高中数学 关于界心与五心的距离知识分析

1 关于界心与关于界心与 心心 的距离公式的距离公式 我们先约定 用a b c p分别表示 ABC 的边长和半周长 F K E G O I H I1 I2 I3分别表示 ABC 的费马点 界心 九点圆的圆心 重心 外心 内心 垂心及 A B C 内的旁心 m n r 分别表示 KA KB KC 的长度 于是 我们有 定理 1 1 设 D E 分别为 ABC 的边 AC AB 所在直线 上的点 BD 与 CE 交于点 Q 若 DC AD EB AE 则 222 2 2 1 abc AQ 1 特别地 当点 P 重合于三角形的界心 K 时 有 则 AD DC pc pa AE EB pb pa 代入公 式 1 得 ABC 的顶点 A 与界心 K 的距离为 222 22 2 a pc ba pb cpbpc a mAK p 同理 222 22 2 b pa cb pc apcpa b nBK p 222 22 2 c pb ac pa bpapb c rCK p 这就是计算三角形的顶点与它的界心的距离公式 定理 2 2 设 D E 分别为 ABC 的边 AC AB 所在直线 上的点 BD 与 CE 交于点 Q 若 DC AD EB AE 点 P 为 ABC 所在平面上任意一点 则 2 222222 2 1 1 cbaPCPBPA PQ 特别地 当点 P 重合于界心 K 时 有 222222 2 2 1 1 mnrabc QK 2 这就是计算三角形的界心与这个三角形所在平面上任意一点的距离公式 因此 公式 2 中 含有两个参数 和 通过对参数的选取 分别计算出三角形的界心与 心 的距离 1 如果点 Q 是 ABC 的重心 G 则 1 代入公式 2 得界心 K 与重心 G 的距离公式 2222222 11 39 KGmnrabc 2 2 如果点 Q 为 ABC 的内心 则 a c a b 代入公式 2 得界心 K 与内心 I 的距离 为 222 2 ambncrabc KI abc 3 如果点 Q 为 ABC 的 A 内的旁心 I1 则 a c DC AD a b EB AE 代入公式 2 即得 ABC 的 A 内的旁心 I1与界心 K 的距离为 222 2 1 ambncrabc KI abc 同理 222 2 2 ambncrabc KI abc 222 2 3 ambncrabc kI abc 4 如果点 Q 为 ABC 的垂心 H 则对于非直角三角形有 A B DC AD tan tan A C EC AE tan tan 代入公式 2 即得 ABC 的垂心 H 与界心 K 的距离为 222 2 tantantan tantantan mAnBrC KH ABC 2 222 tantan tan tantantantantantan CBA BAcACbCBa 5 如果点 Q 为 ABC 的外心 O 则对于非直角三角形有 sin2 sin2 ADC DCA A B EC AE 2sin 2sin 代入公式 2 即得 ABC 的外心 O 与界心 K 的距离为 222 2 sin2sin2sin2 sin2sin2sin2 mAnBrC KO ABC 2 222 2sin2sin2 sin 2sin2sin2sin2sin2sin2sin CBA BAcACbCBa 6 如果点 Q 为 ABC 的九点圆的圆心 E 则由文 3 知 点 E 为线段 OH 的中点 则在 KOH 中由中线长度计算公式可得 2 KE的距离公式 7 如果点 Q 为 ABC 的费马点 F 则文 4 中已给出了 2 KF的计算公式 由以上讨论知 三角形的费马点到它的重心 内心 旁心 垂心 外心 九点圆的圆心以及界 心的距离都可以用这个三角形的边长表示 并且它们的计算都可以统一于公式 2 参考文献 1 贺功保 计算三角形顶点与 心 距离的统一公式 湖南