（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 5 第5讲 古典概型高效演练分层突破

1 第第 5 5 讲讲 古典概型古典概型 基础题组练 1 从分别写有 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张 放回后再随机抽取 1 张 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 a b 1 10 1 5 c d 3 10 2 5 解析 选 d 依题意 记两次取得卡片上的数字依次为a b 则一共有 25 个不同的数 组 a b 其中满足a b的数组共有 10 个 分别为 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 因此所求的概率为 选 d 10 25 2 5 2 高三毕业时 甲 乙 丙等五位同学站成一排合影留念 已知甲 乙相邻 则甲 丙相邻的概率为 a b 1 10 1 4 c d 3 10 2 5 解析 选 b 五人排队 甲 乙相邻的排法有 a a 48 种 若甲 丙相邻 此时甲在 2 2 4 4 乙 丙中间 排法有 a a 12 种 故甲 丙相邻的概率为 3 3 2 2 12 48 1 4 3 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球 其中有 10 个白球 5 个红球 从袋中任 取 2 个球 所取的 2 个球中恰有 1 个白球 1 个红球的概率为 a 1 b 11 21 c d 10 21 5 21 解析 选 c 从袋中任取 2 个球共有 c 105 种 其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 c 2 15 c 50 种 所以恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 1 10 1 5 50 105 10 21 4 2020 台州高三质检 已知集合m 1 2 3 4 n a b a m b m a 是集合n中任意一点 o为坐标原点 则直线oa与y x2 1 有交点的概率是 a b 1 2 1 3 c d 1 4 1 8 2 解析 选 c 易知过点 0 0 与y x2 1 相切的直线为y 2x 斜率小于 0 的无需考虑 集合n中共有 16 个元素 其中使oa斜率不小于 2 的有 1 2 1 3 1 4 2 4 共 4 个 由古典概型知概率为 4 16 1 4 5 2020 湖州模拟 已知函数f x x3 ax2 b2x 1 若a是从 1 2 3 三个数中 1 3 任取的一个数 b是从 0 1 2 三个数中任取的一个数 则该函数有两个极值点的概率为 a b 7 9 1 3 c d 5 9 2 3 解析 选 d f x x2 2ax b2 要使函数f x 有两个极值点 则有 2a 2 4b2 0 即a2 b2 由题意知所有的基本事件有 9 个 即 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示a的取值 第二 个数表示b的取值 满足a2 b2的有 6 个基本事件 即 1 0 2 0 2 1 3 0 3 1 3 2 所以所求事件的概率为 6 9 2 3 6 一个三位自然数百位 十位 个位上的数字依次为a b c 当且仅当 a b b c时称为 凹数 如 213 312 等 若a b c 1 2 3 4 且a b c互 不相同 则这个三位数为 凹数 的概率是 a b 1 6 5 24 c d 1 3 7 24 解析 选 c 由 1 2 3 组成的三位自然数为 123 132 213 231 312 321 共 6 个 同理由 1 2 4 组成的三位自然数共 6 个 由 1 3 4 组成的三位自然数也是 6 个 由 2 3 4 组成的三位自然数也是 6 个 所以共有 6 6 6 6 24 个 当b 1 时 有 214 213 314 412 312 413 共 6 个 凹数 当b 2 时 有 324 423 共 2 个 凹数 所以这个三位数为 凹数 的概率p 6 2 24 1 3 7 2020 杭州学军中学高三质检 甲 乙两个箱子里各装有 2 个红球和 1 个白球 现 从两个箱子中随机各取一个球 则至少有一个红球的概率为 3 解析 两个箱子各取一个球全是白球的概率p 所以至少有一个红球的概率 1 9 为 1 p 1 1 9 8 9 答案 8 9 8 在 3 张奖券中有一 二等奖各 1 张 另 1 张无奖 甲 乙两人各抽取 1 张 两人都 中奖的概率是 解析 记 两人都中奖 为事件a 设中一 二等奖及不中奖分别记为 1 2 0 那么 甲 乙抽奖结果有 1 2 1 0 2 1 2 0 0 1 0 2 共 6 种 其中甲 乙都中奖有 1 2 2 1 2 种 所以p a 2 6 1 3 答案 1 3 9 从 20 名男生 10 名女生中任选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名学生中既有男生 又有女生的概率为 解析 选到的学生中有男生 1 名 女生 2 名的选法有 cc 种 选到的学生中有男 1 20 2 10 生 2 名 女生 1 名的选法有 cc 种 则选到的 3 名学生中既有男生又有女生的概率为 2 20 1 10 p 20 29 答案 20 29 10 有 100 本书 既分为文科 理科 2 类 又分为精装 平装 2 种 其中文科书 40 本 精装书 70 本 理科的平装书 20 本 则 1 任取 1 本恰是文科精装书的概率是 