【步步高】2014届高三数学大一轮复习 4.9 解三角形应用举例课时检测 理 苏教版

1 4 94 9 解三角形应用举例解三角形应用举例 一 填空题 1 海上有三个小岛 其中两个小岛 A B 相距 10 海里 从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60 视角 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75 视角 则 B C 间距离是 解析 180 60 75 45 根据正弦定理 ACB sin60 5 6 sin45 AB BC 答案 海里5 6 2 从 A 处望 B 处的仰角为从 B 处望 A 处的俯角为则 的关系为 解析 根据仰角和俯角的定义可知 答案 3 江岸边有一炮台高 30 m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水面上 由炮台顶部测 得俯角分别为 45 和 60 而且两条船与炮台底部连线成 30 角 则两条船相距 m 解析 如图 OM AOtan 45 30 m ON AOtan 30 30 10 m 3 33 由余弦定理得 MN 900 300 2 30 10 3 3 2 10 m 3003 答案 10 3 4 某人向正东方向走x km 后 他向右转 150 然后朝新方向走 3 km 结果他离出发点 恰好 km 那么x的值为 3 解析 如图 在 ABC中 AB x BC 3 AC ABC 30 由余弦定理得 2 32 x2 2 3x cos 30 33 即x2 3x 6 0 解得x1 x2 2 经检测均合题意 333 答案 或 2 33 5 如图所示 为了测量河对岸A B两点间的距离 在这一岸定一基线CD 现已测出 CD a和 ACD 60 BCD 30 BDC 105 ADC 60 则AB的长为 2 解析 在 ACD中 已知CD a ACD 60 ADC 60 所以AC a 在 BCD中 由正弦定理可得BC a asin 105 sin 45 3 1 2 在 ABC中 已经求得AC和BC 又因为 ACB 30 所以利用余弦定理可以求得A B两点之间的距离为 AB a AC2 BC2 2AC BC cos 30 2 2 答案 a 2 2 6 在 ABC中 D为边BC上一点 BD CD ADB 120 AD 2 若 ADC的面积为 1 2 3 则 BAC 3 解析 由A作垂线AH BC于H 因为S ADC DA DC sin 60 2 DC 3 1 2 1 2 3 23 所以DC 2 1 又因为AH BC ADH 60 3 所以DH ADcos 60 1 HC 2 1 DH 2 3 33 又BD CD BD 1 BH BD DH 又AH ADsin 60 1 2333 所以在 Rt ABH中AH BH BAH 45 又在 Rt AHC中 tan HAC 2 HC AH 2 3 3 33 所以 HAC 15 又 BAC BAH CAH 60 故所求角为 60 答案 60 7 如图 为测得河对岸塔AB的高 先在河岸上选一点C 使C在塔底B的正东方向上 测得点A的仰角为 60 再由点C沿北偏东 15 方向走 10 米到位置D 测得 BDC 45 则塔AB的高是 米 3 解析 在 BCD中 CD 10 米 BDC 45 BCD 15 90 105 DBC 30 BC 10 米 在 Rt ABC中 tan BC sin 45 CD sin 30 CDsin 45 sin 30 2 60 AB BCtan 60 10 米 AB BC6 答案 10 6 8 据新华社报道 强台风 珍珠 在广东饶平登陆 台风中心最大风力达到 12 级以上 大风降雨给灾区带来严重的灾害 不少大树被大风折断 某路边一树干被台风吹断后 折 成与地面成 45 角 树干也倾斜为与地面成 75 角 树干底部与树尖着地处相距 20 米 则折断点与树干底部的距离是 米 解析 如图所示 设树干底部为O 树尖着地处为B 折断点为A 则 ABO 45 AOB 75 OAB 60 由正弦定理知 AO sin 45 20 sin 60 AO 米 20 6 3 答案 20 6 3 9 如图 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内 若飞机的高度为海拔 18 km 速度为 1 000 km h 飞行员先看到山顶的俯角为 30 经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75 则 山顶的海拔高度为 精确到 0 1 km 解析 AB 1 000 1 000 m 1 60 50 000 3 BC sin 30 m AB sin 45 50 000 3 2 航线离山顶h sin 75 11 4 km 50 000 3 2 山高为 18 11 4 6 6 km 答案 6 6 km 10 如图 在日本地震灾区的搜救现场 一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m 到达B处 4 发现一个生命迹象 然后向右转 105 进行 10 m 到达C处发现另一生命迹象 这时它向 右转 135 后继续前行回到出发点 那么x 解析 由题知 CBA 75 BCA 45 BAC 180 75 45 60 x sin 45 10 sin 60 x m 10 6 3 答案 m 10 6 3 11 如图 一船在海上自西向东航行 在A处测得某岛M的方位角为北偏东 角 前进m 海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东 角 已知该岛周围n海里范围内 包括边界 有 暗礁 现该船继续东行 当 与 满足条件 时 该船没有触礁危 险 I 解析 由题可知 在 ABM中 根据正弦定理得 解得BM 要使该船 BM sin 90 m sin mcos sin 没有触礁危险需满足BMsin 90 n 所以当 mcos cos sin 与 的关系满足mcos cos nsin 时 该船没有触礁危险 答案 mcos cos nsin 12 某人坐在火车上看风景 他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成 30 角的直线上 1 分钟后 他看这宝塔在与火车前进方向成 45 角的直线上 设火车的速度是 100 km h 则宝塔到铁路线的垂直距离等于 