北京市2013届高三数学3月抽样测试 理（门头沟一模）新人教B版

1 门头沟区门头沟区 20132013 年高三年级抽样测试年高三年级抽样测试 数学 理工类 数学 理工类 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 l 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考试时间 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答 题卡一并回交 第 卷 选择题 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 已知全集 U R 集合 A 2 4x x B 1x x 则集合 A B 等于 A 2x x B 12xx C 1x x D R 2 1a 是 函数 2 01 x f xaaa 且 在区间 0 上存在零点 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 下列直线中 平行于极轴且与圆 2cos 相切的是 A cos1 B sin1 C cos2 D sin2 4 有 4 名优秀学生 A B C D 全部被保送到甲 乙 丙 3 所学校 每所学校至少去一名 且 A 生不去甲校 则不同的保送方案有 A 24 种 B 30 种 C 36 种 D 48 种 5 如图 圆 O 的割线 PAB 经过圆心 O C 是圆上一点 PA AC 1 2AB 则以下结论不正确 的是 A CB CP B PC AC PA BC C PC 是圆 O 的切线 D BC 2 BA BP 6 已知 P x y 是中心在原点 焦距为10的双曲线上一点 且 y x的取值范围为 3 3 4 4 则 该双曲线方程是 A 22 1 916 xy B 22 1 916 yx P AOB C U 2 C 22 1 169 xy D 22 1 169 yx 7 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体的体积是 A 2 1 B 1 3 C 6 5 D 1 8 定义在 R 上的函数 yf x 是减函数 且函数 2 yf x 的图象关于点 2 0 成中心对称 若 s t 满足不等式组 2 0 0 f tf s f ts 则当2 3s 时 2s t 的取值范围是 A 3 4 B 3 9 C 4 6 D 4 9 主视图 1 左视图 1 俯视图 1 3 第 卷 非选择题 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 复数 1 1 i z i 则 z 10 在等差数列 n a 中 1 3a 4 2a 则 4731n aaa 等于 11 在 ABC 中 若 2a 3c tan 15B 则b 12 执行如右图所示的程序框图 输出 的 S 值为 13 在边长为 1 的正方形 ABCD 中 E F 分别为 BC DC 的中点 则向量AE AF 14 定义在 0 0 上的函数 f x 如果对于任意给定的等比数列 n a n f a 仍是等比数列 则称 f x 为 等比函数 现有定义在 0 0 上的如下 函数 2xf x 2 logf xx 2 f xx ln2xf x 则其中是 等比 函数 的 f x 的序号为 开始 1 i2 s 1 ii s s 1 1 5 i 输出 S 结束 是 否 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 已知 函数 2 sin3cos cos 2 f xxxx 求函数 f x 的对称轴方程 当 7 0 12 x 时 求函数 f x 的最大值和最小值 16 本小题满分 14 分 在等腰梯形 ABCD 中 ADBC 1 2 ADBC 60ABC N 是 BC 的中点 将梯形 ABCD 绕 AB 旋转90 得到梯形ABC D 如图 求证 AC 平面ABC 求证 C N 平面ADD 求二面角A C NC 的余弦值 17 本小题满分 13 分 交通指数是交通拥堵指数的简称 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值 交通指数 取值范围为 0 10 分为五个级别 0 2 畅 通 2 4 基本畅通 4 6 轻度拥堵 6 8 中 度拥堵 8 10 严重拥堵 早高峰时段 从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的 50 个交通路段 依据其交通指 数数据绘制的直方图如右图 这 50 个路段为中度拥堵的有 多少个 据此估计 早高峰四环以内 