高中数学 三角函数图像与性质题型训练专题学生版

1 三角函数图像与性质题型训练三角函数图像与性质题型训练 一 单调性 一 单调性 例 1 已知函数 4cossin 6 f xxxa 的最大值为 2 1 求a的值及 f x的最小正周期 2 求 f x在区间 0 上的单调递增区间 跟踪训练 设函数 sin 2 0 f xxyf x 图像的一条对称轴是直线 8 x 求 求函数 xfy 在 0 上的单调增区间 二 最值及值域 二 最值及值域 例 2 已知函数 2 1 2 cos 2 cos 2 sin 2 xxx xf 若 4 2 f 0 求 的值 求函数 xf在 4 上最大值和最小 值 跟踪练习 在平面直角坐标系下 已知 2 0 A 0 2 B cos2 sin2 Cxx f xAB AC uu u r uuu r 1 求 f x的表达式和最小正周期 2 当0 2 x 时 求 f x的值域 2 y x O 6 2 2 5 12 三 奇偶性 三 奇偶性 例 3 已知函数 sin 0 0 2 f xAxA 的部分图象如图所示 1 求函数 f x的解析式 2 令 g xf x 6 判断函数 g x的奇偶性 并说明理由 跟踪练习 已知函数sin0 0f xx 为偶函数 其图象上相邻的两个 最高点之间的距离为2 求 f x 的解析式 若 32 1 33 f 求 5 sin 2 3 的值 四 对称性 四 对称性 例 4 若函数 f xa b 2cos cossin sin cossin axxx bxxx 1 求 f x的图象的对称中心坐标和对称轴方程 2 若m 0 2 xf xm 求实数m的取值范围 3 跟踪练习 已知函数 2 0 00 A 1cos2 xAxf的最大值为 3 xf的图像的相邻两对称轴间的距离为 2 在 y 轴上的截距为 2 1 求函数 xf的解析式 2 求 f x的单调递增区间 五 图像变换 五 图像变换 例 5 已知 sin 0 0 22 f xAxA 的图象如右图 求 yf x 的解析式 说明 yf x 的图象 是由sinyx 的图象经过怎样的变换得到 跟踪练习 已知函数 3sin cos f xxx 0 0 为偶函数 且函数 yf x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 求 8 f 的值 将函数 yf x 的图象向右平移 6 个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍 纵 坐标不变 得到函数 yg x 的图象 求 g x的单调递减区间 0 4 y x 4 6 4 六 五点法作图 六 五点法作图 例 6 已知函数1 cos sinsin2 xxxxf 1 求函数 xf的最小正周期和最大值 2 在给定的坐标系内 用五点作图法画出函数 xf在一个周期内的图象 跟踪练习 设 sin cos 2cos 2 sin bxxa 0 函数 b axf 且0 8 3 f 求 在给出的直角坐标系中画出函数 xfy 在区间 0 上 的图像 根据画出的图象写出函数 xfy 在 0 上的单调区间和最值 5 4 9 8 7 8 3 4 5 8 2 3 8 4 8 2 2 2 1 2 1 O y x 5 三角函数图像与性质题型训练参考答案三角函数图像与性质题型训练参考答案 一 单调性 一 单调性 例 1 解 1 31 4cossin 4cos sincos 622 f xxxaxxxa 2 2 3sin cos2cos1 13sin2cos1xxxaxxa 2sin 2 1 6 xa 当sin 2 6 x 1 时 f x取得最大值213aa 又 f x的最大值为 2 32a 即1a f x的最小正周期为 2 2 T 2 由 1 得 2sin 2 6 f xx 222 262 kxkkZ 得 36 kxk 0 x f x 的单调增区间为 0 6 和 2 3 跟踪训练 解 1 因为 xfy 图象的一条对称轴是直线 8 x 4 0 ff 即 cos 2 sin sin 1tan 又 0 4 3 2 4 3 2sin 2 4 3 sin 