福建省三明市第一中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）

1 福建省三明市第一中学福建省三明市第一中学 20202020 届高三数学上学期届高三数学上学期 1010 月月考试题 含解月月考试题 含解 析 析 考生注意 考生注意 1 1 本试卷分第 本试卷分第 卷和第卷和第 卷两部分 考试时间卷两部分 考试时间 120120 分钟 满分分钟 满分 150150 分 分 2 2 本试卷包括必考和选考两部分 第 本试卷包括必考和选考两部分 第 2222 题为选考题 考生可在其中的 题为选考题 考生可在其中的 a a b b 两题中任 两题中任 选一题作答 其它试题为必考题 所有考生都必须作答 选一题作答 其它试题为必考题 所有考生都必须作答 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 设集合 则 2 340 mx xx 05 nxx mn a b c d 0 4 0 4 1 0 1 0 答案 b 解析 试题分析 故 故选 2 34041014xxxxx mn 0 4 b 考点 1 一元二次不等式的解法 2 集合的运算 2 在等差数列中 若 则 n a 24 4 2aa 8 a a b 0c 6d 8 2 答案 a 解析 分析 设等差数列的公差为 根据等差数列的公差公式求得公差 然后根据等差数 d nm aa d nm d 列的通项公式的变形形式可求得 nm aanm d 详解 设等差数列的公差为 则 d 42 42 aa d 24 42 1 所以 82 82 46 1 2aad 2 故选a 点睛 本题考查了等差数列的公差公式以及通项公式的变形形式的应用 这样可以避开首 项 减少计算量 属基础题 3 已知 且 不为 0 那么下列不等式成立的是 ab cd cd a b adbc acbd c d acbd acbd 答案 d 解析 试题分析 根据不等式的性质 可知 则 故选 d ab cd acbd 考点 不等式的性质 4 已知 若 则的坐标为 5 2 4 3 ab 230abc c a b c d 8 1 3 13 8 3 3 13 4 33 134 33 答案 d 解析 分析 设 将向量的坐标代入中 利用向量的坐标的加法 减法和数 cx y a b c 230abc 乘运算可以得到 详解 设 因为 cx y 230abc 所以 5 2 2 4 3 3 0 0 x y 所以 583 263 0 0 xy 所以 1330 430 xy 3 解得 13 3 x 4 3 y 所以 134 33 c 故选d 点睛 本题考查了平面向量的加法 减法和数乘的坐标运算 属基础题 5 设 为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 l a 若 则b 若 则 l l l l c 若 则d 若 则 l l l l 答案 b 解析 a 中 也可能相交 b 中 垂直与同一条直线的两个平面平行 故正确 c 中 也 可能相交 d 中 也可能在平面内 l 考点定位 点线面的位置关系 6 若实数 满足 则的最大值为 x y 0 1 0 xy xy x 2zxy a b c d 01 3 22 答案 d 解析 4 所以过时 故选 d 0 1 max 2z 7 要得到函数的图象 只需要将函数的图象 4ysinx 3 4ysin x a 向左平移个单位 12 b 向右平移个单位 12 c 向左平移个单位 3 d 向右平移个单位 3 答案 b 解析 因为函数 要得到函数的图象 只需要 sin 4sin 4 312 yxx 4 3 ysinx 将函数的图象向右平移个单位 4ysin x 12 本题选择b选项 点睛 点睛 三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数 进行周期变换时 需要将x的系数 变为原来的 倍 要特别注意相位变换 周期变换的顺序 顺序不同 其变换量也不同 8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 5 a 8b 12c d 3 40 3 答案 c 解析 分析 先根据三视图在长方体中还原直观图 可知该几何体是一个上部为正四棱锥 下部为正方体的 组合体 再根据三视图的数据利用四棱锥和正方体的体积公式计算后相加可得 详解 根据三视图可知该几何体是一个上部为正四棱锥 下部是一个正方体的组合体 正四棱锥的高为 2 底面积为 所以其体积为 2 24 18 4 2 33 正方体的棱长为 2 所以其体积为 3 28 所以该组合体的体积为 832 8 33 故选c 点睛 本题考查了由组合体的三视图求组合体的体积 关键是要根据三视图还原出几何体 来 通常是在长方体中 根据三视图来确定一些点 然后将这些点连起来得到直观图 