2004年高考数学试题(广东)及答案

第 1 页 2004 年全国普通高等学校招生全国统一考试数 学 广东卷 注意事项 1 答卷前 考生务必用 2B 铅笔在 考生号 处填涂考生号 用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的 市 县 区 学校 以及自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷 类型 A 填涂在答题卡相应位置上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求 作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题一 选择题 共 12 小题 每题 5 分 计 60 分 1 已知平面向量 3 1 x 3 且 则 x a b ab A 3 B 1 C 1 D 3 2 已知则 2 1 3 6 AxxBx xx AB A B C D 3 21 2 3 21 3 21 2 31 2 3 设函数在 x 2 处连续 则 a 2 322 2 42 2 x x f xxx ax A B C D 1 2 1 4 1 4 1 3 4 的值为 123212 lim 12311 n nn nnnnn 且且 A 1 B 0 C D 1 1 2 5 函数 f x 是 22 sinsin 44 fxxx 且且且且且且 第 2 页 图 2 C A PA B C 图 1 A P A B D1 C1 B1 C D B A A1 E F A 周期为的偶函数 B 周期为的奇函数 C 周期为 2的偶函数 D 周期为 2的奇函 数 6 一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0 8000 有四台这中型号的自动机床各自独立工作 则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 A 0 1536 B 0 1808C 0 5632D 0 9728 7 在棱长为 1 的正方体上 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 则截去 8 个三棱锥后 剩下的凸多 面体的体积是 A B C D 2 3 7 6 4 5 5 6 8 若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是 2 则 k 22 20 xyk k 且 A 6 B 8 C 1 D 4 9 当时 函数的最小值是 0 4 x 2 2 cos cos sinsin x f x xxx A 4 B C 2 D 1 2 1 4 10 变量 x y 满足下列条件 则使 z 3x 2y 的值最小的 x y 是 212 2936 2324 0 0 xy xy xy xy A 4 5 3 B 3 6 C 9 2 D 6 4 11 若则 tan 4 fxx 且且且且且 A B C D 1f 且且 f 0 f 1 f且0且 f 1 f 1 1f且且 f 0 f 1 f且0且 f 1 f 1 12 如右下图 定圆半径为 b c 则直线 ax by c 0 与直线 x y 1 0 的交点在 A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限 二 填空题二 填空题 共 4 小题 每题 4 分 计 16 分 13 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成 现从中选出 2 人担任正副班长 其中至少有 1 名 女生当选的概率是 用分数作答 14 已知复数 z 与 z 2 2 8i 均是纯虚数 则 z 15 由图 1 有面积关系 则由 2 有体积关系 PA B PAB SPA PB SPA PB 且 P A BC P ABC V V 16 函数的反函数1 10 fxInxx 且且且且且 1 fx 三 解答题三 解答题 共 6 小题 74 分 17 12 分 已知成公比为 2 的等比数列 也成等比数列 求 且且 02 且且且且sin且sin且sin 的值 且且 18 如右下图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 4 AD 3 AA1 2 E F 分别是线段 AB BC 上的点 O y x 第 3 页 且 EB FB 1 1 求二面角 C DE C1的正切值 2 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值 19 12 分 设函数 1 10 fxx x 且且且 1 证明 当 0 a 1 f af b 2 点 P x0 y0 0 x0 1 时 方程 f x 0 在 e m e2 m 内有两个实根 22 14 分 设直线与椭圆相交于 A B 两点 又与双曲线 x2 y2 1 相交于 C D 两点 C D 22 1 2516 xy 三等分线段 AB 求直线的方程 2004 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东数学标准答案广东数学标准答案 一 选择题 题号123456789101112 A 卷BCBAADBCDBAC B 卷CACABDDAABDB 二 填空题 13 14 2i 15 16 7 5 PCPBPA PCPBPA 2 2 Rxee xx 三 解答题 17 解 成公比为 2 的等比数列 2 4 sin sin sin 成等比数列 2 1 cos 1cos 01coscos2 1cos2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2 2 或解得 即 当 cos 1 时 sin 0 与等比数列的首项不为零 故 cos 1 应舍去 3 16 3 8 3 4 3 8 3 4 3 2 3 4 3 2 2 0 2 1 cos 或所以 或时当 18 解 I 以 A 为原点 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正向建立空间直角坐标系 则有 D 0 3 0 1 AAADAB 第 4 页 y y x x o o A AB B C C P P D1 0 3 2 E 3 0 0 F 4 1 0 C1 4 3 2 于是 2 2 4 2 3 1 0 3 3 11 FDECDE 设向量与平面 C1DE 垂直 则有 zyxn 1 001 1011 0 330 1 1 1 2 0 3202222 1 1 2 0 0 2 cos nDExy zzz xyznzz xyz nEC nnC DE AACDEnAACDEC nA 其中 取则是一个与平面垂直的向量 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 1 01 1 0 1 02 262 tan 32 1 14004 A nAA II 设 EC1与 FD1所成角为 则 14 21 22 4 231 2223 4 1 cos 222222 11 11 FDEC FDEC 19 证明 I 1 1 1 1 0 1 1 1 1 x x x x x xf 故 f x 在 0 1 上是减函数 而在 1 上是增函数 由 0 a b 且 f a f b 得 0 a 1 b 和 abbaab baba 222 11 1 11 1 即 故1 1 abab即 II 0 x PA 5680 x 10680 5680 5680 5680 5680 POPyx故即 答 巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心处 m10680 21 I 解 函数 f x x ln x m x m 连续 且 mxxf mx xf 1 0 1 1 得令 当 x m 1 m 时 f x f 1 m 当 x 1 m 时 f x 0 f x 为增函数 f x f 1 m 根据函数极值判别方法 f 1 m 1 m 为极小值 而且对 x m 都有 f x f 1 m 1 m 故当整数 m 1 时 f x 1 m 0 II 证明 由 I 知 当整数 m 1 时 f 1 m 1 m1 时 1121 03 2 12 2 213 11 3 222 归纳法证明上述不等式也可用数学 mm m mm mmmemef mmm 类似地 当整数 m 1 时 函数 f x x ln x m 在 上为连续增函数且 f 1 m 与 1 mem m 异号 由所给定理知 存在唯一的 2 mef m 0 1 22 xfmemx m 使 故当 m 1 时 方程 f x 0 在内有两个实根 2 meme mm 22 解 首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况 设直线 l 的方程为 y kx b 如图所示 l 与椭圆 双曲线的交点为 44332211 yxDyxCyxByxA 第 6 页 依题意有 由CDABDBAC3 2 0 1 2 1 1 2516 50 1 0 40025 2 2516 1 1625 222 22 2 21 222 22 bbkxxk yx bkxy k bk xx bbkxxk yx bkxy 得由 得 若 则与双曲线最多只有一个交点 不合题意 故1 k1 k 2 43 1 2 k bk xx 由 43214213 xxxxxxxxDBAC 13 16 1616 4 10 33 1 2 16 4 5 1 0 000 1 2 2516 50 22 3412 2 4 3 2 2 1 22 bbbxxxxCDAB bxbxki bkbk k bk k bk 即由 得由得由时当 或 故 l 的方程为 13 16 y ii 当 b 0 时 由 1 得 2 4 3 2 2 1 1 1 2 2516 20 k x k x 得由 由 25 16 1 6 2516 40 33 22 3412 k kk xxxxCDAB即由