杭州市西湖区2014-2015学年八年级下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2014年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷 一、仔细选一选（本题有 10个小题，每小题 3分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卡中相应方框内涂黑注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 1下列各式计算正确的是（ ） A =4 B =a C = D（ ） 3=3 2下列四边形： 平行四边形、 矩形、 菱形、 正方形，对角线一定相等的是（ ） A B C D 3下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 4方程 x2+x 1=0 的根是（ ） A 1 B C 1+ D 5已知矩形的面积为 6，则下面给出的四个图象中，能大致呈现矩形相邻边长 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 6一个多边形的每个内角都是 144，这个多边形是（ ） A八边形 B十边形 C十二边形 D十四边形 7关于 x 的方程 bx+c=2 与方程（ x+1）（ x 3） =0 的解相同，则 a b+c=（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 8如图，将平行四边形纸片 叠，使顶点 C 恰好落在 上的点 M 处，折痕为 关于结论： 菱形说法正确的是（ ） 第 2 页（共 23 页） A 都错 B 对 错 C 错 对 D 都对 9已知 5 个正数 a，且 数据： 0， ） A a， a， C a， D ， 10若 t 是一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根，则判别式 =4完全平方式 M=（ 2at+b）2 的关系是（ ） A =M B M C M D大小关系不能确定 二、认真填一填（本题有 6 小题，每小题 4分，共 24 分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 11 + = ； 4 = 12一组数据： 1， 3， 4， 4， x， 5， 5， 8， 10，其平均数是 5，则众数是 13已知 m 是方程 2x 1=0 的根，则 m（ m+2）的值为 14下 列命题： 三个角对应相等的两个三角形全等； 如果 ，那么 a+b=0； 同位角相等，两直线平行； 相等的角是对顶角 其中逆命题是真命题的序号是 15若整数 m 满足条件 =m+1 且 m ，则 m 的值为 16一个 A=90， B=60， ，将它放在直角坐标系中，使斜边 x 轴上，直角顶点 A 在反比例函数 y= 的图象上，则点 B 的坐标为 第 3 页（共 23 页） 三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以 17解方程： （ 1） 3（ x 2） 2=12 （ 2） 2x 6=0 18已知关于 x 的一元二次方程 2k+1） x+k+1=0（ k0） （ 1）求证：无论 k 取何值，方程总有两个不相等实数根； （ 2）当 k 1 时，判断方程两根是否都在 2 与 0 之间 19八 （ 3）班为了组队参加学校举行的 “五水共治 ”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，对两组学生进行四次 “五水共治 ”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如下统计图 根据统计图，解答下列问题： （ 1）请计算第三次模拟竞赛成绩的优秀率是多少？并将条形统计图与折线统计图补充完整； （ 2）已求得甲组四次成绩优秀的平均人数为 7，甲组四次成绩优秀人数的方差为 通过计算乙组的相关数据，判断哪一组成绩优秀的人数较稳定？ 20如图 1 是 一张等腰直角三角形纸， C=40斜边上的高 等分，然后裁出 3 张宽度相等的长方形纸条 （ 1）分别求出 3 张长方形纸条的长度； （ 2）若用这些纸条为一幅正方形美术品镶边（纸条不重叠），如图 2，正方形美术品的面积最大不能超过多少 第 4 页（共 23 页） 21在平面直角坐标系 ， O 是坐标原点；一次函数 y=kx+b（ k0）图象与反比例函数y= 的图象交于 A（ a， 2a 1）、 B（ 3a， a） （ 1）求一次函数与反比例函数的表达式； （ 2）求 面积 22如图，矩形 ， ， 0， E， F 分别是 的点，且 F=2，连结 P 是线段 的点，过点 P 作 点 H，设 AP=x （ 1）请判断四边形 形状并证明； （ 2）用含 x 的代数式表示 长； （ 3）请连结 当 x 为何值时 E 成立？ 23如图 1，点 O 为正方形 中心 （ 1）将线段 点 O 逆时针方向旋转 90，点 E 的对应点为点 F，连结 依题意补全图 1（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）根据图 1 中补全的图形，猜想并证明 关系； （ 3）如图 2，点 G 是 点， 等腰直角三角形， H 是 中点， 0， ， G 点逆时针方向旋转 角度，请直接写出旋转过程中 最大值 第 5 页（共 23 页） 第 6 页（共 23 页） 2014年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有 10个小题，每小题 3分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卡中相应方框内涂黑注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 1下列各式计算正确的是（ ） A =4 B =a C = D（ ） 3=3 【考点】 二次根式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 