山东省潍坊市第一中学2020届高三数学下学期3月测试试题

1 山东省潍坊市第一中学山东省潍坊市第一中学 20202020 届高三数学下学期届高三数学下学期 3 3 月测试试题月测试试题 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 i 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 设函数的定义域 a 函数y ln 1 x 的定义域为 b 则 ab 2 4yx a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 1 2 对于 n 个复数z1 z2 zn 如果存在 n 个不全为零的实数k1 k2 kn 使得k1 z1 k2z2 knzn 0 就称z1 z2 zn线性相关 若复数z1 1 2i z3 1 i z3 2 线性相 关 则k1 k2 k3的值可以为 a 2 4 3b 1 3 2 c 1 2 3d 3 4 2 3 已知向量 1 1 4 3 x 2 若 则x的值为a 2ab c b c a 4b 4c 2d 2 4 函数的大致图象为 3 xx x f x ee 5 在平面直角坐标系xoy中 角 与角 均以 ox为始边 它们的终边关于y轴对 称 若 sin 则 cos 1 3 a b 7 9 7 9 2 c d 2 3 2 3 6 下图是某地某月 1日至15日的日平均温度变化的折线图 根据该折线图 下列结论正确的是 a 这 15 天日平均温度的极差为 15 b 连续三天日平均温度的方差最大的是 7 日 8 日 9 日三天 c 由折线图能预测 16 日温度要低于 19 d 由折线图能预测本月温度小于 25 的天数少于温度大于 25 的天数 7 围棋棋盘共 19 行 19 列 361 个格点 每个格点上可能出现黑 白 空三种情况 因此 有 3613种不同的情况 我国北宋学者沈括在他的著作 梦溪笔谈 中也讨论过这个问题 他分析得出一局围棋不同的变化大约有 连书万字五十二 种 即 1000052 下列最接近 的是 注 lg3 0 477 361 52 3 10000 a 10 26 b 10 35 c 10 36 d 10 25 8 已知抛物线y2 2px上不同三点 a b c 的横坐标成等差数列则下列说法正确的是 a a b c 的纵坐标成等差数列 b a b c 到x轴的距离成等差数列 c a b c 到点 o 0 0 的距离成等差数列 3 d a b c 到点的距离成等差数列 0 2 p f 二 多项选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 9 设正实数a b满足a b 1 则 a 有最小值 4b 有最小值 11 ab ab 1 2 c 有最大值 1d a2 b2有最小值ab 1 2 10 已知菱形 abcd 中 bad 60 ac 与 bd 相交于点 o 将 abd 沿 bd 折起 使顶点 a 至点 m 在折起的过程中 下列结论正确的是 a bd cm b 存在一个位置 使 cdm 为等边三角形 c dm 与 bc 不可能垂直 d 直线 dm 与平面 bcd 所成的角的最大值为 60 11 已知双曲线 a 0 b 0 的左 右两个顶点分别是 a1 a2 左 右两个焦点 22 22 1 xy ab 分别是 f1 f2 p 是双曲线上异于 a1 a2的任意一点 给出下列命题 其中是真命题的有 a b 直线 pa1 pa2的斜率之积等于定值 12 2papaa 2 2 b a c 使得 pf1f2为等腰三角形的点 p 有且仅有 8 个 d pf1f2的面积为 2 12 tan 2 b apa 12 函数f x 在 a b 上有定义 若对任意x1 x2 a b 有 则称f x 在 a b 上具有性质 p 设f x 在 1 3 上具有 12 12 1 22 xx ff xf x 性质 p 则下列选项是真命题的是 a f x 在 1 3 上的图像是连续不断的 b f x2 在 1 上具有性质 p3 c 若f x 在x 2 处取得最大值 1 则f x 1 x 1 3 d 对任意x1 x2 x3 x4 1 3 有 1234 1234 1 44 xxxx ff xf xf xf x 4 三 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 如图所示 一名男生扔铅球 铅球上升高度y 单位 m 与水平距离x 单位 m 之间的关 系是 则铅球落地时 铅球速度方向与地面所成的角是 2 125 1233 yxx 14 人的某一特征 如单双眼皮 是由他的一对基因决定的 以 d 表示显性基因 d 表示 隐性基因 则具有 dd 基因的人是显性纯合子表现为双眼皮 具有 dd 基因的人是隐性纯合 