2016年新课标Ⅱ卷高考考前15天终极冲刺数学试题(理)含解析

2016 新课 标 高考终极指南 数学理 本试卷分第 I 卷和第 两部分 第 I 卷 1 至 3 页，第 4 至 6 页，满分 150 考生 注意： 1答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2 第 I 卷 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 第 用 米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题卷上作答，答案无效 3 考试结束 ，监考员将试题卷 和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的） 数 z 与 的对应点关于虚轴对称，则 z=（ ） A 2 i B 2 i C 2+i D 2+i =y|y= B=x|y=1 x） ，则 AB=（ ） A 0， 1 B 0， 1） C（ ， 1） D（ ， 1 f（ x） =3x，命题 p： x （ 0， ）， f（ x） 0，则（ ） A p： x （ 0， ）， f（ x） 0 B p： （ 0， ）， f（ 0 C p： x （ 0， ）， f（ x） 0 D p： （ 0， ）， f（ 0 中 &华 &资 *源 %库 在区间（ 0， +）上单调递增的是（ ） A y=2x B y= y= y= 3x 中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为 ( ) （ A）2(1 2 3 ) 4 2（ B）2(1 3 ) 4 2（ C）4( 3 ) 4 2（ D）2 ) 4 x， y 满足约束条件 ，则 z= 的取值范围是（ ） A ， 1 B ， C ， D ， )的图像沿单位后，得到的图像关于原点对称，则的一个可能取值为 （ ） 果 输入 a=2， b=2，那么输出的 a 值为（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 （ a 0， b 0）， M、 N 为双曲线上关于原点对称的两点， P 为双曲线上的点，且直线 率分别为 k14，则双曲线离心率为（ ） A B C 2 D 列 前 n 项和为 3 4)n n S 2（ 3n） =0， n N*则数列 通项公式是（ ） A n 2 B n 3 C n 1 D n+1 a， bR+，函数 f（ x） =b 的图象经过点（ 4， 1），则12最小值为（ ） A6 2 2B 6 C4 2D 8 上的奇函数 f（ x）， 当 x0 时， f（ x） = ，则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 3a 1 B 1 3a C 3 a 1 D 1 3 a 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 x 与 y 之间的一组数据： x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 则 y与 过点 展开式中，常数项为 14，则 a= （用数字填写答案） （ 1， 1）、 B（ 0， 3）、 C（ 3， 4），则向量 在 方向上的投影为 y=f（ x）是定义在 R 上的偶函数，对于 x R，都有 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2）成立，当 0， 2且 x1，都有 0，给出下列四个命题： f （ 2） =0； 直线 x= 4是函数 y=f（ x）的图象的一条对称轴； 函数 y=f（ x）在 4， 6上为增函数； 函数 y=f（ x）在（ 8， 6上有四个零点 其中所有正确命题的序号为 三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2） 角 A， B， a， b， c，若 ， b=1， ，且 a b，试求角 两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取 30 名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示： （ ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为 乙校高三年级学生总人数； （ ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩； （ ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于 60 分为不及格）的学生中随机抽取 2人，求至少抽到一名乙校学生的概率 ，四边形 菱形， 平面 P 为 中点，Q 为 一动点 ， ， （ ）求证： （ ）当 平面 ，求四棱锥 P 体积 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 ，椭圆 1的长轴且离心率为32。 (I)求椭圆 ( )如图， M、 l 与椭圆 2与 y 轴的交点，倍，若直线 y= kx(k0)，求 f（ x） =（ k 1） 在 x=0， x=4 处取得极值 （ 1）求常数 （ 2）求函数 f（ x）的单调区间与极值； （ 3）设 g（ x） =f（ x） +c，且 x 1， 2， g（ x） 2c+1 恒成立，求 中 &华 &资 *源 %库请考生在第 22、 23、 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 时请写清题号 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图，在 ， 平分线， 外接圆交 点 E， （ ）求证： （ ）当 ， 时，求 23. （本小题满分 10分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程 为 （ t 为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为 =2 （ ）写出 C 的直角坐标方程； （ ） l 上一动点，当 的距 离最小时，求 24.