北京市昌平区2016年5月高三第二次统一练习数学理试题含答案

昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷（理科） （ 满分 150 分，考试时间 120 分钟 ） 生须知： 1 本试卷共 6 页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。 2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写 。 3 答题卡上第 I 卷 (选择题 )必须用 2B 铅笔作答，第 (非选择题 )必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5 考试结束后，考生务必将 答题卡 交 监考老师收回，试卷自己妥善保存。 第 卷（选择题 共 40 分） 一、 选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ) （ 1）复数 A 1 1C 1D 1 2） 已知双曲线 22:1C m x n y的一个 焦点为 ( 5,0)F ，实轴长为 6，则双曲线 C 的渐近线方程为 A 43B. 34C. 53D. 35(3) 若 , 1 0 ,2 0 , 则 2z x y的最小值为 A 4 B. 1 C. 0 D. 12（ 4）设 ,是两个不同的平面， b 是直线且 “ b ”是“ ”的 A 充分不必 要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 E （ 5）如图， 过点 的 直线交C)， C 5,则 A. 1 B. 2C. 2 D. 5 （ 6） 执行如图所示的程序框图， 如果输出的，则判断框 内应填入的判断条件为 A. 2iB. 3C4（ 7） 已知 函数 f (x) 是定 义在 3, 0) (0, 3 U 上的奇函数 ， 当 (0,3x 时， f (x) 的图象如图所示，那么 满足不等式 ( ) 2 1 的 x 的取值范围 是 A. 3, 2 2 , 3 U B. 3, 2 (0 ,1U C. 2, 0) 1, 3 U D. 1, 0) (0,1 U 否 是 0, 1 1 开始 2 2lo g ( 2 )输出 S 结束 俯视图侧 （ 左 ） 视图1 11正 （ 主 ） 视图11e 18） 将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形 图所示 ，并且12, e O B eur 到 正 八 角 星 16 个 顶 点 的 向 量 ， 都 写 成 为12, , ur 的最大值为 A 2 B. 2 C. 12 D. 22 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） 已知 比 数列na(n N )的前 项和，若3 14S，公比 2q， 则数列 （ 10） 在极坐标系中， O 为极点，点 A 为 直线 : s i n c o s 2l 上 一点， 则 |的最小值为 _. (11) 如图，点 D 是 的边 一点， 7 , 2 , 1 , 4 5 A D B D A C B 那么 _; _. (12) 某 三 棱锥 的 三视图如图所示，则该 三 棱 锥中最长棱的棱长为 _. （ 13） 2016 年 3 月 12 日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕 三馆两园一带一谷 ”七大板块 .“三馆 ”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆； “两园 ”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带 ”即草莓休闲体验带； “一谷 ”即延寿生态观光谷 于时间有限，他们准备选择其中的“一 馆 一 园一带一谷 ”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有 _种 . （用数字作答） （ 14） 已知数列 (0 1),a a a *11 , 1 ,( ) ( 1 ) ,2 N 若3 1,6a 则 a _； 记12 . . . ,a a a 则2016S _. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) （ 15）（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x A 的部分图象如图所示 . （ ） 写出 函数 ()x 的值 ； （ ） 求函数 () , 44上的最大 值 与最小值 . （ 16） （本小题满分 13 分） 为了解高一新生数学基 础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试 . 