【赢在高考】2013高考数学大一轮复习 5.8正弦定理、余弦定理的应用配套练习 苏教版

1 赢在高考赢在高考 2013 2013高考数学大一轮复习高考数学大一轮复习 5 85 8正弦定理 余弦定理的应正弦定理 余弦定理的应 用配套练习用配套练习 苏教版苏教版 1 2012届广东珠海高三摸底 ABC中 A B C所对的边长分别为a b c 且 则b 22acAB BC 答案 2 解析 cos B 4cosB 2 2 2AB BC cos 1 2 B B 60 b a 2 2 线段AB外有一点 AB 200 km 汽车以80 km h的速度由A向B行驶 同时60CABC 摩托车以50 km h的速度由B向C行驶 则运动开始 h后 两车的距离最小 答案 70 43 解析 如图所示 设t h后 汽车由A行驶到D 摩托车由B行驶到E 则 AD 80t BE 50t 因为AB 200 所以BD 200 80t 问题就是求DE最小时t的值 由余弦定理 得cos60 222 2DEBDBEBD BE 2 20080 2t 2 500 20080 50ttt 12 000t 40 000 2 90042t 当时 DE最小 70 43 t 3 一船自西向东匀速航行 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75 距塔68海里的M处 下午 2时 到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船的航行速度为 海里 时 答案 17 6 2 解析 如图所示 在 PMN中 sin45sin120 MNPM 683 34 6 2 MN 海里 时 17 6 42 MN v 4 如图 海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A B 灯塔B位于灯塔A的正南方向 海上停泊着两 2 艘轮船 甲位于灯塔A的北偏西75 方向 与A相距 n mile的D处 乙船位于灯塔B的北偏 3 2 西60 方向 与B相距 5 n mile 的C处 则两艘船之间的距离为 n mile 答案 13 解析 连结AC 560BCABABC 所以 ABC为等边三角形 所以AC 5 且 75 60 45 180DAC 在 ACD中 由余弦定理得 cos 13 222 3 2 52 3 25CD 4 故两艘船之间的距离为 n mile 13 1 为测量某塔AB的高度 在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30 测得塔基B的 俯角为45 那么塔AB的高度是 m 答案 3 20 1 3 解析 如图所示 由已知 四边形CBMD为正方形 而CB 20 m 所以BM 20 m 又在Rt AMD中 DM 20 m 30ADM AM DMtan30m 20 3 3 3 m 320 32020 1 33 ABAMMB 2 如图 一货轮航行到M处 测得灯塔S在货轮的北偏东15 与灯塔S相距20海里 随后货轮按北 偏西30 的方向航行30分钟后到达N处 又测得灯塔在货轮的东北方向 则货轮的速度为 海里 时 答案 20 62 解析 由题意知 20105SMSNM 45NMS 30 MSN 20 sin30sin105 MN 10 10 62 sin105 MN 货轮航行的速度 海里 时 10 62 1 2 v 20 62 3 如图所示 在河岸AC测量河的宽度BC 图中所标的数据是可供测量的数据 下面给a b c 出的四组数据中 对测量河宽较适宜的是 填序号 c和a c和b c和 b和 答案 解析 从题图中可以看出 不能直接测量出a及c 故 均不适宜 只需测量出b和在河 边一侧即可测出 此时 在 ABC中 利用正弦定理 可得 2 sinsin ba btan sin sin ab sin cos b 4 有一长为100 m的斜坡 它的倾斜角为45 现在打算把倾斜角改为30 则坡底要伸长 m 答案 50 62 解析 如图 依题意 10045ACACB 30ADC 4 由正弦定理 得 100 sin 4530 sin30 CD 50 62 CD 5 要测量对岸A B两点之间的距离 