2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

1 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 数学 文科 数学 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要 求 求 1 2015 年湖北 文 1 5 分 为虚数单位 i 607 i A B C D 1i i1 答案 A 解析 故选 A 6074 1513 iiii 2 2015 年湖北 文 2 5 分 我国古代数学名著 数书九章 有 米谷粒分 题 粮仓开仓收粮 有人送来 米 1534 石 验得米内夹谷 抽样取米一把 数得 254 粒内夹谷 28 粒 则这批米内夹谷约为 A 134 石 B 169 石 C 338 石 D 1365 石 答案 B 解析 依题意 这批米内夹谷约为石 故选 B 28 1534169 254 3 2015 年湖北 文 3 5 分 命题 的否定是 0 0 x 00 ln1xx A B 0 0 x 00 ln1xx 0 0 x 00 ln1xx C D 0 x ln1xx 0 x ln1xx 答案 C 解析 由特称命题的否定为全称命题可知 所求命题的否定为 故选 C 0 x ln1xx 4 2015 年湖北 文 4 5 分 已知变量和满足关系 变量与正相关 下列结论中正确xy0 11yx yz 的 是 A 与负相关 与负相关 B 与正相关 与正相关xyxzxyxz C 与正相关 与负相关 D 与负相关 与正相关xyxzxyxz 答案 A 解析 因为变量和满足关系 其中 所以与成负相关 又因为变量与正相关 xy0 11yx 0 10 xyyz 不妨设 则将代入即可得到 所以 0zkyb k 0 11yx 0 110 1zkxbkxkb 与负相关 综上可知 故选 A xz 5 2015 年湖北 文 5 5 分 表示空间中的两条直线 若 p 是异面直线 q 不相交 则 12 l l 12 l l 12 l l A p 是 q 的充分条件 但不是 q 的必要条件 B p 是 q 的必要条件 但不是 q 的充分条件 C p 是 q 的充分必要条件 D p 既不是 q 的充分条件 也不是 q 的必要条件 答案 A 解析 若 p 是异面直线 由异面直线的定义知 不相交 所以 q 不相交成立 即 p 是 q 的充 12 l l 12 l l 12 l l 分 条件 反过来 若 q 不相交 则可能平行 也可能异面 所以不能推出是异面直线 即 12 l l 12 l l 12 l l p 不是 q 的必要条件 故选 A 6 2015 年湖北 文 6 5 分 函数的定义域为 2 56 4 lg 3 xx f xx x A B C D 2 3 2 4 2 3 3 4 1 3 3 6 答案 C 解析 由函数的表达式可知 函数的定义域应满足条件 解之得 yf x f x40 x 2 56 0 3 xx x 即函数的定义域为 2 3 3 4 故选 C 22x 2x 3x f x 2 3 3 4 2 7 2015 年湖北 文 7 5 分 设 定义符号函数 则 x R 1 0 sgn0 0 1 0 x xx x A B C D sgn xxx sgn xxx sgnxxx sgnxxx 答案 D 解析 对于选项 A 右边 而左边 显然不正确 对于选项 B 右边 0 sgn 0 0 x x xx x 0 0 x x x x x 而左边 显然不正确 对于选项 C 右边 0 sgn 0 0 x x xx x 0 0 x x x x x 0 sgn0 0 0 x x xxx x x 而左边 显然不正确 对于选项 D 右边 而左边 0 0 x x x x x 0 sgn0 0 0 x x xxx x x 显然正确 故选 D 0 0 x x x x x 8 2015 年湖北 文 8 5 分 在区间上随机取两个数 记为事件 的概率 为事 0 1 x y 1 p 1 2 xy 2 p 件 的概率 则 1 2 xy A B C D 12 1 2 pp 12 1 2 pp 21 1 2 pp 21 1 2 pp 答案 B 解析 由题意知 事件 的概率为 事件 的概率 1 2 xy 1 111 1 222 1 18 p 1 2 xy 其中 所以 0 2 S p S 1 1 0 2 111 11ln2 222 Sdx x 1 11S 故选 B 0 2 1 1ln2 11 2 1ln2 1 122 S p S 9 2015 年湖北 文 9 5 分 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加 1 e 1 Ca b ab 0 m m 个单位长度 得到离心率为的双曲线 则 2 e 2 C A 对任意的 B 当时 当时 a b 12 ee ab 12 ee ab 12 ee C 对任意的 D 当时 当时 a b 12 ee ab 12 ee