现从两校各随机抽取 10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下： （ I） 比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论） （ 如果将数学基础 采用 A、 B、 C 等级制，各等级 对应的测试成绩 标准 如下表： （满分 100 分，所有学生成绩均在 60 分以上） 甲校 乙校 5 1 9 1 1 2 4 3 3 8 4 7 7 4 3 2 7 7 8 8 6 5 7 8 C 1B 1A 185,10070,85)(60,70)基础 等级 A B C 假设每个新生的 测试 成绩互相独立 给 数据，以事件 发生的频率作为相应事件发生的概率 . 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校 新生的数学 基础 等级高于 乙校 新生的数学基础 等级 的概率 . （ 17） （本小题满分 14 分） 如图，三棱柱1 1 1 B C中，于正方形112 , 1A C B C， D 为 点， E 为线段 1的一点（端点除外）， 平面1D 交于点 F . （ I）若 E 不是1证：1 /F; （ 若 E 是1 平面 成角的正弦值 ; （ 在线段 1是否存在点 E ，使得1 ,A E 存在，求出1值，若不存在，请说明理由 . （ 18）（本小题满分 13 分） 已知函数( ) 2( ) ( , , )g x x b x c a b c R，且曲线()y f )y g x 在它们的交点 (0, )c 处具有公共切线 . 设( ) ( ) ( )h x f x g x. （ I）求 c 的值，及 , （ 函数() （ 0a ，若对于任意12, 0,1都有12( ) ( ) e 1h x h x ，求 （ 19）（本小题满分 13 分） 已知椭圆 M ： 22 10xy 的 焦距 为 2 ，点 0, 3D 在椭圆 M 上， 过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A 、 B 两点，且点 A 不是 椭圆 M 的顶点，过点 A 作 x 轴 的垂线，垂足为 H ，点 C 是线段中点，直线 椭圆 M 于点 P ，连接 （ ）求椭圆 M 的 方程及 离心率 ； （ ） 求证： P . （ 20）（本小题满 分 14 分） 定义 1 2 3m a x x , x , , 3 x , x , , 已知数列 1000na n， 2000nb m， 1500nc p，其中 200 n m p ， m , , , n m p k *N m a xn n n nd a , b , c. （ I） 求 b ； （ 2k 时，求 （ k *N ， 求 昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A C B B C 二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） *2 ( N )n n （ 10） 2 （ 11） 120 ; 6 （ 12） 5 （ 13） 144 （ 14） 1;15123三、 解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) （ 15）（本小题满分 13 分） 解：（ I）0 23( ) 2 s i n ( 2 ) , 4f x x x 7 分 B 1A 1由 5 , , 2 , 4 4 3 6 6 ， 9 分 当 236x 时，即4x ，m i n( ) ( ) 1;4f x f 当 232x 时，即12x ，m a x( ) ( ) 2 x f 13 分 （ 16）（本小题满分 13 分） 解： （ I）两校 新生 的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校 新生 的数学测试样本成绩的方差小于乙校 新生 的数学测试样本成绩的方差 . 6 分 （ 设事件 D=“ 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校 新生的数学 基础 等级高于 乙校 新生的数学 基础 等级 ” . 设事件1E=“ 从甲校新生中随机抽取一名新生，其 数学 基础 等级 为 A”，1 1( ) ,5事件2=“ 从甲校新生中随机抽取一名新生，其 数学 基础 等级 为 B”，2 7( ) ,10设事件1F=“ 从乙校新生中随机抽取一 名新生，其 数学 基础 等级 为 B”，1 3( ) ,10事件2=“ 从乙校新生中随机抽取一名新生，其 数学 基础 等级 为 C”，2 3( ) ,根据题意，1 1 1 2 2 2 ,D E F E F E F 所以 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F 1 3 1 3 7 3 335 10 5 10 10 10 100 . 因此， 从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校 新生的数学 基础 等 级 高于乙校 新生的数学 基础 等级 13 分 （ 17）（本小题满分 14 分） （ I）证明：连接 交 1点 G ，连接 在三棱柱 111 中， G 为 1点 , 且 D 为 点， 所以 1/B . 因为 1G D B C D 平 面 , 1 平面 所以11/A B B C . 