选取 km的C D 375ACB 45BCD 45 则A B之间的距离为 30ADC ADB 答案 km 5 解析 如图所示 在 ACD中 120ACD CAD 30ADC km 3ACCD 在 BCD中 45BCD 75BDC 60CBD 3sin7562 2 sin60 BC ABC中 由余弦定理 得 cos75 3 2 5 2226262 3 23 22 AB 33 km 5 AB A B之间的距离 km 5 6 海上有A B两个小岛相距10海里 从A岛望C岛和B岛撑60 的视角 从B岛望C岛和A岛成75 视角 则B C的距离是 海里 答案 5 6 解析 在 ABC中 由正弦定理易求海里 5 6 BC 7 2011上海高考 文8 在相距2千米的A B两点处测量目标C 若 则75CAB 60CBA A C两点之间的距离是 千米 答案 6 解析 如图所示 在 ABC中 5 75 60 45 180ACB 根据正弦定理 得千米 sinB2sin60 6 sinCsin45 AB AC 8 甲船在A点观察乙船的方位角为北偏东60 两船相距 a海 里 乙船向正北方向行驶 若甲 船速度是乙船速度的 倍 则甲船应沿方位角 方向前进才能与乙船相遇 此3 时乙船航行了 海里 答案 30 a 解析 设乙船自B点向北行驶x海里至C处与甲船相遇 此时 3ACx 由甲在A处观察 乙的方位角为60 知 120ABC 在 ABC中 cos120 222 ACABBC 2AB BC 2221 3 2 2 xaxax 整理 得 x a 则 22 20 xaxa 33ACxa 由正弦定理 sin 3 sin12021 2 3 a BC CAB AC a 30 30 30CAB 60CAD 甲船应沿方位角为北偏东30方向前进 此时乙船航行了a海里 circ 9 2012届江苏苏北四市一模 在 ABC中 角A B C所对应的边分别为a b c 且满足cos 1 2 3 AAB AC 1 求 ABC的面积 2 若b c 5 求a的值 解 1 cos sin 1 3 A 2 2 3 A 又 cosA 2 bc 6 AB ACbc 6 sin 1 2ABC Sbc A 2 21 62 2 23 A 2 b c 5 bc 6 或 2 3 b c 3 2 b c 由余弦定理 得cosA 9 222 2abcbc a 3 10 如图 有相交成60 的两条直线MM NN 交点为O 甲 乙两人分别在直线MM NN 上 起 初甲在离O点3千米的A处 乙在离O点1千米的B处 后来两人都用4千米 小时的速度 甲沿MM 方向 乙沿N N方向同时开始步行 1 求经过t小时 t 0 后两人之间距离的表达式 用含t的式子表示 2 经过多少小时两人之间的距离最短 求出最短距离 解 1 连结AB 则在 AOB中 由余弦定理 得 22 132 1 3 cos607AB 设经过t小时 甲 乙两人分别位于点P Q处 则 AP 4t BQ 4t 当即时 1 1 4t cos60 043t 3 0 4 t 22 34 PQt 2 4 2 34 tt 当4t 3 即时1 4t cos120 3 4 t 222 43 14 2 43 PQttt 综上 2 48247 0 PQttt 21 2 48 4 4 PQt 当时 两人之间的距离最短 最短距离为2千米 1 4 t 11 某观测站C在A城的南偏西20 的方向 由A城出发的一条公路 走向是南偏东40 在C处测得 公路上距C为31千米的B处有一人正沿公路向A城走去 走了20千米后到达D处 此时CD间的距 离为21千米 问这人还要走多少千米才能到达 A城 7 解 设 在 BCD中 由余弦定理 ACDCDB 得cos 222222 2021311 22 20 217 BDCDCB BD CD 则sin 4 3 7 而sinsin sincos60 cossin60 60 4 335 311 727214 在 ACD中 由正弦定理 得 21 sin sin60 AD 千米 5 3 21 21sin14 15 3 sin60 2 AD 12 某人在塔的正东方向沿着南偏西60 的方向前进40 m以后 望见塔在东北方向 若沿途测 得塔的最大仰角为30 求塔高 解 在 BDC中 4