（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第6课时 双曲线课时闯关（含解析）

1 江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 6 6 课时课时 双曲线双曲线 课时闯关 含解析 课时闯关 含解析 A 级 双基巩固 一 填空题 1 已知双曲线的中心在原点 一个顶点的坐标是 3 0 且焦距与实轴长之比为 5 3 则双曲线的标准方程是 解析 可求得a 3 c 5 焦点的位置在x轴上 所得的方程为 1 x2 9 y2 16 答案 1 x2 9 y2 16 2 已知双曲线 1 的右焦点为 则该双曲线的渐近线方程为 x2 9 y2 a 13 0 解析 c 13 c2 13 9 a 13 a 4 又 焦点在x轴上 渐近线方程y x 2 3 答案 y x 2 3 3 已知双曲线 1 的一条渐近线方程为y x 则该双曲线的离心率e为 x2 m y2 n 4 3 解析 设m 0 n 0 n m 4 3 n m 16 9 e m n m 25 9 5 3 设m 0 n0 b 0 的实轴长为 2 离心率为 2 则双曲线C的焦 x2 a2 y2 b2 点坐标是 解析 由题意得 a 1 e 2 所以c 2 又由标准方程可得焦点在x轴上 所 c a 以焦点坐标为 2 0 答案 2 0 5 若方程 1 表示双曲线 则实数k的取值范围是 x2 k 2 y2 5 k 解析 若方程表示双曲线 则有Error 或Error 解得 2 k5 2 答案 2 2 5 6 如果双曲线 1 上一点P到双曲线右焦点的距离是 2 那么点P到y轴的距 x2 4 y2 2 离是 解析 双曲线的右准线为l x 4 6 离心率为 从而 xP 2 6 2 4 6 2 6 xP 因右焦点为F2 0 P点必在右支上 负根舍去 8 6 4 6 36 故点P到y轴的距离为 4 6 3 答案 4 6 3 7 2011 高考福建卷改编 设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1 F2 若曲线C上存在 点P满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线C的离心率为 解析 设 PF1 4k F1F2 3k PF2 2k k 0 若圆锥曲线为椭圆 则 2a 6k 2c 3k e c a 1 2 若圆锥曲线为双曲线 则 2a 4k 2k 2k 2c 3k e c a 3 2 答案 或 1 2 3 2 8 设双曲线x2 y2 1 的两条渐近线与直线x 围成的三角形区域 包含边界 为 2 2 D 点P x y 为D内的一个动点 则目标函数z x 2y的最小值为 解析 如图所示 A B 2 2 2 2 2 2 2 2 而z x 2y 即y x 1 2 1 2z 过A时 zmin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答案 2 2 二 解答题 9 已知双曲线关于两坐标轴对称 且与圆x2 y2 10 相交于点P 3 1 若此圆过 点P的切线与双曲线的一条渐近线平行 求此双曲线的方程 解 切点为P 3 1 的圆x2 y2 10 的切线方程是 3x y 10 双曲线的一条渐近线与此切线平行 且双曲线关于两坐标轴对称 两渐近线方程为 3x y 0 设所求双曲线方程为 9x2 y2 0 点P 3 1 在双曲线上 代入上式可得 80 3 所求的双曲线方程为 1 x2 80 9 y2 80 10 由双曲线 1 上的一点P与左 右两焦点F1 F2构成 PF1F2 求 PF1F2的 x2 9 y2 4 内切圆与边F1F2的切点坐标 解 由双曲线方程知a 3 b 2 c 13 当P在双曲线右支上时 如图 N为内切圆与边F1F2的切点 根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线 定义可得 PF1 PF2 2a NF1 NF2 PF1 PF2 2a NF1 NF2 2c 由 得 NF1 a c 2a 2c 2 ON NF1 OF1 