在确定直 观图时 要分析出哪些点一定取 哪些点一定不能取 还要注意实线和虚线问题 实线表示没有 被遮住 虚线被遮住了 属中档题 9 已知 的等比中项是 1 且 则的最小值是 0 0ab a b 1 mb a 1 na b mn a 3b 4c 5d 6 答案 b 解析 分析 由等比中项定义得 再由基本不等式求最值 1ab 详解 的等比中项是 1 m n a b 1ab 1 b a 1 a b ab ab ab 6 当且仅当 时 等号成立 2 ab 44ab 1ab 故选 b 点睛 利用基本不等式求最值问题 要看是否满足一正 二定 三相等 10 已知 则 tan1 6 tan 6 a b c d 23 23 23 23 答案 d 解析 分析 利用 拆角 技巧可得 利用两角差的正切公式可 tan 6 tan 63 得结果 详解 tan 6 tan 63 tantan 63 1tantan 63 故选 d 13 23 13 点睛 三角函数求值时要注意 1 观察角 分析角与角之间的差异以及角与角之间的和 差 倍的关系 巧用诱导公式或拆分技巧 2 观察名 尽可能使三角函数统一名称 3 观 察结构 以便合理利用公式 整体化简求值 11 设等比数列 an 的前 n 项和为 sn 若 s2 3 s4 15 则 s6 a 31b 32c 63d 64 答案 c 解析 试题分析 由等比数列的性质可得 s2 s4 s2 s6 s4成等比数列 代入数据计算可得 解 s2 a1 a2 s4 s2 a3 a4 a1 a2 q2 s6 s4 a5 a6 a1 a2 q4 7 所以 s2 s4 s2 s6 s4成等比数列 即 3 12 s6 15 成等比数列 可得 122 3 s6 15 解得 s6 63 故选 c 考点 等比数列的前 n 项和 12 函数在一个周期内的图象如图所示 m n分别是 sin 0 0 2 f xx 图象的最高点和最低点 o为坐标原点 且 则的值分别是 0om on a b c d 36 3 4 1 3 答案 a 解析 分析 先由图观察可知点 点 其中t为周期 再根据可得 1 1 2 m 1 1 22 t n 0om on 然后根据周期公式可求出 再由 以及 3t 2 t 2 3 1 2 22 k kz 可解得 0 2 详解 由图观察可知点 点 其中t为周期 1 1 2 m 1 1 22 t n 8 因为 所以 解得 0om on 11 1 1 0 222 t 3t 由周期公式得 解得 2 t 2 3 2 3 由 以及可解得 1 2 22 k kz 0 2 6 点睛 本题考查了由的图象求参数 与函数周期 sin 0 0 2 f xx 有关 利用周期列式可解得 通常利用最高点或最低点或函数图象上的拐点的坐标代入解 析式来解得 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把答案填写在答题卡的相应位置 把答案填写在答题卡的相应位置 13 已知向量均为单位向量 且 则 a b a b 3 ab 答案 3 解析 分析 根据单位向量可得其模长为 1 再根据向量数量积可得 然后将 1 cos 2 a ba ba b 化成可求得 ab 2 ab 22 2aa bb 详解 因为 所以 1ab cos a baba b 11 1 1 22 所以 ab 2 ab 22 2aa bb 1 1213 2 点睛 本题考查了向量的数量积和向量的模的求法 通常利用来求向量的长度 2 aa 属于基础题 14 已知数列的前n项和 则数列的通项公式是 n a 2 1 n sn n a 9 答案 2 1 21 2 n n a nnnn 且 解析 分析 时 利用 时 可得 最后验证是否 1n 11 2as 2n 1nnn ass 21 n an 1n 满足上式 不满足时候 要写成分段函数的形式 详解 当 时 1n 11 2as 当时 2n 1nnn ass 22 1 1 121nnn 又 时 不适合 1n 1 2 1 11 n aa 所以 2 1 21 2 n n a nn 点睛 本题考查了由求 注意使用求 时的条件是 所以求出 n s n a 1nnn ass n a 2n 后还要验证 适不适合 如果适合 要将两种情况合成一种情况作答 如果不适合 n a n a 1n 要用分段函数的形式作答 属于中档题 15 在中 且角所对的边满足 则实数x的取值 rt abc 2 c a b c a b c abcx 范围是 答案 1 2 解析 分析 在直角三角形中 利用 将化成 sin sinaca bcb abcx sincosxaa 再变成 后 根据三角函数的性质可得 0 2 a 2sin 4 xa 详解 在中 所以 rt abc 2 c sin sinaca bcb 所以由 可得 abcx sinsincacbcx 10 又 所以 0c sinsinxab 因为 所以 