七年级下-数学-因式分解-讲义

1 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 因式分解的意义 与整式乘法的关系 互逆 提取公因式法 cbammcmbma 因式分解的主要方法 平方差公式 bababa 22 因式分解 公式法 完全平方公式 22 2 2bababa 因式分解的一般步骤 先看能否用提取公因式 再看能否用公式法 因式分解的应用 4 1 因式分解因式分解 知识点知识点 一般地 把一个多项式化成几个整式的积的形式 叫做因式分解 也叫分解因式 考点考点 判断因式分解 关键 1 等式右边是几个整式乘积的形式 2 是否分解彻底 3 用整式乘法来检验因 式分解的正确性 例 1 下列各式从左到右的变形中 是因式分解的是 A B 2132 2 2 xxx 1112 22 xyxyxyyx C D xxyxyyx 22 33 yxyxyx323294 22 例 2 检验下列因式分解是否正确 1 121212 2 aaa 2 339 3 xxxxx 3 382411 2 mmmm 4 yxyxyxyx 22 22 考点考点 已知因式或其中一个因式 求原多项式的系数 关键 1 将因式的乘积用整式乘法做化简 再与原多 项式一项一项对比 2 若只知一个因式 则将另一个因式设为类似 mx n 的形式 再与已知因式相乘做化简 最 后与原多项式对比 例 1 若是多项式分解因式的结果 则的值是 43 xx12 2 axxa 例 2 若是多项式分解因式的结果 则的值是 3 x12 2 axxa 例 3 若是多项式分解因式的结果 则的值是 3 xaxx 7 2 a 例 4 甲 乙两名同学分解因式时 甲看错了 分解结果为 乙看错了 分解baxx 2 b 42 xxa 结果为 则 91 xx ba 考点考点 将考点 反过来 已知原多项式和它的因式分解的其中一个因式 求另一个因式 2 例 1 括号里应填 ababyabxab749147 A B C D yx721 yx72 1 yx7 2 1yx721 例 2 已知将因式分解得到的一个因式是 另一个因式是 12 2 xx 3 x 考点考点 利用因式分解简单计算 例 1 1 2 2012012 22 3565 4 2 提取公因式法提取公因式法 知识点一 公因式知识点一 公因式 1 一般地 一个多项式中每一项都含有的相同的因式 叫做这个多项式各项的公因式 2 多项式各项的公因式应是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积 知识点二 提取公因式法知识点二 提取公因式法 3 如果一个多项式的各项含有公因式 那么可把该公因式提取出来进行因式分解 这种方法叫做提取公因式法 4 提取公因式法的一般步骤 确定公因式 多项式的首项系数为负时 把 提出 用公因式去除这个多项 式 将所得的商与公因式写成乘积的形式 5 添括号法 括号前面是 括号里的各项都不变号 括号前面是 括号里的各项都变号 与去括号一样 考点考点 寻找公因式 关键 公因式可以是单项式 也可以是多项式 例 1 写出下列各式的公因式 1 2 mabma63 2 6273 23 xyyxyx 3 4 33223 51525bababa zxxyx 22 考点考点 用提取公因式法因式分解 关键 1 多项式的某一项等于公因式时 提取之后补 1 2 公因式是负因式 时 用添括号法则 3 公因式可以是单项式 也可以是多项式 例 1 分解因式 1 2 3 4 23 64xx abbaba 2233 xxx 333 5 6 32 26baaba 21 nnn xxx mmmm baba 2112 考点考点 添括号法则的应用 例 1 当为 时 当为 时 n 为整数 n nn abba n nn abba 考点考点 提取公因式法的应用 例 1 计算 1 2 5394395392 1127992003 例 2 若的值 201522求 0 22 aaaa 例 3 已知 求的值 01 2 aa 832 1aaaa 4 3 用乘法公式分解因式用乘法公式分解因式 知识点一知识点一 两个数的平方差 等于这两个数的和与差的积 bababa 22 3 知识点二知识点二 两个数的平方和 加上 减去 这两个数的和 差 等于这两个数和 2 22 2bababa 差 的平方 考点考点 用乘法公式因式分解 将乘法公式与提取公因式法结合运用 运用因式分解做多项式与多项式的除法 例 1 1 下列各式中 不能用平方差公式分解的是 A B C D 1 22 ba 2 25 04a 22 ba 1 2 x 2 下列各式 能用完全平方公式分解的是 44 2 xx136 2 xx144 2 xx 22 24yxyx 22 16209yxyx A B C D 3 若是一个完全平方式 则 k 9 2 kxx 例 2 分解因式 1 2 aa4 3 23 9xyx 3 22 916baba 4 5 168 2 xx 4 1 22 baba 5 6 44 22 baba 92416 2 xx 例 3 利用因式分解计算 1 2 3 1194972 7310514573 22 4333 19222 1 22 例 4 因式分解 1 2 3 22 916baba 23 82xyx 2 1 2 2 a 4 5 6 yxyx 3 aa1618 2 131 xx 7 8 9 5335 yxyx 2 2 2 41aa xx44 2 10 11 12 aaxax96 2 817216 4 xx yxyx 1664 2 总结方法 一般地 能提取公因式的 先提前公因式 再看能否用乘法公式 最后检查是否已分解到不能再分解总结方法 一般地 能提取公因式的 先提前公因式 再看能否用乘法公式 最后检查是否已分解到不能再分解 因式分解综合应用 例 1 若 则 12 8 mnnm nmmn 22 例 2 若 则 12 8 mnnm 3223 2xyyxyx 例 3 我们知道 但是不能写成完全平方式 这时我们通常这样的方法 2 2 396 aaa86 2 aa 仿照此法 分解因式 4213899686 2 22 aaaaaaa 4 1 2 283 2 aa276 2 xx 例 4 已知 求的值 01364 22 yxyx y x 例 5 若 求的值 01254 22 yyxyxyx 例 5 ABC 的三边长分别为 且 请判断 ABC 是什么三角形 cba bccaba22 例 6 ABC 的三边长分别为 且 判断 ABC 是什么三角形 cba 0 222 acbcabcba 例 7 某水渠的横截面是梯形 如图所示 用含 a b 的代数式表示横截面的面积 并计算当时 5 0 5 1 ba 横截面的面积 例 8 某单位在修剪一个边长的正方形广场时 欲将其四个角均留出一个边长为的正方形修cma84 cmb8 建花坛 其余地方种草 请倪用最简单的方法计算草坪的面积是多少 例 9 分解因式 1 2 cbacabba 23323 6128 abbbaa 22 3 4 22 3 1 3ba xx12123 2 例 10 计算 1 2 24 2 aa yxyxyx244 22 拓展拓展 分组分解法 把多项式分成若干组 每组分别进行因式分解 再从总体上因式分解 nmbanmbnmabnbmanam 例 1 1 2 3 bybaya 22 yxxyx3322 2 baba44 22 4 222 1684zyzyx 十字相乘法 常见的一元二次项形式 qxpxp