数学必修3《概率》导学学案§3.3.1几何概型(1)

金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 必修 3学案学案 3 3 13 3 1 几何概型几何概型 1 1 姓名 学习目标学习目标 1 了解几何概型的概念及基本特点 2 掌握几何概型中概率的计算公式 3 会进行简单的几何概率计算 知识情境 知识情境 1 基本事件基本事件的概念 一个事件如果 事件 就称作基本事基本事 件件 基本事件的两个特点两个特点 10 任何两个基本事件是 的 20 任何一个事件 除不可能事件 都可以 2 古典概型的定义 古典概型有两个特征 定义 古典概型有两个特征 10 试验中所有可能出现的基本事件 20 各基本事件的出现是 即它们发生的概率相同 具有这两个特征的概率称为古典概率模型具有这两个特征的概率称为古典概率模型 简称古典概型古典概型 3 古典概型的概率公式概率公式 设一试验有 n 个等可能的基本事件 而事件 A 恰包含其中的 m 个 基本事件 则事件事件 A 的概率的概率 P A 定义定义为 P A 问题情境 问题情境 试验 取一根长度为的绳子 拉直后在任意位置剪断 3m 试验 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金 色 奥运会的比赛靶面直径为 靶心直径为 运动员在外射箭 122cm12 2cm70m 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的 问题问题 对于试验 剪得两段的长都不小于两段的长都不小于的概率有多大 的概率有多大 1m 试验 射中黄心的概率为多少 射中黄心的概率为多少 3 分析分析 试验 中 从每一位置剪断都是一个基本事件 剪断位置可以是长度为的绳上的任意一3m 点 试验 2 中 射中靶面上每一点都是一个基本事件 点可以是靶面直径为的圆内的任一122cm 点 在这两个问题中 虽然类似于古典概型的 等可能性等可能性 但是基本事件有无限多个 显然不能用古典概型的方法求解 那么 怎么求解怎么求解 考虑第一个问题 记事件 剪得两段的长都不小于 A 1m 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件发生 由于中间一段的长度等于绳长的 A 于是事件发生的概率 A P A 第二个问题 记事件 射中黄心 为 B 由于中靶心随机地落在面积为的大圆内 22 1 122 4 cm 而当中靶点落在面积为的黄心内时 事件发生 22 1 12 2 4 cm B 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 于是事件发生的概率 B P B 新知生成 新知生成 1 几何概型的概念几何概型的概念 对于一个随机试验 我们将每个基本事件基本事件理解为从某个特定的几何 区区 域内随机地取一点域内随机地取一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个随机事件的随机事件的 发发 生生则理解为恰好取到取到上述区域内的某个指定区域中的点某个指定区域中的点 这里的区域可以是线 段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理随机试验 称为几何概型几何概型 2 几何概型的基本特点 几何概型的基本特点 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 每个基本事件出现的可能性相等 3 几何概型的概率公式 几何概型的概率公式 在区域中随机地取一点 记事件 该点落在其内部一个DA 区 域内 则事件发生的概率dA d P A D 的测度 的测度 A构成事件的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 说明 的测度不为 D0 其中 测度 的意义依确定 当分别是线段 平面图形 立体图形时 DD 相应的 测度 分别是长度 面积和体积 区域内随机取点是指 该点落在区域内任何一处都是等可能的 落在任D 何 部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关 例题学习 例题学习 例例 1判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型 还是几何概型 1 抛掷两颗骰子 求出现两个 4 点 的概率 2 如课本 P135 图中的 2 所示 图中有一个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向 B 区域 时 甲获胜 否则乙获胜 求甲获胜的概率 例例 2 某人欲从某车站乘车出差 已知该站发往各站的客车均每小时一班 求此人等车时间不多于 10 分钟的概率 例例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油 假设在海域中任意一点钻探 钻到油层面的概率是多少 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 例例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子 从中随机取出 10 毫升 则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少 参考答案参考答案 1 1 随机事件的随机事件的概念 1 必然事件必然事件 每一次试验都一定出现的事件 叫必然必然事件事件 2 不可能事件不可能事件 任何一次试验都不可能出现的事件 叫不可能不可能事件事件 3 随机事件随机事件 随机试验的每一结果或随机现象的每一种表现叫的的随机随机事件事件 简称为事件 2 基本事件基本事件的概念 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件 就称作基本事基本事 件件 基本事件的两个特点两个特点 10 任何两个基本事件是互斥的 20 任何一个事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 古典概型有两个特征 古典概型有两个特征 10 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 20 各基本事件的出现是等可能的 即它们发生的概率相同 P A 总的基本事件个数 包含的基本事件数A 考虑第一个问题 记 剪得两段的长都不小于 为事件 把绳子三等分 于是当1mA 剪 断位置处在中间一段上时 事件发生 由于中间一段的长度等于绳长的A 1 3 于是事件发生的概率 A 1 3 P A 第二个问题 记 射中黄心 为事件 因中靶心随机地落在面积为的大圆B 22 1 122 4 cm 内 而当中靶点落在面积为的黄心内时 事件发生 22 1 12 2 4 cm B 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 4 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 于是事件发生的概率 B 2 2 1 12 2 4 0 01 1 122 4 P B 例例 1 分析 分析 本题考查的几何概型与古典概型的特点 古典概型具有有限性和等可能性 而几何 概型则是在试 验中出现无限多个结果 且与事件的区域长度有关 解 解 1 抛掷两颗骰子 出现的可能结果有 6 6 36 种 且它们都是等可能的 因此属于 古典概型 2 游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果 而且不难发现 指针落在阴影部分 概率可以用阴 影部分的面积与总面积的比来衡量 即与区域长度有关 因此属于几何概型 例例 2 分析 分析 假设他在 0 60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的 但在 0 到 60 分钟之 间有无穷多个时刻 不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率 可以通过几何概型的求 概率公式得到事件发生的概率 因为客车每小时一班 他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到 站等车是等可能的 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 而与该 时间段的位置无关 这符合几何概型的条件 解解 设 A 等待的时间不多于 10 分钟 我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 50 60 这一时间段内 因此由几何概型的概率公式 得 P A 即此人等车时 60 5060 6 1 间不多于 10 分钟的概率为 6 1 小结 小结 在本例中 到站等车的时刻 X 是随机的 可以是 0 到 60 之间的任何一刻 并且是等 可能的 我们称 X 服从 0 60 上的均匀分布 X 为 0 60 上的均匀随机数 例例 3 分析 分析 石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的 而 40 平方千米可看作 构成事件的区域面积 由几何概型公式可以求得概率 解 解 记 钻到油层面 为事件 A 则 P A 0 004 所有海域的大陆架面积 储藏石油的大陆架面积 10000 40 答 答 钻到油层面的概率是 0 004 例例 4 分析