第二章、模糊控制理论基础.ppt

第二章模糊控制理论基础 第一节引言 一 模糊控制的发展 二 模糊控制的特点 1 无需知道被控对象的数学模型 2 是一种反映人类智慧思维的智能控制 3 易于被人们所接受 核心 控制规则 4 构造容易5 鲁棒性好 模糊控制采用人类思维中的模糊量 如 高 中 低 等 且控制量由模糊推理导出 主讲人 三 模糊控制器构造技术1 硬件 采用传统的单片机软件 实现模糊推理和控制 2 模糊单片机或集成电路芯片 3 可编程门阵列 第二节模糊集合论基础 一 模糊集的概念 二 模糊集合的运算 三 隶属函数的建立 四 模糊关系 一 模糊集的概念集合 具有某种特定属性的对象的全体 集合中的个体通常用小写英文字母如 u表示 集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如 U表示 u U表示元素 个体 u在集合论域 全体 U内 集合表示法 经典集合 1 列举法 将集合的元素全部列出的方法 2 定义法 用集合中元素的共性来描述集合的方法 3 归纳法 通过一个递推公式来描述一个集合的方法 4 特征函数表示法 利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合 因为某一集合中的元素要么属于这个集合 要么就不属于这个集合 例2 1设集合U由1到5的五个自然数组成 用上述前三种方法写出该集合的表达式 解 1 列举法U 1 2 3 4 5 2 定义法U u u为自然数且1 u 5 3 归纳法U ui 1 ui 1 i 1 2 3 4 u1 1 特征函数表示法 集合U通过特征函数TU u 来表示 经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系 只是 属于 或 不属于 两种 两者必居其一而且只居其一 它描述的是有明确分界线的元素的组合 用经典集合来处理模糊性概念时 就不行 对于诸如 速度的快慢 年龄的大小 温度的高低 等模糊概念没有明确的界限 经典集合对事物只用 1 0 简单地表示 属于 或 不属于 的分类 而模糊集合则用 隶属度 Degreeofmembership 来描述元素的隶属程度 隶属度是0到1之间连续变化的值 模糊集合 特征函数 隶属度函数 0 1连续变化值 例 人对温度的感觉 0 C 40 C的感觉 舒适 的温度 15 C 25 C 热 25 C以上 冷 15 C以下 经典集合对温度的定义 模糊集合对温度的定义 经典集合 14 99 C属于 冷 15 01 C属于舒适 与人的感觉一致吗 设U为一可能是离散或连续的集合 用 u 表示 论域 UniverseofDiscourse U所有元素组成的全集 元素 u 定义2 1模糊集合 论域U中的模糊集合F用一个在区间 0 1 上的取值的隶属函数 F来表示 即 F U 0 1 F u 1 u完全属于F F u 0 u完全不属于F 0 F u 1 u部分属于F u F 映射 隶属函数 F u隶属于F的程度 U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度来表示 F u F u u U 例2 2设F是远大于0的实数集合 显然F是模糊集合 而论域U表示全部实数集合 U中任一元素u隶属模糊集合F的隶属度 F u 可以用下式来定义 可算出 F 5 0 2 F 10 0 5 F 20 0 8 可见 F u 是U到闭区间 0 1 的映射 1 论域U为离散域 即论域U是有限集合 1 查德表示法 2 序偶表示法 F u1 u1 u2 u2 un un 3 向量表示法 F u1 u2 un 元素u按次序排列 F 例 F 0 1 0 1 0 9 2 0 75 3 0 5 4 0 2 5 0 1 例 F 1 0 0 9 0 75 0 5 0 2 0 1 模糊集合的表示方法 例 集合F表示接近于0的整数 已知论域U 0 1 2 3 4 5 2 论域为连续域 例以年龄为论域 取 Zadeh给出了 年轻 的模糊集F 其隶属函数为 年轻 的隶属函数曲线 模糊集合表示为 模糊集合的表示方法 二 模糊集合的运算 1 空集模糊集合的空集的隶属度为0 即 2 全集模糊集合的全集的隶属度为1 即 4 等集两个模糊集A和B 若对所有元素u 它们的隶属函数相等 则A和B也相等 即 3 子集 包含于 若B为A的子集 则 定义 设A B为U中的两个模糊子集 隶属函数分别为 A和 B 则模糊集合中的并 交 