2 先任取 1 本恰是文科书 放回后再取 1 本恰是精装书的概率是 解析 1 基本事件总数为 100 其中文科书 40 本 理科书 60 本 精装书 70 本 理 科的平装书 20 本 精装书 40 本 文科的精装书 30 本 文科的平装书 10 本 则任取 1 本恰是文科精装书的概率为 0 3 30 100 2 基本事件总数为 100 100 则所求概率p 0 28 4 10 7 10 答案 1 0 3 2 0 28 11 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家a1 a2 a3和 3 个欧洲国家b1 b2 b3中选择 2 个国家去旅游 1 若从这 6 个国家中任选 2 个 求这 2 个国家都是亚洲国家的概率 2 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个 求这 2 个国家包括a1但不包括b1的概 4 率 解 1 由题意知 从 6 个国家中任选 2 个国家 其一切可能的结果组成的基本事件有 a1 a2 a1 a3 a2 a3 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 b1 b2 b1 b3 b2 b3 共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有 a1 a2 a1 a3 a2 a3 共 3 个 则所求事件的概率为p 3 15 1 5 2 从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个 其一切可能的结果组成的基本事件有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 共 9 个 包括a1但不包括b1的事件所包含的基本事件有 a1 b2 a1 b3 共 2 个 则所求事件的概率为p 2 9 12 在 100 件产品中 有 95 件合格品 5 件次品 从中任取 2 件 求 1 2 件都是合格品的概率 2 2 件都是次品的概率 3 1 件是合格品 1 件是次品的概率 解 从 100 件产品中任取 2 件可能出现的结果数就是从 100 个元素中任取 2 个元素的 组合数 c 由于任意抽取 这些结果出现的可能性相等 则 c 4 950 为基本事件总 21002100 数 1 100 件产品中有 95 件合格品 取到 2 件合格品的结果数就是从 95 个元素中任取 2 个的组合数 c 记 任取 2 件都是合格品 为事件a1 那么p a1 2 95 893 990 2 由于在 100 件产品中有 5 件次品 取到 2 件次品的结果数为 c 记 任取 2 件都 2 5 是次品 为事件a2 那么事件a2的概率p a2 1 495 3 记 任取 2 件 1 件是次品 1 件是合格品 为事件a3 而取到 1 件合格品 1 件 次品的结果有 c c 种 则事件a3的概率p a3 1 951 5 19 198 综合题组练 1 从 1 到 10 这十个自然数中随机取三个数 则其中一个数是另两个数之和的概率是 a b 1 6 1 4 5 c d 1 3 1 2 解析 选 a 不妨设取出的三个数为x y z x yf 2a 1 5 1 4 0 的概率为 a b 1 3 3 7 c d 1 2 4 7 解析 选 b 因为a 2 4 5 8 9 1 5 1 4 所以 3a 2 2a 又f 3a 2 f 2a 0 所以函数f x 为单调递增函数 因为f x logax 3loga2 loga x 8 所以a 1 又f 2a 0 所以 loga 0 2a 8 所以 1 即a 4 则f 3a 2 f 2a 0 的概率p 故选 b 2a 8 3 7 3 某同学同时掷两颗骰子 得到的点数分别为a b 则双曲线 1 的离心率e x2 a2 y2 b2 的概率是 5 解析 由e 得b 2a 1 b2 a25 当a 1 时 b 3 4 5 6 四种情况 当a 2 时 b 5 6 两种情况 总共有 6 种情况 又同时掷两颗骰子 得到的点数 a b 共有 36 种结果 所以所求事件的概率p 6 36 1 6 答案 1 6 4 连续抛掷同一颗均匀的骰子 记第i次得到的向上一面的点数为ai 若存在正整 数k 使a1 a2 ak 6 则称k为幸运数字 则幸运数字为 3 的概率是 解析 连续抛掷同一颗均匀的骰子 3 次 所含基本事件总数n 6 6 6 6 要使a1 a2 a3 6 则a1 a2 a3可取 1 2 3 或 1 1 4 或 2 2 2 三种情况 其所含的基本事件个数m a c 1 10 3 31 3 故幸运数字为 3 的概率为p 10 6 6 6 5 108 答案 5 108 5 已知 8 支球队中有 3 支弱队 以抽签方式将这 8 支球队分为a b两组 每组 4 支 求 1 a b两组中有一组恰好有 2 支弱队的概率 2 a组中至少有 2 支弱队的概率 解 1 法一 3 支弱队在同一组中的概率为 2 1 7 故有一组恰好有 2 支弱队的概率为 1 1 7 6 7 法二 a组恰有 2 支弱队的概率为 b组恰好有 2 支弱队的概率为 所以有一组恰好有 2 支弱队的概率为 6 7 2 法一 a组中至少有 2 支弱队的概率为 1 2 法二 a b两组有一组中至少有 2 支弱队的概率为 1 因为此事件为必然事件 由于 对a组和b组而言 至少有 2 支弱队的概率是相同的 所以a组中至少有 2 支弱队的概率 为 1 2 6 在某大型活动中 甲 乙等五名志愿者被随机地分到a b c d四个不同的岗位 服务 每个岗位至少有一名志愿者 1 求甲 乙两人同时参加a岗位服务的概率