平行四边形判定定理的简单应用

1 单元评价检测单元评价检测 三三 第十八章第十八章 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题 每小题 4 分 共 28 分 1 下列语句正确的是 A 对角线互相垂直的四边形是菱形 B 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C 矩形的对角线相等 D 平行四边形是轴对称图形 解题指南 由菱形的判定方法得出选项 A 错误 由全等三角形的判定方法得出选项 B 错误 由矩形的性 质得出选项 C 正确 由平行四边形的性质得出选项 D 错误 即可得出结论 解析 选 C 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 故 A 错 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 故 B 错 矩形的对角线相等 故 C 正确 平行四边形是中心对称图形 故 D 错 变式训练 下列命题 平行四边形的对边相等 对角线相等的四边形是矩形 正方形既是轴对称图形 又是中心对称图形 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 C 平行四边形的对边相等 正确 对角线相等的平行四边形是矩形 错误 正方形既是轴对 称图形 又是中心对称图形 正确 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 正确 所以有 3 个真 命题 2 2017 黔东南州模拟 如图 在 ABCD 中 AD 8 点 E F 分别是 BD CD 的中点 则 EF 等于 导学号 42684316 2 A 2B 3C 4D 5 解析 选 C 四边形 ABCD 是平行四边形 BC AD 8 点 E F 分别是 BD CD 的中点 EF BC 8 4 3 2017 衢州中考 如图 矩形纸片 ABCD 中 AB 4 BC 6 将 ABC 沿 AC 折叠 使点 B 落在点 E 处 CE 交 AD 于点 F 则 DF 的长等于 A B C D 解题指南 根据折叠的性质得到 AE AB E B 90 易证 Rt AEF Rt CDF 即可得到结论 EF DF 易 得 FC FA 设 FA x 则 FC x FD 6 x 在 Rt CDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程 x2 42 6 x 2 解方程求出 x 解析 选 B 矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折 使 ABC 落在 AEC 的位置 AE AB E B 90 又 四边形 ABCD 为矩形 AB CD AE DC 而 AFE CFD 在 AEF 与 CDF 中 3 AEF CDF AAS EF DF 四边形 ABCD 为矩形 AD BC 6 CD AB 4 Rt AEF Rt CDF FC FA 设 FA x 则 FC x FD 6 x 在 Rt CDF 中 CF2 CD2 DF2 即 x2 42 6 x 2 解得 x 则 FD 6 x 4 2017 北流市一模 如图 四边形 ABCD 是菱形 A 3 0 B 0 4 则点 C 的坐标为 导学号 42684317 A 5 4 B 5 5 C 4 4 D 4 3 解析 选 A A 3 0 B 0 4 OA 3 OB 4 AB 5 四边形 ABCD 是菱形 BC AD AB 5 点 C 的坐标为 5 4 5 顺次连接矩形 ABCD 各边中点 所得四边形必定是 A 邻边不等的平行四边形 B 矩形 4 C 正方形 D 菱形 解析 选 D 如图 E F G H 为矩形各边的中点 连接 AC BD 根据三角形中位线定理 得 EF AC EF AC HG AC HG AC EH BD EF HG EF HG 四边形 EFGH 为平行四边形 又 AC BD EF EH 四边形 EFGH 为菱形 6 2017 威海模拟 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD 4 E 为 CD 的中点 连接 AE 交 BC 的延长线于 F 点 P 为 BC 上 一点 当 PAE DAE 时 AP 的长为 A 4B C D 5 解析 选 B AD BC DAE F 又 PAE DAE PAE F PA PF E 为 DC 中点 DE CE 又 AED FEC ADE FCE CF AD 4 设 CP x PA PF x 4 BP 4 x 在直角 ABP 中 22 4 x 2 x 4 2 解得 x AP 的长为 变式训练 如图 把矩形 ABCD 沿 EF 翻 5 折 点 B 恰好落在 AD 边的 B 处 若 AE 2 DE 6 EFB 60 则矩形 ABCD 的面积是 A 12 B 24 C 12 D 16 解析 选 D 由两直线平行内错角相等 知 DEF EFB 60 AEF A EF 120 A EB 60 A E AE 2 求得 A B 2 AB 2 矩形 ABCD 的面积为 S 2 8 16 7 如图所示 E F 分别是正方形 ABCD 的边 CD AD 上的点 且 CE DF AE BF 相交于点 O 下列结论 AE BF AE BF AO OE S AOB S四边形 DEOF中 错误的有 导学号 42684318 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解析 选 A 四边形 ABCD 是正方形 CD AD CE DF DE AF 又 AD AB BAF D ADE BAF AE BF S ADE S BAF