2sin xxxxf 由 2 2 3 2 24 3 2Zkkkx 得 8 9 8 5 Zkkkx 分别令1k 2k 得 xfy 的单调增区间是 73 0 88 开闭区间均可 二 最值及值域 二 最值及值域 例 2 解 1 2 1 2 cos1 sin 2 1 x xxf cos sin 2 1 xx 4 sin 2 2 x 由题意知 4 2 4 sin 2 2 f 即 2 1 4 sin 6 0 即 4 5 4 4 12 7 6 5 4 2 4 即 4 5 4 0 2 2 4 max fxf 2 1 min fxf 跟踪练习 解 1 2 2 AB uu u r 2cos2 sin2 ACxx uuu r f x 2 2 cos22 sin2 xx 42cos22sin2xx 2 2sin 2 4 4 x f x2 2sin 2 4 4 x f x的最小正周期为 2 2 T 2 0 2 x 3 2 444 x 1 4 2sin 2 2 x 224 2 xf 所以函数 f x的值域是 224 2 三 奇偶性 三 奇偶性 例 3 1 2sin 2 6 f xx 2 偶函数 跟踪练习 解 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2 2 T 则1 2 T sin xxf xf 是偶函数 2 Zkk 又 0 2 则xxfcos 由已知得 2 3 3 1 3 cos 6 5 0 3 则 2 2 sin 33 9 24 3 cos 3 sin 2 3 2 2sin 3 5 2sin 四 对称性 四 对称性 例 4 1 对称中心 0 28 k kZ 对称轴方程 28 k xkZ 2 2 m 跟踪练习 解 7 2 122cos 2 A x A xf 依题意 2A 3 2 1 2 AA 又 4T 2 2 得 T 4 4 2 2 22 2 cos xxf 令 x 0 得 2 2 2 0 222cos 又 所以 函数 xf的解析式为 2 sin2 xxf 当 3 22 222 kxk kZ 时 f x单增 即4143kxk kZ f x的增区间是 41 43 kkkZ 注意其它正确形式 如 区间左右两端取开 闭 注意其它正确形式 如 区间左右两端取开 闭 14 34 kk等 等 五 图像变换 五 图像变换 例 5 解 1 由图知 A 4 由 35 466 T 得 10 9 T 所以 9 5 由 9 562 得 5 所以 9 4sin 55 f xx 2 由sinyx 得图象向左平移 5 单位得sin 5 yx 的图象 再由sin 5 yx 图象的横坐标缩短为原来 5 9 得 9 sin 55 yx 的图象 由 9 sin 55 yx 的图象纵坐标伸长为原来的 4 倍得 9 4sin 55 f xx 的图象 跟踪练习 解 3sin cos f xxx 31 2sin cos 22 xx 2sin 6 x 因为 f x为偶函数 所以对x R fxf x 恒 成立 因此 sin sin 66 xx 即 sincoscossinsincoscossin 6666 xxxx 8 整理得 sincos0 6 x 因为0 且x R 所以 cos0 6 又因为 0 故 62 所以 2sin2cos 2 f xxx 由题意得 2 2 2 A 所以2 故 2cos2f xx 因此 2cos2 84 f 将 f x的图象向右平移 6 个单位后 得到 6 fx 的图象 再将所得图象横坐标伸长 到原来的 4 倍 纵坐标不变 得到 46 x f 的图象 所以 2cos 22cos 464623 xxx g xf 当 2 2 23 x kk k Z 即 2 8 4 4 33 kxk k Z g x的减区间为 28 4 4 33 kkkZ 六 五点法作图 六 五点法作图 例 6 1 1cossin2sin21 cos sinsin2 2 xxxxxxxf xx2cos2sin 4 2sin 2 x xf的最小正周期为 T xf的最大值 为2 2 列表 函数 xf在一个周期内的图象如图 0 2020 9 8 7 8 5 8 3 8 8 2 3 2 2