根据算术平方根的定义对 A 进行判断；根据二次根式的性质对 B、 D 进行判断；根据二次根式的加减法对 C 进行判断 【解答】 解： A、原式 =4，所以 A 选项错误； B、原式 =|a|，所以 B 选项错误； C、原式 =2 = ，所以 C 选项错误； D、原式 =3，所以 D 选项正确 故选 D 【点评】 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 2下列四边形： 平行四边形、 矩形、 菱形、 正方形，对角线一定相等的是（ ） A B C D 【考点】 正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质 【分析】 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对各小题分析判断后即可得解 【解答】 解： 平行四边形的对角线不一定相等， 矩形的对角线一定相等， 第 7 页（共 23 页） 菱形的对角线不一定相等， 正方形的对角线一定相等， 所以，对角线一定相等的是 故选 C 【点评】 本题考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的对角线的性质，熟记各性质是解题的关键 3下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知： A：是轴对称图形，而不是中心对称图形； B、 C：两者都不是； D：既是中心对称图形，又是轴对称图形 故选 D 【点评】 掌握中心对称图 形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的部分可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180后会与原图重合 4方程 x2+x 1=0 的根是（ ） A 1 B C 1+ D 【考点】 解一元二次方程 【分析】 观察原方程，可用公式法 求解 【解答】 解： a=1， b=1， c= 1， 4+4=5 0， x= ； 故选 D 第 8 页（共 23 页） 【点评】 本题考查了一元二次方程的解法正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键 5已知矩形的面积为 6，则下面给出的四个图象中，能大致呈现矩形相邻边长 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 【考点】 反比例函数的应用；反比例函数的图象 【分析】 根据题意有： ，故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x、 y 实际意义 x、 ；即可得出答案 【解答】 解： ， y= （ x 0， y 0） 故选： A 【点评】 本题主要考查反比例函数的实际应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限 6一个多边形 的每个内角都是 144，这个多边形是（ ） A八边形 B十边形 C十二边形 D十四边形 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是（ 180 144）=36，然后根据 n 边的外角和为 360即可得到其边数 【解答】 解： 一个多边形的每个内角都是 144， 这个多边形的每个外角都是（ 180 144） =36， 这个多边形的边数 360 36=10 故选 B 【点评】 本题考查了多边形的内角和和外角和定理： n 边形的内角和为（ n 2） 180； n 边的外角和为 360 7关于 x 的方程 bx+c=2 与方程（ x+1）（ x 3） =0 的解相同，则 a b+c=（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 第 9 页（共 23 页） 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 首先利用因式分解法求出方程（ x+1）（ x 3） =0 的解，再把 x 的值代入方程 bx+c=2即可求出 a b+c 的值 【解答】 解： 方程（ x+1）（ x 3） =0， 此方程的解为 1， ， 关于 x 的方程 bx+c=2 与方程（ x+1）（ x 3） =0 的解相同， 把 1 代 入方程得： a b+c=2， 故选 D 【点评】 本题主要考查了一元二次方程的知识，解答本题的关键是求出方程（ x+1）（ x 3） =0 的两根，此题难度不大 8如图，将平行四边形纸片 叠，使顶点 C 恰好落在 上的点 M 处，折痕为 关于结论： 菱形说法正确的是（ ） A 都错 B 对 错 C 错 对 D 都对 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 根据题意，推出 C= A= 可推出结论 ，由 A 推出四边形 菱形，因此推出 【解答】 解： 平行四边形 A= C= 正确； 四边形 平行四边形， N， 四边形 菱形，故 正确； 故选 D 第 10 页（共 23 页） 【点评】 本题主要考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形 菱形 9已知 5 个正数 a，且 数据： 0， ） A a， a， C a， D ， 【考点】 中位数；算术平均数 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可 【解答】 解 ：由平均数定义可知： （ a1+a2+a4+= 5a= a； 将这组数据按从小到大排列为 0， 于有偶数个数，取最中间两个数的平均数 其中位数为 故选 D 【点评】 本题考查了平均数和中位数的定义平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个 数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数 10若 t 