2 分 由已知， 平面1 ， 所以1F A B 平 面 ， A B E F 平 面， 又1E F B C D 平 面， 所以 11B C D A B E F E F 平 面, 所以 1 /F . 4 分 (建立空间直角坐标系 11C A C B 如图所示 . 11( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) ,1( 0 , 2 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , ) , (1 , 2 , 0 ) C E 111( 2 , 1 , ) , ( 0 , 2 , 1 ) , ( 1 , 2 , 0 )2A E C B C D u u ur u u u r u u u 设平面 1法向量为 ( , , )n x y zr 由 110 , 0 ,n C B n C Dr r 0,2 , 令 1,y ,得 ( 2,1, 2 )n r . 6 分 4 2 1c o s , | | |A E n u u ur ru u ur r gu u ur r 8 分 所以， 平面1成角的正弦值为 4 2163. 9 分 (在线段 1存在点 E ，使得 1 ,A E 且114 假设在线段 1存在点 E ，使得1 ,E 设 11(0, , )E y z ,1( 0 ). 则1C 1 1 1 1( 0 , 2 , 1 ) ( 0 , , )y z y z . 112 ,11 ,1 21( 0 , , )11E . 11 分 1 21( 2 , , )11 21( 0 , , )11 2241 0(1 ) (1 ) , 解得 : 14 . 13 分 所以， 在线段 1存在点 E ，使得1 ,A E 114. 14 分 （ 18） (本小题满分 13 分） 解：（ I）因为函数( ) 2() g x x b x c， 所以 函数( ) x a， ( ) 2 g x x b. 又因为 曲线()y f 线 ()y g x 在它们的交点 (0, )c 处具有公共切线 ， 所以(0) (0),(0) (0)即1, 4 分 （ 已知，2( ) ( ) ( ) e 1x f x g x x . 所以( ) e 2x a x a . 设( ) ( ) e 2x h x a x a ，所以2( ) a， ( ) 0所以() , ) 上为单调递增函数 . 6 分 由（ I）得，(0) (0),以 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0h f g ，即 0 是 () 所以，函数()的导函数 () 7 分 所以(及 符号变化如下， x,0)( )() 0 极小值 所以函数()的单调递减区间为( ,0)， 单调递增区间为(0 ). 9 分 （ （ 当 ,1x时，()是增函数 . 对于任意12, 0,1都有12( ) ( ) e 1h x h x 等价于 m a x m ) ( ) ( 1 ) ( 0) e e 1ah x h x h h a ， 等价于当 0a 时，( ) e ( e 1 ) 0aG a a ， 因为( ) e 1 0 ，所以(), )上是增函数， 又(1) 0G ，所以0,1a. 13 分 （ 19）（本小题满分 13 分） 解： （ I） 由题意知1,c 3b， 则2 2 2 4a b c ， 所以椭圆 M 的方程为22143， 椭圆 M 的 离心率为 12. 5 分 （ 0 0 1 1( , ) , ( , )A x y P x y，则 00 0 0( , ) , ( , ) x y C x由点 ,以001 11 点 A 不是 椭圆 M 的顶点， - 得 2210221034. 法一：又 01 0 01 0 0 0332,24P B B y x x x 且点 ,点共线， 所以1 0 01 0 034y y yx x x , 即 0 1 00 1 04 ( ) )y y yx x x 所以， 220 1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 1 04 ( ) 4 ( ) 43 ( ) 1 ,3 ( ) 3 ( ) 3 4A B P Ay y y y y y y y x x x x x x x x x g g g 即 P . 13 分 法二： 由 已 知 斜率都存在， 221 0 1 0 1 0221 0 1 0 1 0P A P By y y y y x x x x x )344 又003 ,4P B B x 得 00,PA xk y则00( ) 1A B P A 即 P . 13 分 （ 20）（本小题满分 14 分） 解： （ I） 由题意， 1 0 0 0 2 0 0 0m a x m a b ,n k n ， 因为 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 ( k )n k n k n， 所以，当 1k 时， 1000 2000n 2000m a xn n b b n， 当 2k 时， 1000 2000n 1000m a xn n b a n， 当 3k 时， 1000 2000n 1000m a xn n b a n. 4 分 （ 当 2k 时