所以 2 c 2 ba sinsin cos 2 baa 所以 sincosxaa 2sin 4 a 因为 所以 0 2 a 3 444 a 所以 2 sin 1 24 a 所以 1 2 x 所以实数x的取值范围是 1 2 点睛 本题考查了正弦定理 两角和与差的正弦公式 利用正玄定理将已知条件中的边化成 角 然后利用正弦函数的性质来解是解题一般思路 属中档题 16 已知四面体内接于球o 且 若四面体的体积为 abcd 2 2abbcac abcd 球心o恰好在棱da上 则球o的表面积是 2 3 3 答案 16 解析 分析 根据 可知 为直角三角形 其外接圆的圆心为ac的中点 2 2abbcac abc1 o 连 可知平面 根据 为的中点可知 平面 所以 1 oo 1 oo abc1 o o ad ac dc abc 为四面体的高 根据四面体的体积可求得 在直角三角形 中 dcabcdabcddcdca 由勾股定理可求得外接球的直径 从而可得球的半径 再由球的表面积公式可求得球的表 ad 面积 详解 如图 在三角形abc中 因为 所以 为直角三角形 所以 222 abbcac abc 11 三角形abc的外接圆的圆心为ac的中点 连 根据垂径定理 可得平面 1 o 1 oo 1 oo abc 因为 为的中点可知平面 所以 为四面体的高 1 o o ad ac dc abcdcabcd 所以 解得 所以 112 3 22 323 dc 2 3dc 22 2 3 24ad 所以四面体的外接球的半径为 2 表面积为 abcd 2 4 r 2 4216 点睛 本题考查了球与四面体的组合体 三棱锥的体积 球的表面积公式 利用垂径定理和 中位线平行得到 平面是解题关键 属于中档题 dc abc 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 第小题 第 17 2117 21 每题每题 1212 分 第分 第 2222 题题 1010 分 共分 共 7070 分分 解答题应解答题应 写出必要的文字说明 证明过程 演算步骤 写出必要的文字说明 证明过程 演算步骤 17 在平面直角坐标系中 已知向量 xoy 22 sin cos 0 22 abxx x 1 若 求的值 ab 2 sin1 sin2 x x 2 若与的夹角为 求x的值 a b 3 答案 1 2 3 2 5 12 x 12 解析 分析 1 根据两个向量平行的坐标表示可得 化简得 再将 1 变 22 cossin0 22 xx tan1x 成 利用二倍角正弦公式将变成 代入原式中 然后分子分 22 sincosxx sin2x2sin cosxx 母同时除以 转化为正切可计算得 2 cos x 2 利用列式 再化成辅助角的形式可求得 22 cos sincos 22 a ba ba bxx 详解 解 1 且 22 sin cos 22 abxx ab 22 cossin0 22 xx tan1x 2222 sin1cos2sin12tan3 sin22sin cos2tan2 xxxx xxxx 2 22 sin cos 22 abxx 1ab 与的夹角为 a b 3 1 cos cos 32 a b a ba b ab 221 sincos 222 xx 1 sin 42 x 又 0 x 444 x 13 46 x 5 12 x 点睛 本题考查了平面向量平行的坐标表示 平面向量的数量积的几何表示和坐标表示 以 及二倍角的正弦公式 辅助角公式 1 的逆用 属中档题 22 sincosxx 18 已知数列是公比为 2 的等比数列 n a 123 64a a a 1 求数列的通项公式 n a 2 设 求数列的前n项和 2 1 1 log n n b na n b n s 答案 1 2 2 4 22 nn n an n 1 n n s n 解析 分析 1 利用等比数列的性质 由 可得 即 再根据公式 123 64a a a 3 2 64a 2 4a 可求得 n m nm aaq 2 先化简 得 再利用裂项公式 裂项求 2 1 1 log n n b na 1 1 n b n n 111 1 1n nnn 和即可得到 详解 解 1 等比数列满足 n a 123 64a a a 即 3 2 64a 2 4a 又等比数列的公比为 2 n a 数列的通项公式为 n a 2 4 22 nn n an n 2 由 1 知 22 111 1 log 1 log 2 1 n n n b nann n 11 1 n b nn 14 11111 11 223111 n n s nnnn 数列的前n项和 n b 1 n n s n 点睛 本题考查了等比数列的等比中项的性质 等比数列的通项公式 裂项求和方法 常见 的裂项公式有 属中档题 11 11 1n ndd nn 1111 21 21 2 2121nnnn 19 