2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)含答案

第 1 页，共 12 页 x y O M N A E F （第 12 题） A B P C （第 13 题） 1100223Pr （第 5 题） 2016 年高考模拟试卷 (4) 南通市数学学科基地命题 第 卷（必做题，共 160 分） 一 、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 已知集合 | 2 2A x x ，集合 B 为自然数集，则 2 已知 2 11z a a i a R， 若 z 为纯虚数 ，则 a 3 在样本频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他 10 个小长方形面积和的 14，且样本容量为 160，则中间一组的频数为 _ _. 4 从 2 个红球， 2 个黄球， 1 个白球中随机取出两个球，则两球颜色 不同的概率是 5 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 6 在三棱锥 S ，面 是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形，且 ，则三棱锥 S 表面积是 _ _ 7 已知 F 为双曲线 C ： 222 4 ( 0 )x m y m m 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 8 （用“ ”或“ ”连接） 9 为了得到 co 的图像，只需将 图像向左平移 0 个单位，则 的最小值为 10 若函数 0,2,() 0l n , x xa x x 在其定义域上恰有 两 个零点，则 正实 数 a 的值为 11 已知 为等比数列，其前 n 项和分别为若对任意的 *nN ，总有 314 ，则 33 12 如图，在圆 O ： 224上取一点 ( 3 1)A ， ， 为 y 轴上的两点，且 F ， 延长 别与圆交于点 ，则直线 斜率为 第 2 页，共 12 页 13 如图， 0 4 5A B B C A P B B P C ， ，则 C 14 已知正实数 a b c， ， 满足 111， 1 1 1 1a b b c c a ，则实数 c 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知向量 ( xxa , ( xxb ， ( 1,0)c （ 1）若 3x，求向量 a ， c 的夹角 ； （ 2）若 3 ,84x ，函数 ()最大值为 12，求实数 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，平面 平面 A B A C A B A C D B D C ， ， D E D B C 平 面 ， 2E （ 1）求证： /D E ； （ 2）求证： A E A B C 平 面 17 （本小题满分 14 分） 现有一个以 半径的扇形池塘，在 分别取点 C、 D，作 弧 点 E、 F，且 用渔网沿着 池塘分成 如图所示的 三种 的 养殖区域若 2， ( 0 )2E O F （ 1）求区域 的总面积； （ 2）若养殖区域 、 、 的 每平方千米的年收入分别是 15 万元、 20 万元、 10 万元， 记 年总 收入为 y 万元 试问 当 为多少时，年 总 收入最大？ B E C D A （ 第 16 题） （第 17 题） O C A F E B D 第 3 页，共 12 页 （第 18 题） （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 ， A， B 分别是椭圆 G： 2 2 14x y的左、右 顶 点， 20P t t tR， ， 且为直线 2x 上的一个动点，过点 P 任意作一条直线 l 与椭圆 G 交于 C， D，直线 别与直线 于 E， F. （ 1）当直线 l 恰好经过椭圆 G 的右焦点和上顶点时，求 t 的值； （ 2） 记直线 斜率分别为12 若 1t ，求证：1211为定值； 求证：四边形 平行四边形 . 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 足：对于任意的正整数 n，当 n 2 时， 221 21n n na b a n . （ 1）若 ( 1)，求 1821 的值； （ 2）若 数列 各项均为正数，且1 2a， 14 in ， 12a a a L ， 试比较说明理由 . 20 （本小题满分 16 分） 已 知函数 212f x x， x a x （ 1）若曲线 y f x g x在 1x 处的切线的方程为 6 2 5 0 ，求实数 a 的值； （ 2） 设 h x f x g x，若对任意两个不等的正数12都有 12122h x h 恒成立， 求实数 a 的取值范围； （ 3）若在 1,e 上存在一点0x，使得 0 0 001f x g x g 成立，求实数 a 的取值范围 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A （选修：几何证明选讲） 在圆 O 中， 互相平行的两条弦，直线 圆 O 相切于点A，且与 延长线交于点 E，求证： A B C D E O （第 21 题（ A） 第 4 页，共 12 页 y O A M B l x （第 22 题） B （选修：矩阵与变换） 在平面直角坐标系 ， 直线 20 在 矩阵 A 1 2对应的变换 作用 下得到 的直线仍为 20 ，求矩阵 A 的 逆矩阵 1A C （选修：坐标系与参数方程） 已知直线 l： co t （ t 为参数）恒经过椭圆 C： （ 为参数）的右焦点 F （ 1）求 m 的值； （ 2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 B 的最大值与最小值 D （选修：不等式选讲） 已知 ， 均为正数， 且 a 2b 3c 9求证： 14a118b1108c19 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 . 