上海市虹口区2016届高三5月模拟(三模)数学试题(理)含答案

2016 年 虹口区 高考 模拟试卷 理科数学 生注意： 页， 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 . 一、填空题（本大题满分 56 分） 本大题 共 14 题，只要求在答题纸相应题 号 的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1 设集合 1 03 x ， 21，则 _. 2 在 中， 34A则 _. 3. 已知复数 2 ()13iz i z 为 虚 数 单 位 ， 表 示的共轭复数，则 _. 列 公比 1 足 ，且 2 4 3 44 , 3 ,a a a a 则12l i m ( )nn a a a L _. ) ( ) ( )f x x a x a R 存在反函数 1()，则 1(1) ( 4 ) _. 6 学 解 题中， 时 常会 碰到 形如“1” 的式子 ， 它与“两 角和 的 正切公式 ” 的 结构 类 似 .若 a ,b 是 非零实数，且满足 s i n c o s 855 t a n 15c o s s i ， 则 _. 7. 若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为 5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形， 则该 球的体 积与它的内接圆锥的体积之比 等于 _. 8某小区有排成一排的 8 个车位，现有 5 辆不同型号的轿车需要停放，则这 5 辆轿车停入车位后，剩余 3 个车位连在一起的概率为 _（结果用 最简分 数 表示 ） . 9 若双曲线 22 2 1yx b的一个焦点到其渐近线的距离为 22， 则 该双曲线的焦距等于_. 10若复数 z 满足 3 4 (z z i i 为 虚 数 单 位 )， 则 z 的最小值为 _. 11 在极坐标系中， 圆 2 被直线 1s )32截得的弦长为 12过抛物线 2 8的焦点 F 的直线与其相 交于 A， B 两点， O 为坐标原点 若 6, 则 的面积为 13 若关于 x 的方程 21x x a x有三个不同实根，则实数 a 的取值范围为 _. 14 在平面直角坐标系中，定义 11 1 11 , ( ) ( , ) ( , )n n n n n n n n nn n nx x y n N P x y P x yy x y 为 点 到 点的一个变换，我们把它称为点变换 2 2(1 , 0 ) ( , )P P x y， ，3 3 3( , )P x y L，是经过点变换 得到的一组无穷点列，设1 1 2,n n n n P P P 等式12 2016na a a n 的值为_. 二 、 选择题 （ 本大题共 4 题， 满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 . 15关于三个不同平面 , 与直线 l ， 下列命题中的假命题是 ( ) （ A） 若 , 则 内一定存在直线平行于 ； （ B） 若 与 不垂直，则 内一定不存在直线垂直于 ； （ C） 若 ,l ， 则 ;l （ D） 若 , 则 内所有直线垂直于 . 16 若 函数 ()y f x 的图像与函数 3 的图像关于直线 对称，且( 1) ( 3 ) 3 ，则 实数 a 等于 ( ) （ A） ( B) 1 （ C） 2 (D) 4 17 在锐角 中 , 60 ,B 2,A B A C C取值范围 为 ( ) （ A） （ 0， 12） （ B） 1, 124 （ C） 0, 4 （ D） 0, 2 18 在平面直角坐标系中，定义 1 1 2 2( , ) ( , )P x y Q x 与 之间的“直角距离”为 ： 1 2 1 2( , ) + Q x x y y 现给出下列 4 个命题： 已知 22(1 , 2 ) ( c o s , s i n ) ( ) ,P Q R , ( , )d P 定 值 ； 已知 ,三点不共线，则必有 ( , ) ( , ) ( , )d P Q d Q R d P R； A 1C 1O 1 用 示 , 之间的距离， 则 2 ( , )2P Q d P Q ； 若 是椭圆 22154上的任意两点，则 ( , ) Q 的 最 大 值 为 6 则下列判断正确的为 （ ） （ A） 命题 ， 均为真命题 （ B） 命题 ， 均为假命题 （ C） 命题 ， 均为假命题 （ D） 命题 ， ， 均为真命题 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分） 解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 . 19 (本题满分 12 分 ) 本题共 2 个小题， 第 1 小题 5 分 ， 第 1 小题 7 分 . 已知函数 的图像过点 )3,12( 和点 )2,32( . （ 1）求函数 () （ 2）将函数 )(的图像向左平移 )0( 个单位后，得到函数 )(的图像；已知点 )5,0(P ，若函数 )(的图像上存在点 Q ，使得 3| 求函数 )(图像的对称中心 . 