如图 四棱锥中 底面为矩形 面 为的中点 pabcd abcdpa abcdepd 1 证明 平面 pbaec 2 设 三棱锥的体积 求 a 到平面 pbc 的距离 1ap 3ad pabd 3 4 v 答案 1 证明见解析 2 到平面的距离为 apbc 3 13 13 解析 详解 试题分析 1 连结 bd ac 相交于 o 连结 oe 则 pb oe 由此能证明 pb 平 面 ace 2 以 a 为原点 ab 为 x 轴 ad 为 y 轴 ap 为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用 向量法能求出 a 到平面 pbd 的距离 试题解析 1 设 bd 交 ac 于点 o 连结 eo 因为 abcd 为矩形 所以 o 为 bd 的中点 又 e 为 pd 的中点 所以 eo pb 又 eo平面 aec pb平面 aec 所以 pb 平面 aec 2 13 66 vpa ab adab 15 由 可得 作交于 由题设易知 所以 故 又所以到平面的距离为 3 13 13 pa ab ah pb 法 2 等体积法 13 66 vpa ab adab 由 可得 由题设易知 得 bc 假设到平面的距离为 d 又因为 pb 所以 又因为 或 所以 考点 线面平行的判定及点到面的距离 此处有视频 请去附件查看 16 20 已知函数 2 31 sin2cos 22 f xxxx r 1 求函数的最小正周期 最小值 对称轴 对称中心 f x 2 设的内角的对边分别为 且 若 abc abcabc 3 0cf c 求的值 2sinsinab a b 答案 1 最小正周期是 最小值是 2 对称轴为 对称中心为 t 32 k xkz 2 1 212 k k z 1 2ab 解析 分析 1 先根据两角和与差的正弦公式化简为 的形式 结合正弦函数的最值 sin yaxb 对称轴和对称中心可得到函数 的最小值 对称轴和对称中心 再由 可求出其最 f x 2 t 小正周期 2 由 1 确定的的解析式及 求出 由的范围 求出 f x 0f c sin 2 1 6 c c 的范围 利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出角的度数 由 2 6 c c 利用正弦定理得到 再利用余弦定理得到 将 sin2sinba 2ba 222 2coscababc 与的值代入得到关于和的方程求出与的值 ccoscabab 详解 解 1 31cos21 sin2 222 x f xx sin 2 1 6 x 的最小正周期是 最小值是 2 f x 2 2 t 令 则的对称轴为 2 62 xkkz f x 32 k xkz 17 令 则的对称中心为 2 6 xkk z f x 1 212 k k z 2 则 1 sin 2 10 6 f cc sin 2 6 c 0 022cc 11 2 666 c 解得 2 6 c 2 3 c 又 由正弦定理得 sin1 sin2 a b 1 2 a b 由余弦定理得 即 3 222 2cos 3 cabab 22 abab 由 解得 1 2ab 点睛 本题考查了两角和与差的正弦公式 正弦函数的最值 对称轴 对称中心 最小正周期 正弦定理角化边 余弦定理 一般地 求含有 的函数的最小正周期 对称轴 sin xcosx f x 对称中心 需要将函数解析式利用公式 化成的形式 再利用正弦函数的 sin yaxb 对应性质解题 属中档题 21 已知等差数列中 n a 2 6a 36 27aa 1 求数列的通项公式 n a 2 记数列的前项和为 且 若对于一切正整数 总有成 n a nn s 1 3 2 n n n s t nn tm 立 求实数的取值范围 m 答案 1 2 3 n an 3 2 m 解析 试题分析 1 设等差数列的公差为 运用等差数列的通项公式 计算即可得到 n a d 18 2 由等差数列的求和公式和数列的单调性 可得的最大值 再由恒成立思想 即可得到的 n t m 范围 试题解析 1 设公差为 由题意得 d 解得 1 1 6 2 727 ad ad 1 3 3 a d 3 n an 2 3 3 1231 2 n snn n 1 2 n n n n t 1 11 12112 222 nn nnn nnn nnn tt 当时 且 3n 1nn tt 123 3 1 2 ttt 的最大值是 故 n t 3 2 3 2 m 22 已知在平面直角坐标系中 直线 的参数方程是 是参数 以原点 xoy l 26 xt yt t 为极点 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 oxc 2 2cos 求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程 lc