是一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根，则判别式 =4完全平方式 M=（ 2at+b）2 的关系是（ ） A =M B M C M D大小关系不能确定 【考点】 根的判别式；完全平方式 ；一元二次方程的解 【分析】 把 t 代入原方程得到 bt+c=0 两边同乘以 4a，移项，再两边同加上 得到了（ 2at+b）2=4 【解答】 解： t 是一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根 则有 bt+c=0 4 第 11 页（共 23 页） 4 44 22+4b2=4 2at+b） 2=4 故选 A 【点评】 本题主要应用了对方程转化，配方的方法，向已知条件进行转化的思想 二、认真填一填（本题有 6 小题，每小题 4分，共 24 分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 11 + = 5 ； 4 = 2 2 【考点】 二次根式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 先把各二次根式化为最简二次根式，得到 + = +2 2 ，然后进行二次根式的乘法运算后合并 即可；根据二次根式的性质化简 4 即可 【解答】 解： + = +2 2 = +4 =5 ； 4 =2 2 故答案为 5 ， 2 2 【点评】 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 12一组数据： 1， 3， 4， 4， x， 5， 5， 8， 10，其平均数是 5，则众数是 5 【考点】 众数；算术平均数 【分析】 根据平均数为 5 求出 x 的值，再由众数的定义可得出答案 【解答】 解：由题意得， （ 1+3+4+4+x+5+5+8+10） =5， 解得： x=5， 这组数据中 5 出现的次数最多，则这组数据的众数为 5 故答案为： 5 第 12 页（共 23 页） 【点评】 本题考查了众数及平均数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义 13已知 m 是方程 2x 1=0 的根，则 m（ m+2）的值为 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 根据 m 是方程 2x 1=0 的根，即可得到 m= ，于是得到答案 【解答】 解： m 是方程 2x 1=0 的根， m= ， m（ m+2） =m= ， 故答案为 【点评】 本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出 m= ，此题难度不大 14下列命题： 三个角对应相等的两个三角形全等； 如果 ，那么 a+b=0； 同位角相等，两直线平行； 相等的角是对顶角 其中逆命题是真命题的序号是 【考点】 命题与定理 【分析】 利用全等三角形的判定、实数的性质、平行线的定义及对顶角的定义分别判断后即可确定正确的答案 【解答】 解： 三个角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故错误，是假命题； 如果 ，那么 a+b=0，错误，如 a=0， b=1 时，是假命题； 同位角相等，两直线平行，正确，是真命题； 相等的角是对顶角，错误，是假命题， 故答案为 【点评】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是 能够了解全等三角形的判定、实数的性质、平行线的定义及对顶角的定义，难度不大 第 13 页（共 23 页） 15若整数 m 满足条件 =m+1 且 m ，则 m 的值为 1， 0， 1， 2 【考点】 二次根式的性质与化简；估算无理数的大小 【分析】 根据二次根式的性质可得 m+10，再根据 m ，即可解答 【解答】 解： =m+1， m+10， m 1， m ， m= 1， 0， 1， 2 故答案为： 1， 0， 1， 2 【点评】 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质 16一个 A=90， B=60， ，将它放在直角坐标系中，使斜边 x 轴上，直角顶点 A 在反比例函数 y= 的图象上，则点 B 的坐标为 （ 3， 0） 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 设出 B 点坐标（ a， 0），借助 的边角关系，用 a 表示出 A 点坐标，将 A 点坐标再代入反比例函数关系式，即能求出 a 值，从而得解 【解答】 解：过点 A 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 D 点，图形如下， A=90， B=60， ， BB=2 =1， BB=2 = ， 设点 B 的坐标为（ a， 0），则点 A 坐标为（ a 1， ）， 又 直角顶点 A 在反比例函数 y= 的图象上， 第 14 页（共 23 页） 有 = ，解得 a=3， 点 B 的坐标为（ 3， 0） 故答案为：（ 3， 0） 【点评】 本题考查了反比例函数的图象以及三角函数，解题的关键是设出 B 点坐标（ a， 0），借助的边角关系，用 a 表示出 A 点坐标 三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以 17解方程： （ 1） 3（ x 2） 2=12 （ 2） 2x 6=0 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）系数化成 1，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （ 2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方 程的解即可 【解答】 解：（ 1） 3（ x 2） 2=12， （ x 2） 2=4， x 2=2， ， ； （ 2） 2x 6=0， （ 2x+3）（ x 2） =0， 2x+3=0， x 