高中数学：导数的计算知识点分析 新人教A版选修1-1

共 4 页 第 1 页 导数的计算导数的计算 导数及其应用这部分内容 在近几年的高考中已成为一个热点 试题比 重在逐年增加 题型从选择题 填空题到解答题均有涉及 选择题 填空 题主要考查本章的基本公式和基本方法的应用 如求函数的导数 切线 的斜率 函数的单调区间 极值 最值 解答题一般为导数的应用 主 要考查利用导数判断函数的单调性 在应用题中用导数求函数的最大值 和最小值 1 学习导数的概念要结合其实际背景以帮助理解 要熟记常用的导 数公式 掌握函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则 会求简 单初等函数的导数 2 从一千七百多年前刘徽的 割圆术 开始 经过历代数学工作者的 努力 目前的微积分理论已十分完善 解决导数的有关问题已构成完备 的操作程序 解题过程特别是解题方法上都不像解决其他章节题目那样 思路广阔 方法多样 这就要求我们必须熟练地掌握有关法则与公式 3 化归转化思想与分类讨论思想是本章内容的重要数学思想 把不 熟悉的转化为熟悉的 把不规范的转化为规范的甚至模式化的问题 将 是复习本章内容的基本思维模式 4 用函数和方程的思想指导本章的学习 在导数应用的许多问题中都 蕴含着函数和方程关系 用函数和方程的思想加以指导 利于问题的解 决 5 正确理解函数极值的概念 确定函数的极值应从几何直观入手 理 解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系 掌握利用导 共 4 页 第 2 页 数判断函数极值的基本方法 6 准确 深刻地理解函数最值的概念 揭示函数最值与极值的联系 与区别 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数 的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性 的概念 2 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的可导函数不一定有 最值 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的 极值则可能不止一个 也可能没有极值 4 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则确定函数的最值时 不仅要 比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各 不可导的点处的值 5 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那 么要根据实际意义判定最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值 进行比较 7 认识函数最值的实质 把握求函数最值的基本方法 强化应用意 识 善于利用等价转化 数形结合等数学思想方法 并发展延伸 这样便 能不断提高解题的灵活性和变通性 利用公式利用公式 2 求函数的导数求函数的导数 例例 求下列函数的导数 共 4 页 第 3 页 1 12 xy 2 4 1 x y 3 53 xy 分析 分析 根据所给问题的特征 恰当地选择求导公式 将题中函数的结构施行调整 函 数 4 1 x y 和 53 xy 的形式 这样 在形式上它们都满足幂函数的结构特征 可直接应用 幂函数的导数公式求导 解 解 1 1212 1111212 xxxy 2 4 4 4 5 5144 x xxxy 3 5 3 5 3 5 3 52 5 2 1 5 3 5 3 53 x xxxxy 说明 对于简单函数的求导 关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本 函数的模式 以免求导过程中出现指数或系数的运算失误 运算的准确是数学能力高低的 重要标志 要从思想上提高认识 养成思维严谨 步骤完整的解题习惯 要形成不仅会求 而且求对 求好的解题标准 根据斜率求对应曲线的切线方程根据斜率求对应曲线的切线方程 例例 求曲线12 2 xy的斜率等于 4 的切线方程 分析 分析 导数反映了函数在某点处的变化率 它的几何意义就是相应曲线在该点处切线 的斜率 由于切线的斜率已知 只要确定切点的坐标 先利用导数求出切点的横坐标 再 根据切点在曲线上确定切点的纵坐标 从而可求出切线方程 解 解 设切点为 00 yxP 则 xxy4 12 2 4 0 xx y 即44 0 x 1 0 x 当1 0 x时 1 0 y 故切点 P 的坐标为 1 1 所求切线方程为 1 41 xy 即 0 34 yx 说明 说明 数学问题的解决 要充分考虑题设条件 捕捉隐含的各种因素 确定条件与结 论的相应关系 解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件 或受思维定势的消极影响 先设出切线方程 再利用直线和抛物线相切的条件 使得解题 的运算量变大 求直线方程求直线方程 共 4 页 第 4 页 例例 求过曲线xycos 上点 2 1 3 P且与过这点的切线垂直的直线方程 分析 分析 要求与切线垂直的直线方程 关键是确定切线的斜率 从已知条件分析 求切 线的斜率是可行的途径 可先通过求导确定曲线在点 P 处切线的斜率 再根据点斜式求出 与切线垂直的直线方程 解 解 xycos sin xy 曲线在点 2 1 3 P处的切线斜率是 2 3 3 sin 3 x y 过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 3 2 所求的直线方程为 33 2 2 1 xy 即0 2 3 3 2 32 yx 说明说明 已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义 在确定与切线垂直的直线方程 时 应注意考察函数在切点处的导数 y 是否为零 当0 y 时 切线平行于 x 轴 过切点 P 垂