高一数学 第2章《不等式中的恒成立》素材 沪教版

用心 爱心 专心 专题研究之二 不等式中恒成立问题的解法研究 专题研究之二 不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中 经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所 有值都成立的恒成立问题 恒成立问题的基本类型 类型 1 设 0 2 acbxaxxf 1 Rxxf 在0 上恒成立 00 且a 2 Rxxf 在0 上恒成立00 且a 类型 2 设 0 2 acbxaxxf 1 当0 a时 0 xxf在上恒成立 0 2 0 2 0 2 f a b a b f a b 或或 0 xxf在上恒成立 0 0 f f 2 当0 a时 0 xxf在上恒成立 0 0 f f 0 xxf在上恒成立 0 2 0 2 0 2 f a b a b f a b 或或 类型 3 min xfIxxf恒成立对一切 max xfIxxf恒成立对一切 类型 4 maxmin Ix xgxfxgxfIxxgxf 的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是 根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化 正确选 用函数法 最小值法 数形结合等解题方法求解 一 用一次函数的性质 对于一次函数 nmxbkxxf 有 0 0 0 0 0 0 nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 用心 爱心 专心 例 1 若不等式 1 12 2 xmx对满足22 m的所有m都成立 求 x 的范围 解析 我们可以用改变主元的办法 将 m 视为主变元 即将元不等式化为 0 12 1 2 xxm 令 12 1 2 xxmmf 则22 m时 0 mf恒成立 所以只需 0 2 0 2 f f 即 0 12 1 2 0 12 1 2 2 2 xx xx 所以 x 的范围是 2 31 2 71 x 二 利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数 0 0 2 Rxacbxaxxf 有 1 Rxxf 在0 上恒成立00 且a 2 Rxxf 在0 上恒成立00 且a 例 2 若不等式02 1 1 2 xmxm的解集是 R 求 m 的范围 解析 要想应用上面的结论 就得保证是二次的 才有判别式 但二次项系数含有参数 m 所以要讨论 m 1 是否是 0 1 当 m 1 0 时 元不等式化为 2 0 恒成立 满足题意 2 01 m时 只需 0 1 8 1 01 2 mm m 所以 9 1 m 三 利用函数的最值 或值域 1 mxf 对任意 x 都成立mxf min 2 mxf 对任意 x 都成立 max xfm 简单计作 大的大于最大的 小的 小于最小的 由此看出 本类问题实质上是一类求函数的最值问题 例 3 在 ABC 中 已知2 2cos 24 sinsin4 2 mBfB B BBf且 恒成立 求实数 m 的范围 解析 由 1 0 sin 0 1sin22cos 24 sinsin4 2 BBBB B BBf 3 1 Bf 2 mBf 恒成立 2 2 mBf 即 2 2 Bfm Bfm 恒成 立 3 1 m 例 4 1 求使不等式 0 cossin xxxa恒成立的实数 a 的范围 用心 爱心 专心 解析 由于函 4 3 4 4 4 sin 2cossin xxxxa 显然函数有最大值 2 2 a 如果把上题稍微改一点 那么答案又如何呢 请看下题 2 求使不等式 2 0 4 cossin xxxa恒成立的实数 a 的范围 解析 我们首先要认真对比上面两个例题的区别 主要在于自变量的取值范围的变化 这 样使得xxycossin 的最大值取不到2 即 a 取2也满足条件 所以2 a 所以 我们对这类题要注意看看函数能否取得最值 因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值 利用这种方法时 一般要求把参数单独放在一侧 所以也叫分离参数法 四 数形结合法 对一些不能把数放在一侧的 可以利用对应函数的图象法求解 例 5 已知恒成立有时当 2 1 1 1 1 0 2 xfxaxxfaa x 求实数 a 的取值范围 解析 由 xx axaxxf 2 1 2 1 22 得 在同一直角坐标系中做出两个函数的 图象 如果两个函数分别在 x 1 和 x 1 处相交 则由 122 2 1 1 2 1 1 aa及得到 a 分别等于 2 和 0 5 并作出函数 xx yy 2 1 2 及的图象 所以 要想使函数 x ax 2 1 2 在区间 1 1 x中恒成立 只须 x y2 在区间 1 1 x对应的图象在 2 1 2 xy在区间 1 1 x对应图象的上面即可 当2 1 aa只有时才能保证 而 2 1 10 aa时 只有才可以 所以 2 1 1 2 1 a 由此可以看出 对于参数不能单独放在一侧的 可以利用函数图象来解 利用函数 图象解题时 思路是从边界处 从相等处 开始形成的 例 6 若当 P m n 为圆1 1 22 yx上任意一点时 不等式0 cnm恒成立 则 c 的取值范围是 A 1221 c B 1212 c C 12 c D 12 c 解析 由0 cnm 可以看作是点 P m n 在直线0 cyx的右侧 而点 P m n 在圆1 1 22 yx上 实质相当于是1 1 22 yx在直线的右侧并与它相离或相切 用心 爱心 专心 12 1 11 10 010 22 cc c 故选 D 其实在习题中 我们也给出了一种解恒成立问题的方法 即求出不等式的解集后再进行 处理 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题 其实 对于恒成立问题 有时关键是能否看 得出来题就是关于恒成立问题 下面 给出一些练习题 供同学们练习 练习题 1 对任意实数 x 不等式 0cossinRcbacxbxa 恒成立的充要条件 是 22 bac 2 设 1 7 932 lglg 在 a y xxx 上有意义 求实数 a 的取值范围