的三个路段至少有一个是严重拥堵 的概率是多少 III 某人上班路上所用时间若畅通 时为 20 分钟 基本畅通为 30 分钟 轻度拥堵为 36 分钟 中度拥堵为 42 分钟 严重拥堵为 60 分钟 求此人 所用时间的数学期望 34 56789交通指数 频率 0 24 0 2 0 16 0 1 组距 A C D BN D C 5 18 本小题满分 14 分 已知函数 2 x axxa f x e 函数 f x 在点 0 0 f 处的切线与直线2 10 xy 平行 求a的值 当 0 2 x 时 2 1 f x e 恒成立 求a的取值范围 19 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系 xOy 中 动点P到直线 2l x 的距离是到点 1 0 F 的距离的 2 倍 求动点P的轨迹方程 设直线FP与 中曲线交于点Q 与l交于点A 分别过点P和Q作l的垂线 垂 足为 M N 问 是否存在点P使得 APM 的面积是 AQN 面积的 9 倍 若存在 求出点 P的坐标 若不存在 说明理由 20 本小题满分 13 分 对于集合M 定义函数 1 1 M M M x fx x 对于两个集合 M N 定义集合 1 MN MNx fxfx 已知 1 2 3 4 5 6A 1 3 9 27 81B 写出 2 A f 与 2 B f 的值 并用列举法写出集合A B 用 MCard 表示有限集合M所含元素的个数 求 XAXBCardCard 的最 小值 III 有多少个集合对 P Q 满足 P QAB 且 PAQBAB 门头沟区 2013 年高三年级抽样测试数学试卷 理工类 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 6 12345678 ACBADCCD 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 91011121314 1 5 2 nn 41 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 15 本小题满分 13 分 已知 函数 2 sin3cos cos 2 f xxxx 求函数 f x 的对称轴方程 当 7 0 12 x 时 求函数 f x 的最大值和最小值 解 2 sin3cos sinf xxxx 1 cos23sin2 22 xx 5 分 311 sin2cos2 222 xx 1 sin 2 62 x 7 分 函数关于直线 2 62 xkkZ 对称 所以 对称轴方程为 32 k xkZ 9 分 当 7 0 12 x 时 2 66 x 由函数图象可知 sin 2 6 x 的最大值为 1 最小值为 1 2 12 分 7 所以函数 f x 的最大值为 3 2 最小值为0 13 分 16 本小题满分 14 分 在等腰梯形 ABCD 中 ADBC 1 2 ADBC 60ABC N 是 BC 的中点 将梯形 ABCD 绕 AB 旋转90 得到梯形ABC D 如图 求证 AC 平面ABC 求证 C N 平面ADD 求二面角A C NC 的余弦值 证明 因为 1 2 ADBC N 是 BC 的中点 所以AD NC 又 ADBC 所以四边形ANCD是平行四边形 所以AN DC 又因为等腰梯形 60ABC 所以 ABBNAD 所以四边形ANCD是菱形 所以 1 30 2 ACBDCB 所以 90BAC 即AC AB 由已知可知 平面C BA 平面ABC 因为 平面C BA 平面ABC AB 所以AC 平面ABC 4 分 证明 因为 ADBC ADBC ADADA BCBCB 所以平面 ADD 平面BCC 又因为C N 平面BCC 所以 C N 平面ADD 8 分 因为AC 平面ABC 同理AC 平面ABC 建立如图如示坐标系 设 1AB 则 1 0 0 B 0 3 0 C 0 0 3 C 13 0 22 N 9 分 则 1 0 3 BC 0 3 3 CC x z y A C D BN D C A C D BN D C 8 设平面C NC 的法向量为 nx y z 有 0BC n 0C C n 得 3 1 1 n 11 分 因为AC 平面ABC 所以平面C AN 平面ABC 又BD AN 平面C AN 平面ABC AN 所以BD 平面C AN BD与AN交于点 O O 则为 AN 的中点 O 13 0 44 所以平面C AN 的法向量 33 0 44 OB 12 分 所以 5 cos 5 n OB nOB 13 分 由图形可知二面角A C NC 为钝角 所以二面角A C NC 的余弦值为 5 5 14 分 17 本小题满分 13 分 交通指数是交通拥堵指数的简称 