a c c a 3 故切点N的坐标为 3 0 根据对称性 当P在双曲线左支上时 切点N的坐标为 3 0 B 级 能力提升 一 填空题 1 在平面直角坐标系xOy中 已知 ABC的顶点A 5 0 和C 5 0 顶点B在双曲 线 1 上 则为 x2 16 y2 9 sinB sinA sinC 解析 设 ABC中角A B C所对的边分别是a b c 由正弦定理得 sinB sinA sinC b a c 由双曲线的标准方程和定义可知 A C是双曲线的焦点 则在 ABC中b 10 c a 8 所以 sinB sinA sinC b a c 5 4 答案 5 4 2 过双曲线 1 a 0 b 0 的右顶点A作斜率为 1 的直线 该直线与双曲线 x2 a2 y2 b2 的两条渐近线的交点分别为B C 若A B 则双曲线的离心率是 B 1 2 C 解析 直线l y x a与渐近线l1 bx ay 0 交于B l与渐近线 a2 a b ab a b l2 bx ay 0 交于C 又A a 0 A a2 a b ab a b B ab a b ab a b B C 2a2b a2 b2 2a2b a2 b2 4 A B b 2a c2 a2 4a2 B 1 2 C ab a b a2b a2 b2 e2 5 e c2 a25 答案 5 3 2010 高考课标全国卷改编 已知双曲线E的中心为原点 F 3 0 是E的焦点 过 F的直线l与E相交于A B两点 且AB的中点为N 12 15 则E的方程为 解析 由已知kAB 1 15 0 12 3 设E 1 A x1 y1 B x2 y2 x2 a2 y2 b2 1 1 x2 1 a2 y2 1 b2 x2 2 a2 y2 2 b2 则 0 x1 x2 x1 x2 a2 y1 y2 y1 y2 b2 而Error 所以 1 b2 a2 y1 y2 x1 x2 4b2 5a2 5 4 又c2 a2 b2 9 联立 解得a2 4 b2 5 E的方程为 1 x2 4 y2 5 答案 1 x2 4 y2 5 4 已知双曲线 1 的左 右焦点分别为F1 F2 左准线为l 若在双曲线的左 x2 a2 y2 b2 支上能找到一点P 使得 PF1 是P到l的距离d与 PF2 的等比中项 则双曲线离心率的取 值范围是 解析 设在左半支上存在P点 使 PF1 2 PF2 d 由双曲线的第二定义知 PF1 d e PF2 PF1 即 PF2 e PF1 再由双曲线的第一定义 得 PF2 PF1 2a 由式 解得 PF1 PF2 2a e 1 2ae e 1 由题意知 PF1 PF2 2c 2c 2a e 1 2ae e 1 利用e 从式 得e2 2e 1 0 c a 解得 1 e 1 22 e 1 1 e 1 2 答案 1 1 2 二 解答题 5 已知二次曲线Ck的方程 1 x2 9 k y2 4 k 1 分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件 2 若双曲线Ck与直线y x 1 有公共点且实轴最长 求双曲线方程 3 m n为正整数 且m n 是否存在两条曲线Cm Cn 其交点P与点F1 0 5 5 F2 0 满足 0 若存在 求m n的值 若不存在 说明理由 5 PF1 PF2 解 1 当且仅当Error 即k 4 时 方程表示椭圆 当且仅当 9 k 4 k 0 即 4 k0 b 0 l1 l2为其渐近 x2 a2 y2 b2 线 F为右焦点 过F作直线l l2 且l交双曲线C于点R l1 l M 又过点F作x轴 的垂线与C交于第一象限内的P点 1 试用F F表示F O P R 2 求证 为定值 FR FP 3 若F 且 试求双曲线C的离心率e的范围 R FM 1 2 2 3 解 易知F c 0 P 直线l的方程为y x c c b2 a b a 由Error 可得R a2 c2 2c b3 2ac 又由Error 可得M c 2 bc 2a 1 F F c 0 F R b2 2c b3 2ac O P 0 b2 a 令F m n R FO FP 即 m c 0 n b2 2c b3 2ac 0 b2 a Error 解得Err