补等运算按如下定义 A B A u B u 式中 符号 为取大值运算 A B A u B u 式中 符号 为取小值运算 定义2 6补 模糊集合A的补隶属函数 对所有的u U被逐点定义为 定义2 4并 并 A B 的隶属函数 A B对所有的u U被逐点定义为取大运算 即 定义2 5交 交 A B 的隶属函数 A B对所有的u U被逐点定义为取小运算 即 1 A u 则A B的并运算 则A B的交运算 例2 3设论域U u1 u2 u3 u4 u5 中的两个模糊子集为 A的补运算 定理2 1模糊集运算的基本定律 设U为论域 A B C为U中的任意模糊子集 则下列等式成立 2 分配律 1 结合律 3 同一律 4 零一律 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子来进行的 怎么推得的 引入概率算子和有界算子 定义2 8设A B F U 则定义代数运算 1 A与B的代数积记作A B 运算规则由下式确定 A B u A u B u u U a b min 1 a b 可以证明 a b 0 1 0 max 0 a b 1 1 0 min 1 a b 1 定义2 10设A B F U 则定义有界运算 2 A与B的有界和记作A B 运算规则由下式确定 A B u min 1 A u B u u U 模糊集合是用隶属函数描述的 三 隶属度函数的建立 隶属度函数 模糊集合的特征函数 取值范围在 0 1 区间 确定隶属度函数的方法具有主观性 但主观的反映和客观的存在有一定的联系 是受客观制约的 由于模糊集理论的研究对象具有 模糊性 和经验性 因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的 确定隶属函数应遵守的一些基本原则 1 表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 例 适中速度的集合是模糊集合 可表示为 适中速度 0 30 0 5 40 1 50 0 5 60 0 70 从最大隶属度函数点向两边延伸时 其隶属函数的值是必须是单调递减的 而不允许有波浪形 凸模糊集合 隶属函数呈单峰馒头形 20 30 50 70 95 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 速度 语言变量 Degreeofmembership 适中 低 高 5 100 2 变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的 很低 很高 语言值的个数和规则数成正比 3 隶属度函数要符合人们的语言顺序 避免不恰当的重叠 注意 间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交 重叠指数 衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标 重叠指数 重叠率 重叠鲁棒性 重叠指数的定义 例 0 2 0 6为宜 0 3 0 7为宜 重叠率和重叠鲁棒性越大 模糊控制模块模糊性越强 规则越多 越复杂 精度越高 解 求重叠率和重叠鲁棒性 1 模糊统计法 隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法 大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上 隶属度函数确立的方法 四种方法 基本思想 论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清晰集合A 作出清晰的判断 对于不同的实验者 清晰集合A 可以有不同的边界 但它们都对应于同一个模糊集A 通常的方法是 初步确立粗略的隶属函数 然后再通过 学习 和不断的实践来修整 完善 隶属度函数确立的方法 计算步骤 在每次统计中 v0是固定的 如某一年龄 A 的值是可变的 作n次试验 则 模糊统计公式 例 求中等身材的集合A及 A 1 64 选10人 每人确定A 的元素 假设10个人所确定的A 分别是 1 60 1 691 63 1 701 65 1 751 56 1 701 62 1 731 65 1 721 64 1 731 60 1 691 69 1 751 69 1 77 随着n的增大 隶属频率会趋向稳定 这个稳定值就是v0对A的隶属度 计算量大 模糊统计法的特点 