2016年中考数学模拟试题汇编专题39：开放性问题(含答案)

开放性问题 一 题 1.（ 2016河北石家庄一模） 如图，抛物线 y= x+1 与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 x 轴，垂足为点 C（ 3， 0） （ 1）求直线 函数关系式； （ 2）动点 P 在线段 从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作 直线 点 M，交抛物线于点 N设点 P 移动的时间为 t 秒， 长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式， 并写出 t 的取值范围； （ 3）设在（ 2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况），连接 边形 平行四边形？问对于所求的 t 值，平行四边形 否菱形？请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）由题意易求得 A 与 B 的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线 函数关系式； （ 2）由 s=P 可得 s= t+1（ t+1），化简即可求得答案； （ 3）若四边形 平行四边形，则有 C，即可得方程： t= ，解方程即可求得 t 的值，再分别分析 t 取何值时四边形 菱形即可 【解答】 解：（ 1） 当 x=0 时， y=1， A（ 0， 1）， 当 x=3 时， y= 32+ 3+1= B（ 3， 设直线 解析式为 y=kx+b， 则： ， 解得： ， 直线 解析式为 y= x+1； （ 2）根据题意得： s=P t+1（ t+1） = t（ 0t3）； （ 3）若四边形 平行四边形，则有 C，此时，有 t= ， 解得 ， ， 当 t=1 或 2 时，四边形 平行四边形 当 t=1 时， ， ，故 P ， 又在 ， ，故 C，此时四边形 菱形， 当 t=2 时， ， ，故 P ， 又在 ， ，故 C，此时四边形 是菱形 【点评】 此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用 2.（ 2016河北石家庄一模） 如图 1，一副直角三角板满足 C， E， 0 0， 【操作 1】将三 角板 直角顶点 E 放置于三角板 斜边 ，再将三角板 旋转，并使边 边 于点 P，边 边 点 Q 在旋转过程中，如图 2，当 时 ， 足怎样的数量关系？并给出证明 【操作 2】在旋转过程中，如图 3，当 时 足怎样的数量关系？，并说明理由 【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出 当时， 足的数量关系是什么？其中 m 的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明） m 第 2 题 【考点】 相似形综合题 【分析】 （操作 1）连接 据已知条件得到 E 是 中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明 E， C根据等角的余角相等可以证明 可得到全等三角形，从而证明结论； （操作 2）作 M、 N，根据两个角对应相等证明 现 M： 根据等腰直角三角形的性质得 到 E： （总结操作）根据（ 2）中求解的过程，可以直接写出结果 ；要求 m 的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析 【解答】 （操作 1） Q， 证明：连接 据 E 是 中点 和等腰直角三角形的性质，得： E， C=45， 0 在 ， Q； 如图 2， M： E： ： 2， 理由是：作 M， N， 0， M： E： ： 2； 如图 3，过 E 点作 点 M，作 点 N， 在四边形 ， B= 0， 80， 又 80， = ， =m= ， =1： m= ， 足的数量关系式 1： m，即 EQ= 0 m2+ ，（因为当 m 2+ 时， 成不相交） 【点评】 本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似 3.（ 2016河大附中一模） (本题满分 9 分 ) 如图 (1)，线段 ，以线段 直径画 O， C 为 O 上的动点，连接 点 C 的延长线交于点 D， E 为 中点，连接 (1 )求证： 第 2 题 (2) 当 时，四边形 正方形？ 当 时， 等边三角形时？ 答案： 4.（ 2016河大附中一模） （本题满分 10 分）在 ， 锐角，点 D 为射线一动点，连接 线段 点 A 逆时针旋转 90 得到 接 问题发现： (1)如果 C， 0 ，当点 D 在线段 时（不与点 B 重合），如图 1，请你判断线段 间的 位置 关系和 数量 关系（直接写出结论）； 拓展探究： (2)如果 C， 90 ，当点 D 在线段 延长线上时，如图 2， 请判断 中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。 问题解决： (3)如图 3， C， 0。，若点 D 在线段 运动，试探 究：当锐角 段 间的位置关系仍然成立（点 C、 E 重合除外）。