DEA AFB EAD FBA S AOB S四边形 DEOF ABF AFB DAE DEA 90 AFB EAF 90 AE BF 一定成立 错误的结论是 AO OE 二 填空题 每小题 5 分 共 25 分 6 8 2017 徐州中考 ABC 中 点 D E 分别是 AB AC 的中点 DE 7 则 BC 解析 D E 分别是 ABC 的边 AB 和 AC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE 7 BC 2DE 14 答案 14 9 已知矩形的对角线 AC 与 BD 相交于点 O 若 AO 1 那么 BD 解析 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于点 O AO 1 AO CO BO DO 1 BD 2 答案 2 10 2017 连云港中考 如图 在 ABCD 中 AE BC 于点 E AF CD 于点 F 若 EAF 56 则 B 导学号 42684319 解析 AE BC AF CD AEC AFC 90 在四边形 AECF 中 C 360 EAF AEC AFC 360 56 90 90 124 在 ABCD 中 B 180 C 180 124 56 答案 56 11 2017 乌鲁木齐中考 如图 在菱形 ABCD 中 DAB 60 AB 2 则菱形 ABCD 的面积为 解析 菱形 ABCD AD AB OD OB OA OC DAB 60 ABD 为等边三角形 BD AB 2 OD 1 7 在 Rt AOD 中 根据勾股定理得 AO AC 2 则 S菱形 ABCD AC BD 2 答案 2 12 2017 安顺中考 如图所示 正方形 ABCD 的边长为 6 ABE 是等边三角形 点 E 在正方形 ABCD 内 在 对角线 AC 上有一点 P 使 PD PE 的和最小 则这个最小值为 解析 设 BE 与 AC 交于点 P 连接 BD 点 B 与 D 关于 AC 对称 PD PB PD PE PB PE BE 最小 即 P 在 AC 与 BE 的交点上时 PD PE 最小 为 BE 的长度 正方形 ABCD 的边长为 6 AB 6 又 ABE 是等边三角形 BE AB 6 故所求最小值为 6 答案 6 三 解答题 共 47 分 8 13 10 分 如图 在 ABCD 中 DE AB BF CD 垂足分别为 E F 1 求证 ADE CBF 2 求证 四边形 BFDE 为矩形 证明 1 DE AB BF CD AED CFB 90 四边形 ABCD 为平行四边形 AD BC A C 在 ADE 和 CBF 中 ADE CBF AAS 2 四边形 ABCD 为平行四边形 CD AB CDE DEB 180 DEB 90 CDE 90 CDE DEB BFD 90 则四边形 BFDE 为矩形 14 12 分 2017 鄂州中考 如图 将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折 点 B 落在点 F 处 FC 交 AD 于点 E 导学号 42684320 1 求证 AFE CDE 2 若 AB 4 BC 8 求图中阴影部分的面积 解析 1 四边形 ABCD 是矩形 AB CD B D 90 由折叠 得 AB AF B F AF CD F D 又 AEF DEC AFE CDE 9 2 四边形 ABCD 是矩形 AD BC CAE ACB 由折叠 得 ACB ACE AF AB 4 CF BC 8 CAE ACE AE CE 设 AE x 则 CE x EF 8 x 在 Rt AEF 中 由勾股定理得 AE2 AF2 EF2 42 8 x 2 x2 解得 x 5 即 AE 5 S阴影 AE AB 5 4 10 15 12 分 2017 张家界中考 如图 在平行四边形 ABCD 中 边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E 交 CB 的延 长线于点 F 连接 AF BE 1 求证 AGE BGF 2 试判断四边形 AFBE 的形状 并说明理由 解题指南 1 由平行四边形的性质得出 AD BC 得出 AEG BFG 由 AAS 证明 AGE BGF 即可 2 由全等三角形的性质得出 AE BF 由 AD BC 证出四边形 AFBE 是平行四边形 再根据 EF AB 即可得出 结论 解析 1 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AEG BFG EF 垂直平分 AB AG BG 在 AGE 和 BGF 中 10 AGE BGF AAS 2 四边形 AFBE 是菱形 理由如下 AGE BGF AE BF AD BC 四边形 AFBE 是平行四边形 又 EF AB 四边形 AFBE 是菱形 16 13 分 我们给出如下定义 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形 导学号 42684321 1 如图 1 在四边形 ABCD 中 点 E F G H 分别为边 AB BC CD DA 的中点 求证 中点四边形 EFGH 是平行四 边形 2 如图 2 点 P 是四边形 ABCD 内一点 且满足 PA PB PC PD APB CPD 点 E F G H 分别为边 AB BC CD DA 的中点 猜想中点四边形 EFGH 的形状 并证明你的猜想 3 若改变 2 中的条件 使 APB CPD 90 其他条件不变 直接写出中点四边形 EFGH 的形状 不必证 明 解析 1 如图 1 中 连接 BD 点 E H 分别为边 AB DA 的中点 EH BD EH BD 点 F G 分别为边 BC CD