山东省泰安宁阳实验中学九年级数学《2.4二次函数表示方法》练习题（无答案） 北师大版

用心 爱心 专心1 山东省泰安宁阳实验中学九年级数学山东省泰安宁阳实验中学九年级数学 2 4 2 4 二次函数表示方法二次函数表示方法 北北 师大版师大版 通过上一小节的学习 我们知道 二次函数可以表示成以下两种形式 1 一般式 y a 2 x bx c a 0 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 其中顶点坐标是 h k 除了上述两种表示方法外 它还可以用另一种形式来表示 为了研究另一种表示方式 我们先来研究二次函数y a 2 x bx c a 0 的图象与x轴交点个数 当抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴相交时 其函数值为零 于是有 a 2 x bx c 0 并且方程 的解就是抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴交点的横 坐标 纵坐标为零 于是 不难发现 抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴交点个数与 方程 的解的个数有关 而方程 的解的个数又与方程 的根的判别式 b2 4ac有关 由此可知 抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴交点个数与根的判别式 b2 4ac存在 下列关系 1 当 0 时 抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴有两个交点 反过来 若抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴有两个交点 则 0 也成立 2 当 0 时 抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴有一个交点 抛物线的顶点 反过来 若抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴有一个交点 则 0 也成立 3 当 0 时 抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴没有交点 反过来 若抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴没有交点 则 0 也成立 于是 若抛物线y a 2 x bx c a 0 与x轴有两个交点A x1 0 B x2 0 则 x1 x2是方程a 2 x bx c 0 的两根 所以x1 x2 b a x1x2 c a 即 b a x1 x2 c a x1x2 所以 y a 2 x bx c a 2 bc xx aa a 2 x x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 由上面的推导过程可以得到下面结论 若抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 则其函数关系式可以表示为y a x x1 x x2 a 0 这样 也就得到了表示二次函数的第三种方法 3 交点式 y a x x1 x x2 a 0 其中x1 x2是二次函数图象与x轴交点的横 坐标 今后 在求二次函数的表达式时 我们可以根据题目所提供的条件 选用一般式 顶 点式 交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例 1 已知某二次函数的最大值为 2 图像的顶点在直线y x 1 上 并且图象经过点 3 1 求二次函数的解析式 分析 在解本例时 要充分利用题目中所给出的条件 最大值 顶点位置 从而可 以将二次函数设成顶点式 再由函数图象过定点来求解出系数a 解 二次函数的最大值为 2 而最大值一定是其顶点的纵坐标 顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线y x 1 上 所以 2 x 1 x 1 顶点坐标是 1 2 设该二次函数的解析式为 2 2 1 0 ya xa 二次函数的图像经过点 3 1 用心 爱心 专心2 2 1 32 1a 解得a 2 二次函数解析式为 2 2 2 1yx 即y 2x2 8x 7 说明 在解题时 由最大值确定出顶点的纵坐标 再利用顶点的位置求出顶点坐标 然后设出二次函数的顶点式 最终解决了问题 因此 在解题时 要充分挖掘题目所给的 条件 并巧妙地利用条件简捷地解决问题 例 2 已知二次函数的图象过点 3 0 1 0 且顶点到x轴的距离等于 2 求此 二次函数的表达式 分析一 由于题目所给的条件中 二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的 图象与x轴的交点坐标 于是可以将函数的表达式设成交点式 解法一 二次函数的图象过点 3 0 1 0 可设二次函数为y a x 3 x 1 a 0 展开 得 y a 2 x 2ax 3a 顶点的纵坐标为 22 124 4 4 aa a a 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离 2 4a 2 即a 1 2 所以 二次函数的表达式为y 2 13 22 xx 或y 2 13 22 xx 分析二 由于二次函数的图象过点 3 0 1 0 所以 对称轴为直线x 1 又由顶点到x轴的距离为 2 可知顶点的纵坐标为 2 或 2 于是 又可以将二次函数的 表达式设成顶点式来解 然后再利用图象过点 3 0 或 1 0 就可以求得函数的表 达式 解法二 二次函数的图象过点 3 0 1 0 对称轴为直线x 1 又顶点到x轴的距离为 2 顶点的纵坐标为 2 或 2 于是可设二次函数为y a x 1 2 2 或y a x 1 2 2 由于函数图象过点 1 0 0 a 1 1 2 2 或 0 a 1 1 2 2 a 1 2 或a 1 2 所以 所求的二次函数为y 1 2 x 1 2 2 或y 1 2 x 1 2 2 说明 上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度 利用交 点式和顶点式来解题 在今后的解题过程中 要善于利用条件 选择恰当的方法来解决问 题 例 3 已知二次函数的图象过点 1 22 0 8 2 8 求此二次函数的表达 式 解 设二次函数为 0acbxaxy 2 由函数图象过点 1 22 0 8 2 8 可得 8c2ba4 8c 22cb a 解得 8c 12b 2a 故所求二次函数为y 2x2 12x 8 通过上面的几道例题 同学们能否归纳出 在什么情况下 分别利用函数的一般式 顶点式 交点式来求二次函数的表达式 练习 1 选择题 1 函数y x2 x 1 图象与x轴的交点个数是 用心 爱心 专心3 A 0个 B 1 个 C 2 个 D 无法确定 2 函数y x 1 2 2 的顶点坐标是 1 2 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 2 填空 1 已知二次函数的图象经过与x轴交于点 1 0 和 2 0 则该二次函数的解 析式可设为y a a 0 2 二次函