子表现为单眼皮 具有 dd 基因的人为杂合子 显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的 某一特征 孩子从父母身上各得一个基因 假定父母都是杂合子 则一对双眼皮夫妇生一个 双眼皮的男孩概率是 15 记 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过 x的最大整数 如 0 90 0 lg99 1 则 b2019b2020 16 已知正方体 abcd a1b1c1d1的棱长为 1 动点 p 在正方体的表面上运动 且与点 a 的距 离为 动点 p 的集合形成一条曲线 这条曲线在平面 cdd1c1 2 3 3 上部分的形状是 整条曲线的周长是 四 解答题 本小题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知等差数列 an 满足a1 a2 4 且a18 a20 12 等比数列 bn 的首项为 2 公 比为 q 1 若 q 3 问b3等于数列 an 中的第几项 2 若 q 2 数列 an 和 bn 的前n项和分别记为 sn和 tn sn的最大值为 m 试比较 m 与 t9的大小 18 12 分 已知在 abc 中 内角 a b c 的对边分别为 a b c sina cosc sina cosc sina sinc 若p q 1 cos2 2 b p q a 1 求角 b 2 若 b 3 求 abc 面积的最大值 5 19 12 分 在四棱锥 s abcd 中 底面 abcd 为长方形 sb 底面 abcd 其中 bs 2 ba 2 bc 的可能取值为 1 4 1 2 3 2 3 2 3 1 求直线 as 与平面 abcd 所成角的正弦值 2 若线段 cd 上能找到点 e 满足 ae se 则 可能的取值有 几种情况 请说明理由 3 在 2 的条件下 当 为所有可能情况的最大值时 线 段 cd 上满足 ae se 的点有两个 分别记为 e1 e2 求二面角 e1 sb e2的大小 第 19 题图 20 12 分 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行 更带动了我国经济的巨大发展 据统 计 在 2018 年这一年内从 a 市到 b 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次 为了 解乘客出行的满意度 现从中随机抽取 100 人次作为样本 得到下表 单位 人次 1 在样本中任取 1 个 求这个出行人恰好不是青年人的概率 ii 在 2018 年从 a 市到 b 市乘坐高铁的所有成年人中 随机选取 2 人次 记其中老年人出 行的人次为 x 以频率作为概率 求 x 的分布列和数学期望 iii 如果甲将要从 a 市出发到 b 市 那么根据表格中的数据 你建议甲是乘坐高铁还是 6 飞机 并说明理由 21 12 分 已知函数f x xlnx 1 求 f x 的单调区间与极值 2 若不等式对任意x 1 3 恒成立 求正实数 的取值 2 3 ln 0 3 2 2 x xxe x 范围 22 12 分 给定椭圆 a b 0 称圆心在原点 o 半径为的圆 22 22 1 xy c ab 22 ab 是椭圆 c 的 卫星圆 若椭圆 c 的离心率为 点在 c 上 2 2 22 i 求椭圆 c 的方程和其 卫星圆 方程 点 p 是椭圆 c 的 卫星圆 上的一个动点 过点 p 作直线l1 l2 使得l1 l2与椭圆 c 都只有一个公共点 且l1 l2分别交其 卫星圆 于点 m n 证明 弦长为定值 mn 7 高三数学试题答案 一 选择题 题号 123456789101112 答案 dabdabcdadabdbccd 二 填空题 13 14 0 37515 916 圆弧 4 5 3 6 三 解答题 17 解析 1 因为等差数列 an 满足a1 a2 4 即 a2 a1 4 所以等差数列 an 的公差 d 4 又a18 a20 12 得a1 17d a1 19d 12 代入可得a1 78 所以an a1 n 1 d 78 n 1 4 4n 82 2 分 当等比数列 bn 的首项为 2 公比为 q 当 q 3 时 bn b1qn 1 2 3n 1 所以b3 b1q2 2 32 18 4 分 所以当 18 4n 82 时 解得n 16 即q 3 时b3等于数列 an 中的第 16 项 5 分 2 等比数列 bn 的首项为 2 若q 2 由可得 6 1 1 t 1 n n aq q 9 10 9 2 1 2 221022 1 2 t 分 又等差数列 an 中代入可得 1 1 2 n n nd sna 9 22 1 4 782802 20 800 2 n n n snnn 分 所以当n 20 时 