2=0， ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键 18已知关于 x 的一元二次方程 2k+1） x+k+1=0（ k0） （ 1）求证：无论 k 取何值，方程总有两个不相等实数根； （ 2）当 k 1 时，判断方程两根是否都在 2 与 0 之间 【考点】 根的判别式 第 15 页（共 23 页） 【分析】 （ 1）计算判别式得到 =（ 2k+1） 2 4k（ k+1） =1 0，则可根据判别式的意义得到结论； （ 2）利用因式分解法求出方程的两个根 1， k 1，根据 k 1 得出 k 1 2，进而得到结论 【解答】 （ 1）证明： a=k， b=2k+1， c=k+1， =4 2k+1） 2 4k（ k+1） =4k+1 44k=1 0， 无论 k（ k0）取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （ 2）解： 2k+1） x+k+1=0， （ x+1）（ kx+k+1） =0， 1， k 1， k 1， k 1， k 1 2， 当 k 1 时，方程的两根不都在 2 与 0 之间 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了因式分解法解一元二次方程 19八（ 3）班为了组队参加学校举行的 “五水共治 ”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相 同的甲、乙两组，对两组学生进行四次 “五水共治 ”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如下统计图 根据统计图，解答下列问题： 第 16 页（共 23 页） （ 1）请计算第三次模拟竞赛成绩的优秀率是多少？并将条形统计图与折线统计图补充完整； （ 2）已求得甲组四次成绩优秀的平均人数为 7，甲组四次成绩优秀人数的方差为 通过计算乙组的相关数据，判断哪一组成绩优秀的人数较稳定？ 【考点】 折线统计图；条形统计图；方差 【分析】 （ 1）由第一次成绩的优秀人数为 5+6=11，优秀率为 55%求得总人数，再用第三次成绩的优秀人数除以总人数得到第三次成绩的优秀率，进而将条形统计图补充完整； （ 2）先根据方差的定义求得乙组的方差，再根据方差越小成绩越稳定，进行判断 【解答】 解：（ 1）总人数：（ 5+6） 55%=20（人）， 第三次的优秀率：（ 8+5） 20100%=65%， 第四次乙组的优秀人数为： 2085% 8=17 8=9（人） 补全条形统计图，如图所示： （ 2） =（ 6+8+5+9） 4=7， 组 = （ 6 7） 2+（ 8 7） 2+（ 5 7） 2+（ 9 7） 2= 组 组 ，所以甲组成绩优秀的人数较稳定 【点评】 本题考查了条形统计图、折线统计图的意义和方差的概念，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性 越大，反之也成立 第 17 页（共 23 页） 20如图 1 是一张等腰直角三角形纸， C=40斜边上的高 等分，然后裁出 3 张宽度相等的长方形纸条 （ 1）分别求出 3 张长方形纸条的长度； （ 2）若用这些纸条为一幅正方形美术品镶边（纸条不重叠），如图 2，正方形美术品的面积最大不能超过多少 【考点】 相似三角形的应用；二次函数的应用 【分析】 （ 1）利用相似三角形的性质求出每个纸条的长； （ 2）将（ 1）中相关数据相加，易得纸片的宽度，从而计算出正方形的边长 ，从而计算面积即可 【解答】 解：（ 1）如图 1， 等腰直角三角形， C=40斜边 的高， 0 斜边上的中线， 0 于是纸条的宽度为： =5 （ = ， 0 同理， 0 0 3 张长方形纸条的长度分别为： 10 20 30 （ 2）由（ 1）知， 3 张长方形纸条的总长度为 60 如图 2，图画的正方形的边长为： 5 =10 （ 面积为（ 10 ） 2=200（ 答：如图（ b） 正方形美术作品的面积最大不能超过 200 第 18 页（共 23 页） 【点评】 此题考查了相似三角形的应用，不仅要计算出纸条的长度，还要计算出宽度，要仔细观察图形，寻找隐含条件 21在平面直角坐标系 ， O 是坐标原点；一次函数 y=kx+b（ k0）图象与反比例函数y= 的图象交于 A（ a， 2a 1）、 B（ 3a， a） （ 1）求一次函数与反比例函数的表达式； （ 2）求 面积 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）根据反比例函数系数 k=出 a（ 2a 1） =3aa，解得 a= 1，求得 A、 B 的坐标，即可确定出反比例函数解析式；将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式； （ 2）设 y= x 4 与 x 轴交点为 C，对于一次函数解析式，令 x=0 求出 y 的值，确定出 C 坐标，得到 长，然后根据 S S 【解答】 解：（ 1） A（ a， 2a 1）、 B（ 3a， a）在反比例函数 图象 G 上， a（ 2a 1） =3aa， m0， a= 1， m=3， A（ 1， 3）、 B（ 3， 1） 第 19 页（共 23 页） 所求反比例函数解析式为： ； 将 A（ 1， 3）、 B（ 3， 1）代入 y=kx+b（ k0）， 所求直线解析式为： y= x 4； （ 2）设 y= x 4 与 x 轴交点为 C 令 y=0， C（ 4， 0） S S = =4 【点评】 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 22如图，矩形 ， ， 0， E， F 分别是 的点，且 F=2，连结 P 是线段 的点，过点 P 作 点 H，设 AP=x （ 1）请判断四边形 形状并证明； （ 2）用含 x 的代数式表示 长； （ 3）请连结 当 x 为何值时 E 成立？ 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）根据直角三角形的性质和勾股定理求出 长，根据菱形的判定定理证明即可；