2 例证法 从有限个隶属度值 来估计U上的模糊集A的隶属度函数 3 专家经验法 根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度 来决定其隶属度函数 4 二元对比排序法 通过对多个事物之间的两两对比 来确定某种特征下的顺序 由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状 二元对比排序法分为 相对比较法 对比平均法 优先关系定序法 相似优先对比法 相对比较法 论域U中元素v1 v2 vn 要对论域中的元素按某种特征进行排序 首先 在二元对比中建立比较等级 然后用一定的方法进行总体排序 以获得各元素对于该特性的隶属函数 相对比较法的具体步骤 设论域U中的一对元素 v1 v2 在v1和v2的二元对比中 v1具有某特征的程度用gv2 v1 表示 v2具有某特征的程度用gv1 v2 表示 且满足 0 gv2 v1 1 0 gv1 v2 1 令 且定义g vi vj 1 当i j时 以g vi vj i j 1 2 为元素构造相及矩阵G 推广 n个元素的相及矩阵G 对矩阵G的每一行取最小值 然后按大小排序 可得各元素对某特征的隶属函数 例2 4设论域U v1 v2 v3 v0 其中v1表示长子 v2表示次子 v3表示三子 v0表示父亲 长子和次子与父亲的相似程度 次子和三子与父亲的相似程度 长子和三子与父亲的相似程度 长子 0 8次子 0 5 次子 0 4三子 0 7 长子 0 5三子 0 3 解 二元对比关系 gv2 v1 gv1 v2 0 8 0 5 gv1 v1 1 gv3 v2 gv2 v3 0 4 0 7 gv2 v2 1 gv3 v1 gv1 v3 0 5 0 3 gv3 v3 1 求与父亲相似的隶属度函数 计算相及矩阵G 在相及矩阵中取每一行的最小值 按大小排列 1 3 5 4 7 结论 长子最象父亲 1 三子次之 0 6 次子最不象 0 57 由此确定出隶属度函数 模糊控制中 隶属度函数基本图形分为三大类 1 左大右小的偏小型下降函数 Z函数 适用于输入值比较小时的隶属度函数确定 2 左小右大的偏大型上升函数 S函数 适用于输入值比较大时的隶属度函数确定 3 对称型凸函数 函数 适用于输入值位于中间时隶属度函数确定 四 模糊关系 用于模糊推理决策 1 模糊关系的定义 关系 客观事物间的相互联系 普通关系 二元关系 是 否 例 父子 师生 同事 模糊关系 父子相像 A B两集合的直积 例 设A 0 1 B a b c 则A B 0 a 1 a 0 b 1 b 0 c 1 c B A a 0 a 1 b 0 b 1 c 0 c 1 注意 A B B A 序偶 关系R A B的子集 记为 例 甲 乙 丙3人参加考试 考试的成绩为优 良 中 差 则A 甲 乙 丙 B 优 良 中 差 A B 12种序偶的集合 一次考试 R 甲 优 乙 中 丙 差 A B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来 关系之间的运算可转换为矩阵间运算 矩阵 A甲乙丙 B优良中差 关系 对应 模糊关系R 以A B为论域的一个模糊子集 且定义 即序偶 模糊矩阵中的元素记为 模糊矩阵R记为 其中 例设 求模糊关系R A B 模糊矩阵 解 求 方法1 方法2 例已知两个模糊集合A B的隶属度函数分别为 求它们的模糊关系C A 其中 C A分别属于两个不同的论域U V 解 模糊关系作用 模糊推理 A B R A B A B B A R 模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系 定义笛卡尔积 若A1 A2分别是论域U1 U2中的模糊集 则A1 A2的笛卡儿积是在积空间U1 U2中的一个模糊子集 其隶属度函数为 直积 极小算子 A1 A2 u1 u2 min A1 u1 A2 u2 或代数积 A1 A2 u1 u2 A1 u1 A2 u2 对于连续情况 关系矩阵可定义为 R A B 为了区分直积 代数积 用 min表示直积 用 AP表示代数积 记号t算子 表示笛卡儿积 定义2 14模糊关系的合成 如果R和S分别为笛卡儿空间U V和V W上的模糊关系 则R和S的合成是定义在空间U W上的模糊关系 并记为R S 其隶属度函数的计算方法 模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示 