（本题满分 10分）选修 4等式选讲 设函数 f(x)=|-|2x+l| (I)求不等式 f(x) x 的解集； (若不等式 f(x) t在 x 恒成立，求实数 2016 新课 标 高考终极指南数学理 试卷答案 点： 复数的代数表示法及其几何意义 专题： 数系的扩充和复数 分析： 化简复数为 a+后利用对称性求解即可 解答： 解： = = 2 i 在复平面内，复数 对应点关于 虚轴对称，则 z=2 i 故选： A 点评： 本题考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力 考点】交集及其运算 【专题】集合 【分析】求出 A中 ，求出 B中 ，找出 的交集即可 【解答】解：由 A中 y= ，得到 A=0， + ）， 由 B中 y=1 x），得到 1 x 0，即 x 1， B= （ ， 1）， 则 AB=0 ， 1）， 故选： B 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 考点】复合命题的真假；命题的否定 【专题】应用题 【分析】由三角函数线的性质可知，当 x （ 0， ）时， 据全称命题的否定为特称命题可知 p 【解答】解：由三角函数线的性质可知，当 x （ 0， ）时， x 3 3x x f （ x） =3x 0 即命题 p： x （ 0， ）， f（ x） 0为真命题 根据全称命题的否定为特称命题可知 p： （ 0， ）， f（ 0 故选 D 【点评】本题看出命题真假的判断，本题解题的关键是先判断出条件中所给的命题的真假，本题是一个基础题 考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可 【解答】解： A y=2满足条件 B y= 满足条件 C y=在区间（ 0， + ）上单调递增的，满足条件 D y= 3定义域为减函数，不满足条件 故选： C 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质 原为立体图形是半个圆锥，侧面展开图为扇形的一部分，计算易得 . 点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） z= 的几何意义是区域内的点（ x， y）到定点 D（ 1， 0）的斜率， 由图象知 斜率最大， 由 ，解得 ，即 B（ ， ），即 k= = ， 由 ，解得 ，即 C（ ， ），即 k= = ， 即 z ， 故选： D 点评： 本题主要考查线性规划以及直线斜率的 应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 考点】程序框图 【专题】算法和程序框图 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a=16时，满足条件 a 10，退出循环，输出 6 【解答】解：执行程序框图，有 a=2， b=2 不满足条件 a 10， a=4 不满足条件 a 10， a=16 满足条件 a 10，退出循环，输出 6 故选： C 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查 考点】双曲线的简单性质 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】设出点 M，点 N，点 出斜率，将点 M， 式相减，再结合 ，即可求得结论 【解答】解：由题意，设 M（ P（ 则 N（ k PM = ， =1， =1， 两式相减可得 = k PM， = ， b= a， c= = a， e= = 故选： B 【点评】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几 何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于中档题 考点】数列递推式 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列 【分析】由满足 2（ 3n） =0，n N*变形为： （ ） =0已知数列 各项均为正数，可得 2n，利用递推关系即可得出 【解答】解：由满足 2（ 3n）=0， n N* 因式分解可得： （ ） =0， 数列 各项均为正数， 2S n=3n， 当 n=1时， 2 1，解得 当 n2 时， 221=3n 23（ n 1） 2（ n 1） =3n 2， 当 n=1时，上式成立 a n=3n 2 故选： A 【点评】本题考查了数列的递推关系、因式分解方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】不等式的解法及应用 【分析】利用函数的图象经过的点，得到 a、 b 关系式，然后求出最值 【解答】解： a， bR+，函数 f（ x） =b 的图象经过点（ 4， 1）， 可得 2a +b=1，则 =（ ）（ 2a+b） =2+2+ =8， 当且仅当 b=2a= 时取等号，表达式的最小值为 8 故选： D 【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力 考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】函数的性质及应用 【分析】利用奇偶函数得出当 x0 时， f（ x） = ， x0 时，f（ x） = ，画出图象，根据对称性得出零点的值满足 x1+ x4+键运用对数求解 3a，整体求解即可 【解答】解： 定义在 数 f（ x）， f （ x） = f（ x）， 当 x0 时， f（ x） = ， 当 x0 时， f（ x） = ， 得出 x 0时， f（ x） = 画出图象得出： 中 &华 &资 *源 %库如图从左向右零点为 根据对称性得出： x1+ 42= 8， x4+4=8 ， ） =a， 3a， 故 x1+x2+x3+x4+ 8+1 3a+8=1 3a， 故选： B 【点评】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于 中档题 13.（ 2） 【考点】线性回归方程 【专题】计算题；规律型；概率与统计 【分析】求出样本中心即可得到结果 【解答】解：由题意可知： = = =2 y与 过点（ 2） 故答案为：（ 2） 【点评】本题考查回归直线方程的应用，样本中心的求法，考查计算能力 考点】： 二项式系数的性质 【专题】： 计算题；二项式定理 【分析】： 利用二项式定理的通项公式，通过 x 的指数为 0，求出常数项，然后解出 a 的值 解：因为 的展开式中 = ， 令 21 3r =0，可得 r=6 当 r=6 时展开式的常数项为 7a=14， 解得 a=2 故答案为： 2 【点评】： 本题是基础题，考查二项式定理通项公式的应用，考查二项式定理常数项的性质，考查计算能力 考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用 【分析】首先分别求出 ， 的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影 【解答】解：由已知得到 =（ 1， 2）， =（ 4， 3）， 所以向量 在 方向上的投影为 = =2； 故答案为： 2 【点评】本题考查了有向线 段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题 16. 