高中数学 3.1《回归分析的基本思想及其初步应用》素材 新人教版选修2-3

用心 爱心 专心 回归直线方程的推导回归直线方程的推导 设 x 与 y 是具有线性相关关系的两个变量 且相应于样本的一组观测值的 n 个点的坐 标分别是 112233 nn x yxyxyxy 下面给出回归方程的推导 设所求的回归方程为 y bxa 其中 a b是待确定的参数 那么 i i ybxa 1 2 3 in 样本中各个点的偏差是 iiii yyybxa 1 2 3 in 显然 上面的各个偏差的符号有正 有负 如果将他们相加会相互抵消一部分 因此他 们的和不能代表 n 个点与回归直线在整体上的接近程度 而是采用 n 个偏差的平方和Q来 表示 n 个点与相应直线 回归直线 在整体上的接近程度 即 22 11 nn iiii ii Qyyybxa 2222 112233 nn ybxaybxaybxaybxa 求出当Q取最小值时的 a b的值 就求出了回归方程 一 先证明两个在变形中用到的公式 公式 公式 1 1 2 22 11 nn ii ii xxxnx 其中 12n xxx x n 因为 2222 12 1 n in i xxxxxxxx 2 222 12 12 2 n n xxx xxxnxnx n 2 222 12 2 n xxxnxnx 222 12 n xxxnx 2 2 1 n i i xnx 所以 2 22 11 nn ii ii xxxnx 公式 公式 11 nn iiii ii xxyyx ynxy 因为 1122 1 n iinn i xxyyxxyyxxyyxxyy 11221122 nnnn x yx yx yx yy xx yy xx yy xnxy 用心 爱心 专心 1212 1 n iinn i x yxxxyyyyxnxy 1212 1 n nn ii i xxxyyy x ynyxnxy nn 1 2 n ii i x ynxynxy 1 n ii i x ynxy 所以 11 nn iiii ii xxyyx ynxy 二 推导 将Q的表达式的各项先展开 再合并 变形 2222 112233 nn Qybxaybxaybxaybxa 222 121122 222 12 2 2 2 nnn n yyyy bxay bxay bxa bxabxabxa 展开展开 2222 11111 222 nnnnn iiiiii iiiii ybx yaybxabxna 以以 a a b b 为同类项 合为同类项 合 并并 2222 11 111 2 2 nn iinnn ii iiii iii yx nanabbxbx yy nn 以以 a a b b 的次数的次数为标准整为标准整 理理 2222 111 2 2 nnn iiii iii nana ybxbxbx yy 将数据转化为平均数将数据转化为平均数 x y 22222 111 2 nnn iiii iii n aybxn ybxbxbx yy 配方法配方法 22 22222 111 22 nnn iiii iii n aybxnynbxynb xbxbx yy 展开展开 22 2222 111 2 nnn iiii iii n aybxbxnxbx ynxyyny 整理整理 2222 111 2 nnn iiii iii n aybxbxxbxxyyyy 用公式 一 用公式 一 二 变形 二 变形 用心 爱心 专心 2222 1 2 11 1 2 n iinn i iin ii i i xxyy n aybxxxbbyy xx 配方配方 2 2222 11 22 11 11 nn iiiinn ii iinn ii ii ii xxyyxxyy n aybxxxbyy xxxx 在上式中 共有四项 后两项与a b 无关 为常数 前两项是两个非负数的和 因此 要使得Q区的最小值 当且仅当前两项的值都为 0 所以 1 2 1 n ii i n i i aybx xxyy b xx 或 1 2 1 n ii i n i i aybx x ynxy b xnx 用公式用公式 一 一 二 变形得 二 变形得 三 总结规律 上述推倒过程是围绕着待定参数a b 进行的 只含有 ii x y的部分是常数或系数 用 到的方法有 1 配方法 有两次配方 分别是a的二次三项式和 b 的二次三项式 2 变形时 用到公式 一 二 和整体思想 3 用平方的非负性求最小值 4 实际计 算时 通常是分步计算 先求出 x y 再分别计算 1 n ii i xxyy 2 1 n i i xx 或 1 n ii i x ynx