22 （本小题满分 106 分） 如图 ， 在平面直角坐标系 ，抛物线 2 2y （ 0p ）的准线 l 与 x 轴交于点 M ，过点 M 的直线与抛物线交于 两点 设11A x y（ ， ）到准线 l 的距离 （ 0 ） （ 1）若1 1，求抛物线的 标准 方程； （ 2）若 A M A B0求证 ： 直线 斜率为定值 23 （本小题满分 10 分） 在自然数列 1 2 3 ， ， ， 中，任取 k 个元素位置 保持 不动 ，将其余 个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数 列的个数 记为 （ 1） 求 3 1P； （ 2） 求 440k ； （ 3）证明 1100 k n P k，并求出 0kP k的值 第 5 页，共 12 页 A B P C y x 2016 年高考模拟试卷 (4) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 1 0,1 . 2 1 4 45. 【 解 析 】 概率 24110 5P 5 205. 【 解 析 】2 1 0 1 3 2 0 5S 3.【解析】 设侧棱长为 a，则 2a 2， a 2，侧面积为 312 3，底面积为 34 22 3 ，表面积为 3 3 . 7 2 . 8 22 e. 【解析】 因为 6 26l n 2 1l n 2 l n 8 l n ，222 1 13，所以22 e 9 23.【解析】 co 可化为 ，而 12 s i n s i 2 3 ， 则 的最小值为 23 10 1e.【解析】 易知函数 () ,0 上有一个零点，所以由题意得方程 ax x 在 0+， 上恰有一解 ，即 0+， 上恰有一解 . 令 21 ) 0x ，得 ，当 0,时， ()调递增，当 e,+x时， ()调递减，所以 1e . 11 9 .【解析】 设 公比分别为 , 1,2,3n 可知，11 9, 3， 所以233 ( ) 9a 12 3 .【解析】 取点 A 关于 y 轴的对称点 ( 3 1)A ， ，易知 A 为 中点，连接 ，则 N ，因为 33 ，所以 3（提示：本题还可以采取特殊化处理） . 13 45.【解析】（方法一） 2()P A P C P A P B B C P A B C P A A B P A u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 在 ，设 PB x ，知易 2A x ，所以 22(2 ) 1，即2 15x ，所以 C5； （方法二）设 PB x ，知易 2PA x ，同方法一有2 15x ，又 22PC x ， 所以 C 4( 2 ) ( 2 2 ) c o ；（方法三） （方法 4）建立如图所示的坐标系， 设 ( ,0) ( , )C b b ，（ 0 , 0 )， 第 6 页，共 12 页 则 (0, )2以 且 22 14， 所以2 45a ，即 25( ,0)5A， 2 5 2 5( , )55C ，所以 C5 14 4(1, 3.【解析】 （方法一）由题意， a b ， a b c ， 令 ， ， ， , , (0, )2A B C ， 因为 t a n t a n t a n t a n 1t a n t a n ( ) 1t a n t a n 1 t a n t a n 1 t a n t a n 1A B A A B A B A B A B ， 由题意， t a n t a n t a n t a n 2 t a n t a A B A B ， 所以 ，所以 413c （方法二）因为 11, (0,1)可设2211c o s , s i （ 02）， 由 1 1 1 1a b b c c a ，易得 21 1 31 s i n 2 , 144c .，所以 43c （方法三）由题意可得，1ca b a b c ， 因为 22，所以 211 4 1， 所以 41，解得 413c （方法四）由方法三知， 11 ， 故 可看做方程2 011 的两根， 由于方程有两正根，故1212000 ，结合 c 为正数即可得到41 3c 二、解答题 15 （ 1） 当 3x时， 3 1,22 a，所以 3 32c o s| | | 1 1 2 a c， 又 0, ，因而 56 6 分 （ 2） ( ) ( 1 c o s 2 s i n 2 ) 1 2 s i n ( 2 )2 2 4f x x x x ， 8 分 因为 3 ,84x ，所以 2,44x ， 当 0 时， m a x 1( ) 1 122 ，即 12， 10 分 第 7 页，共 12 页 当 0 时， m a x 1( ) 1 222 ，即 12 ， 12 分 所以 2121 或 14 分 16 （ 1）取 点 F，连结 因为 以 因为 平面 平面 且交线为 所以 面 3 分 因为 平 面D E D B C ，所以， 因为 平面 平面 所以 /D E 6 分 （ 2）连结 因为 ，A B A C A B A C，所以 2F ， 因为 2E ，所以 E 8 分 因为 以四边形 平行四边形， 所以 /F 因为 C ， F 为 点，所以 C ， 所以 C 10 分 因为 平 面D E D B C ， 平 面D F D B C ，所以 F ， 所以四边形 矩形， 所以 F 12 分 因为 ,C 平面 C FI ， 所以 A E A B C 平 面 14 分 17 （ 1）因为 B D A C O B O A， ，所以 C 因为 2， 所以 