2 模糊关系的合成 上确界 Sup 算子 用模糊矩阵S可表示为 例2 8某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系 可表示为 也可以用模糊矩阵R来表示 该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系 可表示为 求孙子 孙女与祖父 祖母的相似程度 即求 解 此模糊关系表明 孙子与祖父 祖母的相似程度为0 2 0 2 孙女与祖父 祖母的相似程度为0 5 0 6 模糊关系运算 例 求 解 结合律 分配律 模糊关系合成算子sup min的性质 第三节模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 一 二值逻辑 二 模糊逻辑及其基本运算 三 模糊语言逻辑 四 模糊逻辑推理 五 模糊关系方程的解 第三节模糊逻辑 模糊逻辑推理和合成 一 二值逻辑 真假命题 命题 能够判断它的涵义是真是假的句子 如 等边三角形必是等腰三角形 常用的命题联结词 析取 合取 否认 蕴涵 等价 析取 或 如果用P Q分别表示两个命题 则由析取联结词构成的复合命题表示为P Q 复合命题P Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的 仅当P和Q都是假时 P Q才是假 例P 他喜欢打篮球 Q 他喜欢跳舞 则P Q 他喜欢打篮球或喜欢跳舞 合取 与 P Q仅当P和Q都是真时 P Q才是真 例P 他喜欢打篮球 Q 他喜欢跳舞 则P Q 他喜欢打篮球并且喜欢跳舞 否定 不 如果P是真的 则是假的 蕴涵 表示 如果 那么 例P 甲是乙的父亲 Q 乙是甲的儿女 则P Q 如果甲是乙的父亲 那么乙必定是甲的儿女 例P 他喜欢打篮球 则 他不喜欢打篮球 P Q 如果命题P成立 那么可推出Q也成立 等价表示两个命题的真假相同 是 当且仅当 的意思 例P A是等边三角形 Q A是等角三角形 则PQ A是等边三角形当且仅当A是等角三角形 二 模糊逻辑及其基本运算 模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑 模糊命题 含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句 模糊命题的真值 隶属度函数 表示这个命题多大程度隶属于 真 0 1 间连续取值 例 他是一个高个子 模糊概念常常用很 略 非常等模糊语气来修饰 模糊逻辑运算 记P Q R为三个模糊单命题 2 模糊逻辑合取 与 3 模糊逻辑析取 或 4 模糊逻辑蕴含 如果P是真的 那么Q也是真的 5 模糊逻辑等价 6 模糊逻辑限界积 7 模糊逻辑限界和 8 模糊逻辑限界差 模糊逻辑运算也是真值的运算 也就是隶属度函数的运算 例2 9设有模糊命题P 他是个和善的人 真值P 0 7 Q 他是个热情的人 真值Q 0 8 他既是和善的人又是热情的人的真值 他是个和善的人或是个热情的人的真值 则 如果他是个和善的人 则他是个热情的人的真值 三 模糊语言逻辑 人工语言 格式紧密 概念清晰 程序设计语言属人工语言 模糊语言 具有模糊性的语言 模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑 语言分类 具有不确定性 含模糊化词 如 很高 较大 概念 定义2 15模糊数 模糊子集 连续论域U中的一模糊数F是一个U上的正规凸模糊集 正规集合 隶属度函数的最大值为1 即 凸集合 在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度值都大于或者等于两点隶属度值中较小的一个 例 大约5 10左右 等具有模糊概念的数值 定义2 16语言值 在语言系统中 那些与数值有直接联系的词 如长 短 多 少 高 低 重 轻 大 小等或者由它们再加上语言算子 如很 非常 较 偏等 而派生出来的词组 如不太大 非常高 偏重等都被称为语言值 语言值可以用模糊数来表示 例 成年男子身高的论域E 130 140 150 160 170 180 190 200 210 在论域E上定义语言值 定义2 17语言变量 语言变量是用一个五元素的集合 X T X U G M 来表征的 X 语言变量名 如速度 年龄 颜色等 T X 语言变量X的项集合 语言值的集合 U 语言变量X的论域 G 产生X数值名的语言值规则 用于产生语言变量值