一道平面几何题的十种证法

1 6 一道平面几何题的十种证法一道平面几何题的十种证法 题目 题目 如图 1 ABC 中 D F 在 AB 上 AD BF 过 D 作 DE BC 交 AC 于 E 过 F 作 FG BC 交 AC 于 G 求证 BC DE FG 分析 分析 证明一条线段等于另外两条线段的和 常用的方法是将线段的位置平移 1 延长较短线段与较长线段相等 2 在较长线段上截取与较短线段相等的线段 3 将线段适当移动位置后进行比较 4 采用其它比较方法 如解析法 三角法 面积法等 一 延长较短线段与较长线段相等一 延长较短线段与较长线段相等 解法解法 1 如图 2 延长 FG 到 H 使 FH 等于 BC 连结 CH 关键证 GH DE 即 可 2 6 由作法知 FH 平行且等于 BCFBCH 是平行四边形CH BF 在 ADE 和 CHG 中 CH BF AD 由 CH AB A 2 又 1 B H B 所以 1 H ADE CHG 则 DE GH 故 BC FG GH DE FG 证法证法 2 如图 3 仍延长 FG 到 H 使 GH DE 连结 CH 关键证 BC FH 由 DE BC FG 1 2 3 又 AD FB 所以 AE GC ADE CHG SAS A GCHAB CH 四边形 FBCH 是平行四边形 所以 BC FH BC DE FG 证法证法 3 如图 4 延长 DE 到 H 使 DH BC 连结 CH 关键证 FG EH 3 6 由DBCH 及 DH BC 再 AFG CHE 得 FG EH 二 恰当地将线段平移二 恰当地将线段平移 证法证法 4 如图 5 找 EG 的中点 K 连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H 可证得 DEK HGKDE GH 再证得 ADE CHG 或证 ADK CHK A GCH BC GH FG DE FG 证法证法 5 如图 6 4 6 过 D 作 DH AC 交 BC 于 H 则 DE HC 不难证得 AFG DBH 可得 FG BH BC BH HC DE FG 证法证法 6 如图 7 过 F 作 FH AC 交 BC 于 H 或在 BC 上截取 CH FG 三 在较长的线段上截取较短的线段三 在较长的线段上截取较短的线段 证法证法 7 如图 8 5 6 在 BC 上截取 BH DE 不难得出 ADE FBH 则 1 2 3FH AC FG HC 同理可在 BC 上截取 BH FG 再证 HC DE 四 利用梯形或三角形的中位线定理四 利用梯形或三角形的中位线定理 题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和 可猜想通过梯 形 DFGE 的中位线沟通两者之间的关系 证法证法 8 如图 9 又 AD FB 由平行截割定理得 MN 也是 ABC 的中位线 五 利用相似三角形的性质和比例的性质五 利用相似三角形的性质和比例的性质 题中要证的边实质是相似三角形的对应边 因此 可从相似三角形的对应边成 比例和比例的基本性质入手证明 证法证法 9 如图 1 6 6 又 AD BF 所以 AD AF AD DB AB 即 BC DF FG 六 其它线段变换六 其它线段变换 证法证法 10 如图 10 作 AH DE 于 H 作 FP BC 于 P 作 GQ BC 于 Q