【考点】命题的真假判断与应用 【专题】数形结合；转化法；简易逻辑 【分析】 令 x= 2，可得 f（ 2） =0，从而可判断 ； 由（ 1）知 f（ x+4） =f （ x），所以 f（ x）的周期为 4，再利用 f（ x）是 据函数对称性从而可判断 ； 依题意知，函数 y=f（ x）在 0， 2上为减函数结合函数的周期性，从而可判断 ； 由题意可知， 8， 6上有的图象，从而可判断 【解答】解： ：对于任意 x R，都有 f（ x+4） =f （ x） +f （ 2）成立，令 x= 2，则 f（ 2+4） =f（ 2） +f （ 2） =f（ 2）， 即 f（ 2） =0，即 正确； ：由（ 1）知 f（ x+4） =f （ x），则 f（ x）的周期为 4， 又 f （ x）是 f （ x+4） =f（ x）， 而 f（ x）的周期为 4，则 f（ x+4） =f（ 4+x）， f（ x） =f（ x 4）， f （ 4 x） =f（ 4+x）， 则直线 x= 4是函数 y=f（ x）的图象的一条对称轴，即 正确； ：当 0， 2，且 x1x 2时，都有 0， 函数 y=f（ x）在 0， 2上为减函数， 而 f（ x）的周期为 4， 函数 y=f（ x）在 4， 6上为减函数，故 错误； ： f （ 2） =0， f（ x）的周期为 4，函数 y=f（ x）在 0， 2上为增函数， 在 2， 0上为减函数， 作出函数在（ 8， 6上的图象如图： 则函数 y=f（ x）在（ 8， 6上有 4个零点，故 正确 故答案为 【点评】本题考查 命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题 17.【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数 【 专题】解三角形 【分析】（ 1）将 f（ x）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间为 2 ， 2， x x 的不等式，求出不等式的解集即可得到 f（ x）的递增区间； （ 2）由（ 1）确定的 f（ x）解析式，及 f（ ） = ，求出 B ）的值，由 用特殊角的三角函数值求出 再由 b与 用正弦定理求出 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值 求出 大于 B，检验后即可得到满足题意 的度数 【解答】解：（ 1） f（ x） =2x ） 2x ）， 令 2 2x 2， x Z，解得： x， x Z， 则函数 f（ x）的递增区间为 ， ， x Z； 中 &华 &资 *源 %库（ 2） f （ B） = B ） = ， B ） = ， 0 B ， B ， B = ，即 B= ， 又 b=1， c= ， 由正 弦定理 = 得： = ， C 为三角形的内角， C= 或 ， 当 C= 时， A= ；当 C= 时， A= （不合题意，舍去）， 则 B= ， C= 【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计 【分析】（ I）利用等可能事件的概率，直接高 三年级学生总数 （ 用茎叶图甲校有 22位，乙校有 22位，判断成绩的平均数较大，方差较小得到结果 （ 校有 4位同学成绩不及格，分别记为： 1、 2、 3、 4；乙校有 2位同学成绩不及格，分别记为： 5、 6列出从两校不及格的同学中随机抽取两人的所有基本事件乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为 A，列出 个基本事件，然后求解概率 【解答】解：（ I）因为每位同学被抽取的概率均为 高三年级学生总数 （ I I）由茎叶图可知甲校有 22 位同学分布在 60至 80之间，乙校也有 22位同学分布在 70 至 80 之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平 均数较大，方差较小所以，乙校学生的成绩较好 （ 7分） （ 茎叶图可知，甲校有 4位同学成绩不及格，分别记为： 1、 2、 3、 4；乙校有 2位同学成绩不及格，分别记为： 5、 6则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（ 1，2）、（ 13）、（ 1， 4）、（ 1， 5）、（ 1， 6）、（ 2， 3）、（ 2， 4）、（ 2， 5）、（ 2， 6）、（ 3， 4）、（ 3， 5）、（ 3， 6）、（ 4， 5）、（ 4， 6）、（ 5， 6），总共有 15个基本事件其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为 A，则 个基本事件，如下：（ 1， 5） 、（ 1， 6）、（ 2， 5）、（ 2，6）、（ 3， 5）、（ 3， 6）、（ 4， 5）、（ 4， 6）、（ 5， 6） （ 10 分） 所以， （ 12分） 【点评】本题考查茎叶图的应用，古典概型的概率的求法，考查计算能力 19.（ ） 见解析 （ ）四棱锥 P 体积 为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何 【分析】（ ）证明 平面 可证明： （ ）当 平面 ，设 D=O，取 中点 Q，即可求四棱锥 P 体积 【解答】（ ）证明： 四边形 菱形， 平面 D=D， 平面 平面 （ ）解：设 D=O，取 中点 Q， 平面 面 平面 连接 ， 平面 S 四边形 S 菱形 ， V 四棱锥 P S 四边形 【点评】本题考查 线面垂直的判定与性质，考查四棱锥 P 体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20. 21.【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】计算题 【分析】（ 1）因为函数两个极值点已知，令 f （ x） =3（ k 1） x=0，把 0和 4代入求出 （ 2）利用函数的导数确定函数的单调区间， f （ x） =3（ k 1） x=4x=x（ x 4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间 即可，把函数导数为 0的 f（ x）中，通过表格，判断极大、极小值即可 （ 3）要使命题成立，需使 g（ x）的最小值不小于 2c+1，由（ 2）得： g（ 1）和 g（ 2）其中较小的即为 g（ x）的最小值，列出不等关系即可求得 【解答】解：（ 1） f（ x） =3（ k 1） x，由于在 x=0， x=4处取得极值， f （ 0） =0， f（ 4