km 解析 如图 BCA 45 30 15 AB km AC 100 60 5 3 AB sin BCA sin ABC 1 km 5 33 5 所以宝塔到铁路线的垂直距离 AC sin 30 1 km 5 63 答案 1 5 63 13 知等腰三角形腰上的中线长为 则该三角形的面积的最大值是 3 解析 如图 设AB AC 2x 则在 ABD中 由余弦定理 得 3 x2 4x2 4x2cos A 所以 cos A 5x2 3 4x2 所以 sin A 1 cos2A 9x4 30 x2 9 4x2 所以S ABC 2x 2sin A 1 2 1 2 9x4 30 x2 9 故当x2 时 5 3 S ABC max 2 1 2 9 5 3 2 30 5 3 9 1 2 16 答案 2 二 解答题 14 如图 一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内 已知飞机的高度为海拔 10 千米 速度为 180 千米 小时 飞行员先看到山顶的俯角为 30 经过 2 分钟后又看到山顶的俯角为 75 求山顶的海拔高度 解析 在 ABP 中 30 45 30BAP 75APB 2 1806 60 AB 根据正弦定理 sinsin ABBP APBBAP 6 3 2 sin45sin30 BP BP sin75sin 45 30 BP 3 2 33 3 2 6 所以 山顶 P 的海拔高度为千米 33 3173 3 10 22 h 15 如图 渔船甲位于岛屿A的南偏西 60 方向的B处 且与岛屿A相距 12 海里 渔船 乙以 10 海里 小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏 东 的方向追赶渔船乙 刚好用 2 小时追上 此时到达C处 1 求渔船甲的速度 2 求 sin 的值 解析 1 依题意知 BAC 120 AB 12 海里 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos 120 784 解得BC 28 海里 所以渔船甲的速度为 14 海里 时 BC 2 2 在 ABC中 因为AB 12 海里 BAC 120 BC 28 海里 BCA 由正弦 定理 得 AB sin BC sin 120 即 sin ABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 16 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船 位于港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 时的航行速度 沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 时的航行速度匀速行驶 经过t小 时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 时 试设计航行方案 即确定航行方向和航 行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 思路分析 第 1 问建立航行距离与时间的函数关系式 第 2 问建立速度与时间的函数关 系式 解析 1 设相遇时小艇航行的距离为S海里 则 7 S 900t2 400 2 30t 20 cos 90 30 900t2 600t 400 900 t 1 3 2 300 故当t 时 Smin 10 海里 1 33 此时v 30 海里 时 10 3 1 33 即 小艇以 30海里 时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 3 2 设小艇与轮船在B处相遇 则v2t2 400 900t2 2 20 30t cos 90 30 故v2 900 0 v 30 900 900 即 0 600 t 400 t2 600 t 400 t2 2 t2 3 t 解得t 2 3 又t 时 v 30 海里 时 2 3 故v 30 海里 时时 t取得最小值 且最小值等于 2 3 此时 在 OAB中 有OA OB AB 20 海里 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东 30 航行速度为 30 海里 时 小艇能以最短时间与轮船相遇 点评 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式 利用函数的有关知识解 决问题 充分体现了函数与方程思想的重要性 17 如图 当甲船位于A处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的B处有一艘渔船遇险等待 营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里C处的乙船 接到信号后乙船朝北偏东 方向沿直线前往B处救援 问 的正弦值为多少 解析 如题干图 在 ABC中 AB 20 海里 AC 10 海里 BAC 120 由余弦定理知BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 202 102 2 20 10 700 1 2 BC 10海里 7 由正弦定理 AB sin ACB BC sin BAC 8 sin ACB sin BAC AB BC sin 120 20 10 7 21 7 sin sin 30 ACB sin 30 cos ACB cos 30 sin ACB 5 7 14 乙船应沿北偏东 sin 的方向沿直线前往B处救援 5 7 14 18 如图 A B是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观测点 现位于A点北偏 3 东 45 B点北偏西 60 的D点有一艘轮船发出求救信号 位于B点南偏西 60 且与B点 相距 20海里的C点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 海里 小时 该救援船达到 3 D点需要多长时间 解析 由题意知AB 5 3 海里 DBA 90 60 30 3 DAB 90 45 45 所以 ADB 180 45 30 105 在 ADB中 由正弦定理得 DB sin DAB AB sin