般方法 1 由 yf x 解出 1 xfy 2 将 1 xfy 中的 x y互换位置 得 1 yfx 3 求 yf x 的值域得 1 yfx 的定义域 三 例题分析 例 1 求下列函数的反函数 1 2 1 f xxx x 2 2 2 1 01 10 xx f x xx 3 32 331yxxx 解 1 由 2 1 yxx x 得 22 11 1 24 yxx 2 11 0 24 xyy 所求函数的反函数为 2 11 0 24 yxx 2 当01x 时 得1 10 xyy 当10 x 时 得 01 xyy 所求函数的反函数为 1 10 01 xx y xx 3 由 32 331yxxx 得 3 1 2yx 3 12 xyyR 所求反函数为 13 12 fxxxR 例 2 函数 11 1 ax yxxR axa 的图象关于yx 对称 求a的值 解 由 11 1 ax yxxR axa 得 1 1 1 y xy a y 1 1 1 1 x fxx a x 由题知 1 f xfx 11 1 1 xax a xax 1a 例 3 若 2 1 既在 f xmxn 的图象上 又在它反函数图象上 求 m n的值 用心 爱心 专心2 解 2 1 既在 f xmxn 的图象上 又在它反函数图象上 1 2 2 1 f f 2 21 mn mn 3 7 m n 例 4 高考A计划 考点 12 智能训练第 5 题 设函数 x x xf 1 21 又函数 xg与 1 1 yfx 的图象关于yx 对称 求 2 g的值 解法一 由 1 2 1 x y x 得 1 2 y x y 1 1 2 x fx x 1 1 3 x fx x xg与 3 x y x 互为反函数 由2 3 x x 得 2 2g 解法二 由 1 1 yfx 得 1xf y 1g xf x 2 2 12gf 例 5 已知函数 yf x 定义域为A 值域为B 有反函数 1 yfx 则方程 0f x 有解 xa 且 f xx xA 的充要条件是 1 yfx 满 足 11 0 fxx xBfa 且 例 6 高考A计划 考点 12 智能训练第 15 题 已知 21 21 x x a f xaR 是 R上的奇函数 1 求a的值 2 求 f x的反函数 3 对任意的 0 k 解不 等式 1 2 1 log x fx k 解 1 由题知 0 0f 得1a 此时 2121211 2 0 21212112 xxxx xxxx f xfx 即 f x为奇函数 2 212 1 2121 x xx y 得 1 2 11 1 x y y y 1 2 1 log 11 1 x fxx x 3 1 2 1 log x fx k 11 1 11 xx xk x 1 11 xk x 当02k 时 原不等式的解集 11 xkx 当2k 时 原不等式的解集 11 xx 四 巩固练习 1 设 2 1 01 2 10 x xx f x x 则 1 5 4 f 2 设0 1aa 函数logayx 的反函数和 1 log a yx 的反函数的图象关于 用心 爱心 专心3 Ax轴对称 By轴对称 Cyx 轴对称 D原点对称 3 已知函数 1 1 2 x f x 则 1 fx 的图象只可能是 A B C D 4 若6yax 与 1 3 yxb 的图象关于直线yx 对称 且点 b a在指数函