黑龙江大庆市2013届高三数学第三次阶段试题 理 新人教A版

1 大庆铁人中学大庆铁人中学 20132013 届高三第三次阶段考试届高三第三次阶段考试 数学 理 试题数学 理 试题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 满分 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请考生把答案填写在答题纸相应位置上 1 已知 则 1 0 2 sin PQy yR PQ A B C D 0 1 0 1 0 2 2 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 A B 2 x y 2 1 1 yg xx C D 22 xx y 1 1 1 yg x 3 若复数是纯虚数 则的值为 5sin3 5cos4 zi tan A B C D 4 3 3 4 3 4 33 44 或 4 给出下列不等式 a2 1 2a 2 x2 1 其中正确的个数是 a b ab 1 x2 1 A 0 B 1 C 2 D 3 5 已知 1 a b 4 成等差数列 1 c d e 4 成等比数列 则 b a d A B 1 4 1 2 C D 或 1 2 1 2 1 2 6 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 2 y x 1yx 4x A B 42ln2 2ln2 2 C D 4ln2 2ln2 7 若某几何体的三视图如图 1 所示 则此几何体的表面积是 A B 5 3 2 3 3 2 C D 3 3 2 8 已知为互相垂直的单位向量 向量a b 且a与a b的夹角为ji ji2 ji 锐角 则实数的取值范围是 A B 0 0 3 5 3 5 C D 0 0 3 5 0 3 5 9 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M N两点 O为坐标原点 若OMON 则双曲线的离心率为 A 13 2 B 1 3 2 C 15 2 D 1 5 2 10 设函数的最小正周期为 且 sincosf xxx 0 2 则 fxf x A 在单调递减 B 在单调递减 f x0 2 f x 3 44 C 在单调递增 D 在单调递增 f x0 2 f x 3 44 11 已知球的直径SC 4 A B是该球球面上的两点 AB ASC BSC 30 则 3 棱锥S ABC的体积为 A 3 B 2 C 33 33 D 1 12 已知为 R 上的可导函数 且均有 x 则有 f x xR f xf 3 A 20132013 2013 0 2013 0 efffef B 20132013 2013 0 2013 0 efffef C 20132013 2013 0 2013 0 efffef D 20132013 2013 0 2013 0 efffef 第 卷 非选择题 满分 90 分 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 请考生把答案填写在答题纸相应 位置上 13 若实数 满足条件则的最大值为 xy 0 30 03 xy xy x 2xy 14 设F为抛物线y2 4x的焦点 A B C为该抛物线上三点 若 0 则 FA FB FC FA FB FC 15 设等比数列的各项均为正数 公比为 前项和为 若对 有 n aqn n S n N 则的取值范围是 nn SS3 2 q 16 下列四个命题 直线与圆恒有公共点 ykx 22 cos sin 1xy 为 ABC 的内角 则最小值为 A sincosAA 2 已知a b是两条异面直线 则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与 a b都垂直 等差数列 中 则使其前n项和 n a 11006100710061007 0 0 0 aaaaa 成立的最大正整数为 2013 0 n S 其中正确命题的序号为 将你认为正确的命题的序号都填上 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 4 17 本小题满分 10 分 在直角坐标系xOy中 以原点O为圆心的圆与直线x y 4 0 相切 3 求圆O的方程 若已知点P 3 2 过点P作圆O的切线 求切线的方程 18 本小题满分 12 分 在锐角 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 且满足 0bca bcabc 求角的大小 A 若 求的取值范围 2 3sincoscos 222 xxx f x f B 19 本小题满分 12 分 已知等差数列 的公差 它的前n项和为 若 且成 n a0d n S 5 70S 2722 a a a 等比数列 求数列 的通项公式 n a 若数列 的前n项和为 求证 1 n S n T 13 68 n T 20 本小题满分 12 分 如图 四边形与均为菱形 且 ABCDBDEF 60DBFDABFAFC 求证 平面 AC BDEF 求证 AE 平面FCB 求二面角的余弦值 BFCA 