D E O B C F O A， 又因为 F ，所以 所以 1 ()22D O E C O F C O F ， 2 分 所以 1 c o s c o s ( ) 22O C O F C O F 所以 11s i n c o C O F C O F ， 所以= 区 域， (0 )2 6 分 第 8 页，共 12 页 （ 2）因为I 12S 区 域，所以I I I I I I 11 c o 2S S S S 总区 域 区 域 区 域 所以 11 111 5 2 0 c o s 1 0 ( c o s )2 2 4 2 2y 55 5 c o s ( 0 )2 2 2 ， 10 分 所以 5 (1 2 s 2y ，令 =0y ，则 =6 12 分 当 60时， 0y ，当 62时， 0y 故当 =6时， y 有最大值 答： 当 为 6时，年总收入最大 14 分 18 （ 1）由题意 ,上顶点 0,1C ，右焦点 3,0E ，所以 : 3 1l y x ， 令 2x ，得 2313t . 4 分 （ 2）直线 1:2A C y k x，与 2 2 14x y联立得 211222 8 4,1 4 1 4， 6 分 同理得 2222 8 4,1 4 1 4,由 ,点共线得 即12221222441 4 1 42 8 2 8221 4 1 4，化简得 1 2 1 24 k k t k k， 1t 时，12114 （定值） 10 分 要证四边形 平行四边形，即只需证 E、 F 的中点即点 O， 由 111, 4222 kx k x ， 12 分 同理224 2 ， 将12124 代入得 1211 2 1242k k k， 1222 1 2242k k k， 14 分 所以 0, 02E F E y x x . 即四边形 平行四边形 . 16 分 19 （ 1）由题意， 22215， 22439， 226513， ， 2218 17 37. 将上面的式子相加，得 18215 9 1 3 3 7 1 8 9 L. 5 分 （ 2） 由 221 2 1 ( 2 )a n n ， 22215， 22327， 22439， ， 221 21a n . 第 9 页，共 12 页 将上面的式子相加，得 221 ( 2 1 5 ) ( 1 )2n ， 所以22( 2 1 5 ) ( 1 ) 4 ( 1 ) ( 2 )2n n n . 因为 各项均为正数， 故 1 ( 2)n. 因为1 2a也适合上式，所以 1（ *nN ） . 8 分 所以 21， 2 3 ( 1 ) L， 10 分 下面我们来比较 大小 . 取 n=1， 2， 3， 4， 5， 6， 有 32， 42， 52 ， n=1 或 6n 时 n. 16 分 20（ 1）由 21 f x g x x a x ，得 ， 由题意， 13a ，所以 2a 3 分 （ 2） 21 x f x g x x a x ， 因为对任意两个不等的正数12都有 12122h x h ， 设12则 1 2 1 22h x h x x x ，即 1 1 2 222h x x h x x 恒成立， 问题等价于函数 2F x h x x，即 21 l n 22F x x a x x 在 0, 为增函数 6 分 所以 20aF x 在 0, 上恒成立，即 22a x x 在 0, 上恒成立， 所以 2m a x x，即实数 a 的取值范围是 1, 8 分 （ 3）不等式 0 0 001f x g x g 等价于00001 ln ax a ， 整理得00 01l n 0ax a x x 第 10 页，共 12 页 设 1ln am x x a ，由题意知，在 1,e 上存在一点0x，使得 0 0 10 分 由 22 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 x a x a x a x x x x 因 为 0x ，所以 10x ，即令 0 ，得 1 当 11a ，即 0a 时， 1,e 上单调递增， 只需 1 2 0 ，解得 2a 12 分 当 1 1 ，即 0 e 1a 时， 处取最小值 令 1 1 l n ( 1 ) 1 0m a a a a ，即 1 1 )a a a ，可得 11 1)a 考查式子 1 ， 因为 1 ，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立 14 分 当 1 ，即 时， 1,e 上单调递减， 只需 1e e 0e ，解得 2 综上所述，实数 a 的取值范围是 2,2 U 16 分 第卷（附加题，共 40 分） 21A 连接 因为 直线 圆 O 相切，所以 4 分 又因为 所以 所以 8 分 从而 以 10 分 B 设 P()是直线 20 上任意一点，其在矩阵 A 1 2对应的变换下 得到 1 2=2x y仍在直线上， 所以 得 2 2 0x a y b x y ， 4 分 与 20 比较得 1121，解得 01，故 A 1 10 2， 8 分 求得逆矩阵 1 11 210 2A 10 分 第 11 页，共 12 页 C （ 1） 椭圆的参数方程化为普通方程，得22125 9， 因为5, 3, 4a b c ,则点 ,0). 因为直线,0)m，所以 4m . 4 分 （ 2） 将直线 的参数方程代入椭圆整理得： 2 2 2( 9 c 5 72 c 81 0 . 6 分 设点, 12|B t t 2 2 281 819 c 5 16 当时， B 取最大值 ； 当1时， B 取最小值8125 10 分 D 证明：因为 a， b， c 都是正数， 所以 (a 2b 3c) 21 1 1 1 1 1234 1 8 1 0 8 4 1 8 1 0 8a b ca b c a b c ， 8 分 因为 a 2b 3c 9， 所以 14a 118b 1108c 19 10 分 22（ 1）由条件知， (1 1)2 ， 代入抛