高中数学变换角构造函数证明三角不等式专题辅导

用心 爱心 专心 高中数学高中数学变换角构造函数证明三角不等式变换角构造函数证明三角不等式 在研究三角问题时 常会遇到有如下特点的三角不等式证明问题 不等号的一边为常 数 当三角形是正三角形取等号 这类不等式的证明往往有一定技巧 且涉及不同三角函 数时不等式其证明的方法亦有显著差异 让人觉得无章可循 本文打算介绍一种方法 此 法通过对三角形的角作变换 逐步将其调整为正三角形的三个内角 并寻求适当的函数来 完成对不等关系的证明 在 ABC 中 不妨设 则必有CBA 3 2 CB 3 2 BA 3 C 3 A 因此CB 3 2 A 又且B 3 2 3 CA 3 B 3 2 AC 即用角代替角 A C 后 它们的和不变 但两角 靠得更近了 B 3 2 3 如果某三角不等式中等号成立的条件是 则可猜想 三个角的大小愈接 3 CBA 近 它们对应的式子的值也就愈接近不等号一侧的常数 最值 因此若能够确定角由 A C 换成后两式间某种不等关系 证明便大有希望 B 3 2 3 为了叙述简便 假设下面涉及的角 A B C 均满足 另外在构造函数时 CBA 用到的角及 x 均满足下列条件 2 0 x 2 0 例 1 在 ABC 中 求证 sinA sinB sinC 2 33 分析 考虑函数 xsin xsin x f 因为 又 故在上为减函数 xcossin2 x f 0sin x f 2 0 令 解得 xC xA AC 2 1 x CA 2 1 由 f x 的单调性知 在三角形中 当两个角的和为定值时 两角差的绝对值愈小 它 们的正弦和越大 因为且 B 3 2 3 CA B B 3 2 AC 所以 B 3 2 sin 3 sinCsinAsin 又 及 33 B B 3 2 33 B B 3 2 所以 3 sin 3 sinBsin B 3 2 sin 从而有 2 33 3 sin 3 sin 3 sinCsinBsinAsin 从上面的证明可以看出 构造函数是证明不等式的重要一环 构造的函数则以三角形 的两角差的绝对值为自变量 确定所得函数的单调性 进而得到相应的不等关系 例 2 在 ABC 中 求证 8 33 2 C cos 2 B cos 2 A cos 用心 爱心 专心 分析 先考虑函数 2 x cos 2 x cos x f 由于 所以在上为减函数 xcos cos 2 1 2 x cos 2 x cos x f x f 2 0 即当三角形的两个角的和为定值时 它们差的绝对值愈小 这两个角的半角的余弦之 积也就越大 因为且 B 3 2 3 CA B B 3 2 AC 所以 6 B32 cos 6 cos 2 B 3 2 cos 2 3 cos 2 C cos 2 A cos 又 33 B B 3 2 及 33 B B 3 2 故 6 cos 6 cos 6 B32 cos 2 B cos 所以有 8 33 6 cos 6 cos 6 cos 2 C cos 2 B cos 2 A cos 在判断函数的单调性时 可将角中的 x 用适当的方法予以分离 再结合有x x 关三角函数的性质 便可获得所需的结论 例 3 在 ABC 中 求证 4 9 CsinBsinAsin 222 分析 考虑函数 x sin x sin x f 22 因为 x sin x sin x f 22 x2cos2cos1 x2cos2cos2 2 1 1 x22cos x22 cos 2 1 1 注意到当为钝角时 即当三角形的两个内角和为定 2 x x 02cos 值且为钝角时 两角差的绝对值愈小 它们的正弦的平方和也就越大 因为 A C 为钝角 所以 B 3 2 sin 3 sinCsinAsin 2222 又为钝角 所以 3 2 B 3 2 B 3 sin 3 sin B 3 2 sinBsin 2222 故有 4 9 CsinBsinAsin 222 例 4 在锐角 ABC 中 求证 33CtanBtanAtan 分析 考虑函数 xtan xtan x f 用心 爱心 专心 因为 xtan xtan x f x2cos2cos 2sin2 x2cos2 cos 2 1 2sin xcos xcos xsin xcos xcos xsin xcos xsin xcos xsin 由于 及 02sin 0 x2cos2cos 所以函数在内单调递增 x f 2 0 即当锐角三角形的两个内角和为定值时 它们的差的绝对值愈小 它们的正切的和也 就越小 注意到CB 3 2 A 可知且 B 3 2 tan 3 tanCtanAtan 3 tan 3 tan B 3 2 tan Btan 从而有 33CtanBtanAtan 从上面对不等式证明的分析过程可以看出