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值 交通指数 取值范围为 0 10 分为五个级别 0 2 畅 通 2 4 基本畅通 4 6 轻度拥堵 6 8 中 度拥堵 8 10 严重拥堵 早高峰时段 从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的 50 个交通路段 依据其交通指 数数据绘制的直方图如右图 这 50 个路段为中度拥堵的有多少个 据此估计 早高峰四环以内的三个路 段至少有一个是严重拥堵的概率是多少 III 某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟 基本畅通为 30 分钟 轻度拥堵为 36 分钟 中度拥堵为 42 分钟 严重拥堵为 60 分钟 求此人所用时间的数学期望 解 0 2 0 16 1 5018 这 50 路段为中度拥堵的有 18 个 3 分 设事件 A 一个路段严重拥堵 则 0 1P A 事件 B 至少一个路段严重拥堵 则 3 1 0 729P BP A 1 0 271P BP B 34 56789 交通指数 频率 0 24 0 2 0 16 0 1 组距 9 所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0 271 8 分 III 分布列如下表 X30364260 P0 10 440 360 1 39 96EX 此人经过该路段所用时间的数学期望是39 96分钟 13 分 18 本小题满分 14 分 已知函数 2 x axxa f x e 函数 f x 在点 0 0 f 的切线与直线2 10 xy 平行 求a的值 当 0 2 x 时 2 1 f x e 恒成立 求a的取值范围 解 2 21 1 x axaxa fx e 2 分 0 1fa 3 分 因为函数 f x 在点 0 0 f 的切线与直线2 10 xy 平行 所以1 2a 3a 5 分 2 21 1 x axaxa fx e 1 1 x axa x e 令 0fx 当 0a 时 1x 在 0 1 上 有 0fx 函数 f x 增 在 1 2 上 有 0fx 函数 f x 减 2 2 0 0 2 ff e 函数 f x 的最小值为 0 结论不成 立 6 分 当 0a 时 12 1 1 1xx a 7 分 若 0a 0 0fa 结论不成立 9 分 若0 1a 则 1 10 a 在 0 1 上 有 0fx 函数 f x 增 10 在 1 2 上 有 0fx 函数 f x 减 只需 2 2 1 0 1 2 f e f e 得到 2 1 1 5 a e a 所以 2 1 1a e 11 分 若 1a 1 011 a 函数在 1 1x a 有极小值 只需 2 2 11 1 1 2 f ae f e 得到 1 1 21 1 5 a ae a 因为 1 1 211 1 a ae 所以 1a 13 分 综上所述 2 1 a e 14 分 19 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系 xOy 中 动点P到直线 2l x 的距离是到点 1 0 F 的距离的 2 倍 求动点P的轨迹方程 设直线FP与 中曲线交于点Q 与l交于点A 分别过点P和Q作l的垂线 垂 足为 M N 问 是否存在点P使得 APM 的面积是 AQN 面积的 9 倍 若存在 求出点 P的坐标 若不存在 说明理由 解 设点P的坐标为 x y 由题意知 22 2 1 2xyx 3 分 化简得 22 22xy 所以动点P的轨迹方程为 22 22xy 5 分 设直线FP的方程为 1xty 点 1122 P x yQ xy 因为 AQN APM 所以有 3PMQN 由已知得 3PFQF 11 所以有 12 3yy 1 7 分 由 22 1 22 xty xy 得 22 2 210tyty 0 12 2 2 2 t yy t 2 12 2 1 2 yy t 3 10 分 由 1 2 3 得 12 1 1 1 3 tyy 或 12 1 1 1 3 tyy 所以 存在点P为 0 1 13 分 20 本小题满分 13 分 对于集合M 定义函数 1 1 M xM fx xM 对于两个集合 M N 定义集合 1 MN MNx fxfx 已知 1 2 3 4 5 6A 1 3 9 27 81B 写出 2 A f 与 2 B f 的值 并用列举法写出集合A B 用 Card M 表示有限集合M所含元素的个数 求 Card XACard XB 的 最小值 III 有多少个集合对 P Q 满足 P QAB 且 PAQBAB 解 2 1 A f 2 1 B f 1 分 2 4 5 6 9 27 81AB 2 分 XAx