20 (本题满分 14 分 ) 本题共 2 个小题， 第 1 小题 6 分 ， 第 1 小题 8 分 . 已知函数 2( ) 2 ( 0 )f x a x a x b a 在区间 1, 3 上的最大值为 5，最小值 为 1. （ 1）求 ,) （ 2）设 ()() ，若不等式 ( 3 ) 3 0 在 0, 2x 上有解，求实数 t 的取值范围 . 21 (本题满分 14 分 ) 本题共 2 个小题， 第 1 小题 6 分 ， 第 1 小题 8 分 . 如图， 在直 四棱 柱1 1 1 1A B C D A B C D中，底 面 为菱形 ， 4 , 2 ,A C B D且侧棱1 中 1 1 1O 11 交 点(1) 求 点1面1离 ； (2) 在线段1否存在一个 点 P ， 使得 直线 1直？若存在，求出线段 长；若不存 在，请 说明理由 . 22. (本题满分 16 分 ) 本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分 . 设椭圆 22: 1 ( 0 )a ，定义椭圆 C 的“相关圆” E 为 : 222222 . 若抛物线 2 4的焦点与椭圆 C 的 右 焦点重合，且椭圆 C 的 短轴 长与焦距相等 . （ 1）求椭圆 C 及其 “相关圆” E 的方程； （ 2）过“相关圆” E 上任意一点 P 作 其 切线 l ，若 l 与椭圆 C 交于 ,点， 求 证 : 为定值 （ O 为坐标原点 ） ； (3) 在（ 2）的条件下， 求 面积的取值范围 . 23. (本题满分 18 分 ) 本题共 3 个小题，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分 . 若 数列 12: , , , ( , 2 )a a a n N nL 满足 110 , 1 ( 1, 2 , , 1 ) ,a a k n 数列 2( ) a a a L （ 1） 若 5A 为 L 数列 ,且 5 0,a 试写 出 5() 所有可能值 ； （ 2）若 L 数列 ，且 0, 求 () 最大值 ； （ 3）对任意给定的正整数 ( 2) ,是否存 在 L 数列 ,得 ( ) 0 ?若存在，写出满足条件的一个 L 数列 若不存在，请 说明理由 . 2016 年虹口区 高考模拟数学试卷 参考 答 案 与评分标 准 2016 年 5 月 一、填空题（本大题共 14 题 ,每题 4分 ,满分 56分） 1 0,3 2 24253 1 4 16 5 1 6. 3 3289. 6 10 71011 2 12. 62 13 , 2 2 14 11； 二 、 选择题（本大题 共 4 题，每题 5 分， 满分 20分 ） 15. D 16. C 17. A 18.(理 ) D； (文 ) D 三、解答题（本大题共 5 题，满分 74 分） 19 (本题满分 12 分 ) 本题共 2 个小题，第 1 小题 5 分，第 2 小题 7 分 . 解：（ 1）易知 c o ，则由条件，得 s i n c o s 36644s i n c o s 233 ， 2 分 解得 3 , 1 故 ( ) 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( 2 )6f x x x x . 故函数 ()，最小值为 2. 5 分 （ 2）由（ 1）可知： ( ) ( ) 2 s i n ( 2 2 )6g x f x x . 于是，当且仅当 )2,0(Q 在 )(的图像上时满足条件 . 7 分 2)62s )0( g. 由 0 ，得 9 分 故 c 2s 2)( . 由22 ( ) k Z 于是，函数 )(图像的对称中心为： )(0,42( . 12 分 20 (本题满分 14 分 ) 本题共 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 . 解： （ 1）由 2( ) ( 1 ) 0f x a x b a a （ ） 及 条 件 ， 可 得( 3 ) 3 5 ,(1 ) 1f a bf b a 3 分 解得 1, 故 2( ) 2 2f x x x 6 分 B 1A 1D 1P（ 2）由（ 1）可得 ( ) 2( ) 2 ,x 于是题设条件得 23 2 3 0 0 , 23 在 上 有 解 , 8 分 即 221 1 1 1 12 2 1 2 0 , 2 3 2 2x x + 在 上 有 解 10 分 令 21 1 1 1 1, 1 ( 0 , 2 ) 2 , 1 2 2 9x u x t u u Q ， 则 在 上 有 解 12 分 21 1 1 1, 1 2 , 1 1 2 2u u t 当 时 ， ， 于 是因此，实数 t 的取值范围为 , 1 . 14 分 21 （理） (本题满分 14 分 ) 本题共 2 个小题， 每 小题 7 分 . 解： (1) 由于菱形的对角线互相垂直平分，故 以 交点 O 为 原点， 以射线 x y z、 、 轴 ， 建立空间直角坐标系 . 