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的焦点坐标为 且短轴一顶点B满足 1 1 0 F 2 1 0 F 12 2BF BF 求椭圆的方程 过的直线l与椭圆交于不同的两点M N 则 MN的内切圆的面积是否存 2 F 1 F E C B A D F 5 在最大值 若存在求出这个最大值及此时的直线方程 若不存在 请说明理由 22 本小题满分 12 分 已知函数 2 ln 1 a f xxaR x 若a 1 求函 数的图像在点处的切线方程 f x 2 2 f 求的单调区间 xf 如果当且时 恒成立 求实数的取值范围 1 x 2x ln1 2 xa xx a 参考答案 CDBCCA BADACD 9 6 0 1 17 解 设圆的方程为x2 y2 r2 由题可知 半径即为圆心到切线的距离 故r 2 4 4 圆的方程是x2 y2 4 OP 2 点P在圆外 32 2213 6 显然 斜率不存在时 直线与圆相离 故可设所求切线方程为y 2 k x 3 即kx y 2 3k 0 又圆心为O 0 0 半径r 2 而圆心到切线的距离d 2 即 3k 2 2 3k 2 k2 1 k2 1 k 或k 0 12 5 故所求切线方程为 12x 5y 26 0 或y 2 0 18 解 由已知 22222 0bca bcabcbcabcbcabc 对角A运用余弦定理 cosA 222 2 23 bca bc 1 2 0A 3 A 由题 2 3sincos11 3sincoscossin 222262 BBBBB f BB 且在锐角 ABC 中 62 B 23 sin 1 36326 BB 的取值范围是 f B 13 3 22 19 解 由已知 533 5 14Saa 又成等比数列 由且可解得 2722 a a a 2 111 6 21 adadad 0d 1 3 2 ad 故数列 的通项公式为 1 6 4ad n a42 n annN 证明 由 2 1 24 2 n n n aa Snn 2 111 11 2442 n Snnnn 1111113111 1 432428412 n T nnnn 显然 13 68 n T 20 证明 设与相交于点 连结 ACBDOFO 7 菱形中 且为中点 ABCDBDAC OAC 又 所以 又 FCFA ACFO OBDFO 所以 平面 ACBDEF 证明 因为四边形与均为菱形 ABCDBDEF 所以 ADBCDEBFADDED 所以 平面 平面 又平面 FBCEADAE EAD AE 平面FCB 解 菱形中 为中点 所以 BDEF 60DBFOBDBDFO 故两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 设 OFOBOA xyzO 2 AB 则 3 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 3 0 0 0 FCBAO 3 0 3 CF 3 1 0 CB 设平面的法向量为 则有即 BFC x y zn 0 0 CF CB n n 03 033 yx zx 取 得 1 x 1 3 1 n 易知平面的法向量为 AFC 0 1 0 v 15 cos 5 n v n v n v 由于二面角是锐二面角 所以二面角的余弦值为 BFCA BFCA 5 15 21 解 由题 设椭圆方程为 1 a b 0 不妨设B 0 b 22 22 xy ab 则 222 12 12 3 4BF BFbba 故椭圆方程为 1 22 43 xy 设M N 不妨设 0 0 设 MN的内切圆半径为R 11 x y 22 xy 1 y 2 y 1 F 则 MN的周长 4a 8 MN M N R 4R因此最大 R就最大 1 F 1 1 2 F MN S A1 F 1 F 1 F MN SA 121212 1 2 AMN SFFyyyy 8 由题知 直线l的斜率不为零 可设直线l的方程为x my 1 由得 6my 9 0 22 1 1 43 xmy xy 22 34 my 则 AMN SA 12 yy 2 2 121 34 m m 令 t 则 t 1 则 2 1m 2 22 1211212 1 3431 3 AMN mt S mt t t A 令f t 3t 则f t 3 当t 1 时 f t 0 f t 在 1 上 1 t 2 1 t 单调递增 故有f t f 1 4 3 AMN SA 12 3 即当t 1 m 0 时 3 4R AMN SA 12 3 AMN SA max R 3 4 这时所求内切圆面积的最大值为 9 16 故直线l x 1 AMN内切圆面积的最大值为 9 16 22 解 由题 2 22 1222 1 1 1 axaxa fxx xxxx 当 a 1 时 2 1f 1 2 2 f 函数的图像在点处的切线方程为 f x 2 2 f20 xy 设 22 22 48 g xxaxaaa 当时 故增区间为 02a 0 f x 1 若设设两根分别为 0 0g x 22 12 48 48xaaa xaaa 当时 所以增区间为 0a 12 1xx f x 1 当时 所以增区间为 增区间为 2a 12 1xx f x 12 x x 9 综上 当时 增区间为 2a f x 1 当时 增区间为 增区间为 2