此时作 E 于点 F， 2 ，线段 的最大值是 答案： 第 4 题 答案： 5. （ 2016黑龙江大庆一模） （本题 9 分） 在平面直角坐标系中，有三点 A（ 0）， B（ 0，3错误 !未找到引用源。 ）， C（ 3， 0） （ 1）求过点 A、 B、 C 的抛物线的解析式； （ 2）如图 1，在线段 有一动点 P，过 P 点作直线 点 D，求出 （ 3）如图 2，在（ 2）的情况下 ， 在抛物线上是否存在一点 Q，使 面积与 存在 ， 直接写出 Q 点坐标，如不存在 ，请 说明理由 题 图 1 图 2 答案： 解 :（ 1） 所求 的函数解析式过 A（ 0）， B（ 0，3）， C（ 3， 0）， 设所求的函数解析式为： 13y a x x ，当x，3 0 1 0 3 3a ，解得：33a， 所求的函数解析式为 : 3 133y x x 或23 2 3 333y x x 2 分 （ 2） A（ 0）， B（ 0， ）， C（ 3， 0）， ， ， ， 在 ， 3 3 0， 0则 0， 2； 又 P 在线段 ，设 P（ m， 0）， m=3 0， 2 1 32 m； DC=C= 0 3 m = 3 32 m， 32 3 32 m =3322m， 1 1 3 3 1 32 2 2 2 2D PD m m =23 5 3188m ， 积的最大值是538； （ 3）1Q（3 172，3 516），2Q（3 172，51 36），3Q（ 1，433），4Q（ 2，3） 图 2 6. （ 2016黑龙江 齐齐哈尔一模） （本题 8 分） 如图，过点 A（ 0）、 B（ 3， 0） 的 抛物线 y=bx+c 与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 E. （ 1） 求抛物线解析式 ； （ 2） 求抛物线 顶点 D 的坐标 ； （ 3） 若 抛物线 的 对称轴上 存在 点 P 使S ，求 此时 长 . - 1 3A 答案 ： 解： （ 1） y=x+3； （ 2） D（ 1， 4） ； （ 3） 1 或 7. 7.（ 2016黑龙江齐齐哈尔一模） （本题 12 分） 如图， 矩形 顶点 A 在顶点 D 在 B、点 C 在第一象限， 2， 线段 长 分别 是方程2 11 24 0 的两根（ （ 1） 求 点 B 的坐标； （ 2） 求直线 解析式 ； （ 3） 在直线 是否存在点 M，使以点 C、 点 B、 点 M 为顶点的 三角 形 与 似 ？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请 说明理由 答案： （ 1）过点 B 作 x 轴于点 E. 解方程2 11 24 0 得3, 8. B ， . 2, 0. 0 D4 B332=332， B32 B 点的坐标为 （3 3 34,22） （ 2） 设直线 解析式为 y=kx+b(k0). 则043 3 3(4 )22 ，解得33433 直线 解析式为 y=33 错误 !未找到引用源。 （ 3）存在，13 3 3M ( 8 4 3 )22 ，、23 3 3M (16 4 3 )，、 33 3 3 4 3M (8 )2 2 3，、43 3 4 3( 3 )2 3，8. （ 2016湖北襄阳一模） (本题 11 分）如 图，在正方形 ， ， P 是 上任意一点， E 是 长 线上一点，连接 接 F， 于点 G，连接 （ 1）求证： （ 2）判断线段 间的数量关系，并证明你的结论； （ 3）若 2，在直线 是否存在一点 M，使四 边形 平行四边形，若存在，求出 长度，若不存在，说明理由 第 8 题 答案： （ 1）证明：过点 F 作 点 H， 四边形 正方形， 90, 90 90 又 而 90. 45 90 45 45 （ 2） 证明：延长 K，使 G, K M 四边形 正方形 D, 0 G, 而 0 ,F 45 45 G, G ， （ 3）存在 . 如图，在直线 取一 点 M，使四边形 平行四边形， 则 又 P， P 四边形 正方形， D， ， 2=3. 当 ， M=，四边形 平行四边形 9.（ 2016湖北襄阳一模） （本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系中，二次函数22 （ 3， 0）， B（ 1， 0）两点，与 y 轴交于点 C （ 1）求这个二次函数的 解析式； （ 2）点 P 是直线 方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）点 Q 是直线 方的抛物线上一动点，过点 Q 作 直于足为 E是否存在点 Q，使以点 B、 Q、 E 为顶点的三角形与 似？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； 第 9 题 答案： 解 ： （ 1）由抛物线22 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， 则223903432二次函数的关系解析式23432 （ 2）连接 x 轴于 M， y 轴于 N 4 分 设点 P 坐标为（ m， n），则23432 2 23432 2 mm，m， （ 5 分） 当0034032 y 2121212321)(221)23432(321 2 2 8 分 a 0， 当23时，函数2 有最大值 此时 23432 2 )23(34)23(32 2 25 存在点)25,23(P，使 面积最大 （ 3）存在 点 Q，坐标为：),(1 Q，)821,43(2 Q 分 种情况讨论