sn的最大值为 m 800 所以 m t9 10 分 8 18 解析 1 由题意知 222 cossinsinsincosp qcaacb a 1 sin2c sin2a sinasinc 1 sin2b sin2a sin2c sinasinc sin2b 3 分 由正弦定理 a2 c2 ac b2 a2 c2 b2 ac 2accosb 1 cos 2 b 0 b 6 分 2 3 b 2 由余弦定理 b2 a2 c2 2accosb 9 a2 c2 ac 3ac ac 3 当且仅当a c时 ac max 3 10 分 s abc 12 分 133 3 sin 244 acbac 19 解析 解 1 因为 sb 底面 abcd 所以 sab 即为直线 as 与平面 abcd 所成的角 在 rt sba 中 sin sab sin45 2 分 2 2 2 以 b 为坐标原点 以 bc ba bs 的方向分别为x轴 y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 则各点 坐标分别为 b 0 0 0 a 0 2 0 d 2 0 s 0 0 2 4 分 设 所以 0 02 exx 2 2 0 sexeax 6 分 22 2 0 2 seeaxxxx 因为x 0 2 所以在所给的数据中 可以取 2 2 0 1 xx 8 分 3 由 2 知 此时 或 即满足条件的点 e 有两个 3 2 1 2 x 3 2 x 9 根据题意得 其坐标为和 9 分 1 3 1 0 22 e 2 3 3 0 22 e 因为 sb 平面 abcd 所以 sb be1 sb be2 所以 e1be2是二面角 e1 sb e2的平面角 10 分 由 12 12 12 33 3 44 cos 213 be be be be bebe a 由题意得二面角 e1 sb e2为锐角 所以二面角 e1 sb e2的大小为 30 12 分 用向量法也相应得分 20 解 设事件 在样本中任取 1 个 这个出行人恰好不是青年人 为 m 1 分 由表可得 样本中出行的老年人 中年人 青年人人次分别为 19 39 42 2 分 所以在样本中任取 1 个 这个出行人恰好不是青年人的概率 193929 10050 p m 3 分 由题意 x 的所有可能取值为 0 1 2 4 分 因为在 2018 年从 a 市到 b 市乘坐高铁的所有成年人中 随机选取 1 人次 此人为老年人概 率是 5 分 151 755 所以 6 分 02 2 116 0 1 525 p xc 7 分 1 2 118 1 1 5525 p xc 8 分 22 2 11 2 525 p xc 所以随机变量 x 的分布列为 x012 p 16 25 8 25 1 25 9 分 故 10 分 16812 012 2525255 e x 答案不唯一 言之有理即可 10 如可以从满意度的均值来分析问题 参考答案如下 由表可知 乘坐高铁的人满意度均值为 52 10 12 5 11 0116 52 12 1115 乘坐飞机的人满意度均值为 4 10 14 57 022 4 1475 因为 所以建议甲乘坐高铁从 a 市到 b 市 12 分 11622 155 21 解析 1 f x 1 lnx 定义域为 0 f x 0 f x 0 0 x 1 x e 1 e f x 的单减区间为 f x 的单增区间为 1 0 e 1 e 无极大值 4 分 1111 lnf x eeee 极小值 2 2 2 3 ln0 3 2 2 x x e x xx a 222 333 0 ln 222 x xxxxxxx e aa 6 分 2 3 2 x fxxf e 20 3 2 1 2 x xxee 由 1 知f x 在上单增 1 e 2 3 2 x xx e 即 7 分 2 3 ln 2 xxx 2 3 ln 2 xx x 令 则 2 3 ln 2 xx h x x 2 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 x xx x h x x 11 令 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 x k xxx x 则 2 2 2 33339 2223 11 22224 0 33333 3 22222 2 xxxx k x x xxxxxxx x a a k x 在 1 3 上单减 75 1 ln0 52 k 527 3 ln0 32 k k x0 0 且在 1 x0 上 k x 0 h x 0 h x 单增 0 1 3 x 在 x0 3 上 k x 0 h x 0 h x 单减 10 分 min min1 3h xhh 3 27 ln 527 2 1ln 3ln 232 hh h 1 h 3 0 12 分 1