由已知条件，相关 点的坐标为 ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) 1 1 1( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 ) , ( 0 , 1 , 3 ) , ( 0 , 1 , 3 ) B 2 分 设平面1 , , ),n x y zr 由 ( 4, 0, 0), 2 , 1, 3), 140 0, 0n A C x D x y zr u u u u u ? - = = 眄镲 =? - - + = 令 1z ， 则 (0, 3,1)n r . 5 分 因11 ( 0 , 2 , 0 ) ,故点1面1离为 11 ( 0 , 2 , 0 ) ( 0 , 3 , 1 ) 3 1 0 .( 0 , 3 , 1 ) 5D B u u u r = = = 7 分 (2) 设 1,O 则由 ( 2,1, 0), (0, 1, 3), ( 2 , 1 , 3 ) A B B P u u ur u u ur u u + = - - 又 1 ( 2 , 1, 3), 10 分 故当1D 1( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 1 , 3 ) 1 0 5 0 C D u u ur u u u 12 分 于是，在线段1 P ， 使得1;D此时11 1 0 B O 14 分 22. (本题满分 16 分 ) 本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分 . 解： （ 1）因为抛物线 2 4的焦点 1,0 与椭圆 C 的右焦点重合，所以 1c ， 又因为 椭圆 C 的 短轴 长与焦距相等，所以 1. 2 分 故椭圆 C 的方程为： 22 12x y，其“相关圆” E 的方程为： 2223. 4 分 证 ： （ 2）（ i）当直线 l 的斜率不存在时，不妨设其方程为 63x，则 6 6 6 6, , ,3 3 3 3 ， 所以2. 6 分 （ 直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m，并设 1 1 2 2, , ,A x y B x y， 则由22 12y kx mx y得 222 ( ) 2x k x m ,即 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m , 8 分 故 = 2 2 2 2 2 21 6 4 (1 2 ) ( 2 2 ) 8 ( 2 1 ) 0k m k m k m ,即 222 1 0 ( * ) 且 21 2 1 2224 2 ( 1 ), 1 2k m mx x x 由 直线 l 与 “ 相关圆 ” E 相切 ，得 2222131m , 即 223 2 2 0 8 分 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 222 2 2( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( 1 ) ( 1 ) 4 3 2 2 1 2 1 2O A O B x x y y x x k x m k x m k x x k m x x mk m k m m k k u u ur u u B2即综合上述，得 B 为 定 值 10 分 解： （ 3）由于 16 ,26O A B O P A B 所以求取值范围，只需求出弦长 取值范围 . 当直线 l 的斜率不存在时，由（ 2）的（ i），知 263 12 分 当直线 l 的斜率存在时，2 2 4 2 22212 2 2 4 2 4 28 ( 2 1 ) 8 4 5 1 81 (1 ) 1 .(1 2 ) 3 4 4 1 3 4 4 1k m k k k x x kk k k k k （ i）当 0k 时 , 26|3 14 分 （ 当 0k 时 , 因 为2 214 4 8k k ， 所以228 8 11 3 ,133 44 故 26 33 当且仅当 22k 时， 于是 取值范围为 26, 3 因此取值范围为 22, 16 分 23.（理） (本题满分 18 分 ) 本题共 3 个小题，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分 . 解： （ 1）满足条 件的 L 数列 5A ，及对应的5() ： （ i） 0, 1, 2， 1, 0. 5( ) 4; (0, 1, 0， 1, 0. 5( ) 2; 0, 1, 0， 0. 5( ) 0; (0, 0. 5( ) 4;（ v） 0, 0， 0 . 5( ) 2; (0, 0, 1, 0. 5( ) 此，5()有可能值为： 4 , 2 , 0 , 2 , 4 . 5 分 (2) 由于 数列 ，且1 0, 1 1 ( 1, 2 , , 1 ) ,a k n L 故 n 必须是不小于 3 的奇数 . 7 分 于是使 () 0 , 1 , 2 , 3 , , 2 , 1 , , 1 , 2 , , 3 , 2 , 1 , 0 .k k k k k 9 分 这里 2 1 3 ( ) ,n k k n N 、 并且 2 1( ) 2 1 2 ( 1 ) , k k k k L 因此， 2m a ) ( 3 ) n 为 不 小 于 的 奇 数 11 分 （ 3） 令 1 ( 1 , 2 , , 1 ) , 1 ,k k k kc a a k n c L 则于是由1 0,a 得 2 1 3 2 2