ab 12 ee 答案 D 解析 依题意 2 22 1 1 abb e aa 22 2 2 1 ambm bm e amam 因为 由于 m babbmabbmabam aama ama am 0m 0a 0b 当时 所以 ab 01 b a 01 bm am bbm aam 22 bbm aam 12 ee 当时 而 所以 所以 ab 1 b a 1 bm am bbm aam 22 bbm aam 12 ee 3 所以当时 当时 故选 D ab 12 ee ab 12 ee 10 2015 年湖北 文 10 5 分 已知集合 22 1 Ax y xyx y Z 定义集合 则 2 2 Bx yxyx y Z 12121122 ABxxyyx yAxyB 中元素的个数为 AB A 77 B 49 C 45 D 30 答案 C 解析 因为集合 所以集合中有 9 个元素 即 9 个点 22 1 Ax y xyx y ZA 即 图中圆中的整点 集合 中有 25 个元素 即 25 个 2 2 Bx yxyx y Z 点 即图中正方形中的整点 集合ABCD 12121122 ABxxyyx yAxyB 的元素可看作正方形中的整点 除去四个顶点 即个 故选 1111 ABC D77445 C 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 35 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置 书写不清 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 模棱两可均不得分 11 2015 年湖北 文 11 5 分 已知向量 则 OAAB 3OA OA OB 答案 9 解析 因为 OAAB 3OA 22 2 39OA OBOAOAOBOAOA OBOA 12 2015 年湖北 文 12 5 分 若变量 x y满足约束条件 4 2 30 xy xy xy 则 3xy 的最大值是 答案 10 解析 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示 然后 根据图像可得 目标函数过点取得最大值 即3zxy 3 1B 故应填 10 max 3 3110z 13 2015 年湖北 文 13 5 分 函数 2 2sin sin 2 f xxxx 的零点个数为 答案 2 解析 函数的零点个数等价于方程 2 2sin sin 2 f xxx 2 2sin sin0 2 xxx 的根的个数 即函数与的 2sin sin2sin cossin2 2 g xxxxx 2 h xx 图像交点个数 于是 分别画出其函数图像如下图所示 由图可知 函数 g x 与的图像有 2 个交点 h x 14 2015 年湖北 文 14 5 分 某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计 发 现消费金额 单位 万元 都在区间 0 3 0 9 内 其频率分布直方图如图所 示 直方图中的a 在这些购物者中 消费金额在区间 0 5 0 9 内的购物者的人数为 4 答案 3 6000 解析 由频率分布直方图及频率和等于 1 可得 解之0 20 10 80 1 1 50 120 12 50 10 11a 的 于是消费金额在区间内频率为 所以消费金3a 0 5 0 90 20 10 80 120 13 0 10 6 额在区间内的购物者的人数为 0 5 0 90 6 100006000 15 2015 年湖北 文 15 5 分 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上 行驶 600m 后到达处 测得A30 B 此山顶在西偏北的方向上 仰角为 则此山的高度 m 75 30 CD 答案 100 6 解析 依题意 在中 由30BAC 105ABC ABC 180ABCBACACB 所以 因为 由正弦定理可得 即m 在45ACB 600AB 600 sin45sin30 BC 300 2BC 中 Rt BCD 因为 所以 所以30CBD 300 2BC tan30 300 2 CDCD BC m 100 6CD 16 2015 年湖北 文 16 5 分 如图 已知圆与轴相切于点 与轴正半轴Cx 1 0 Ty 交于两点 A B B 在 A 的上方 且 2AB 圆的标准方程为 C 圆在点处的切线在轴上的截距为 CBx 答案 2 2 122xy 12 解析 设点C的坐标为 00 xy 则由圆C与x轴相切于点 1 0 T知 点C的横坐标为1 即 0 1x 半 径 0 ry 又因为2AB 所以 222 0 11y 即 0 2yr 所以圆C的标准方程为 22 1 2 2xy 令0 x 得 0 21 B 设圆C在点B处的切线方程为 21 kxy 则圆心C到其距离 为 2 221 2 1 k d k 解之得1k 即圆C在点B处的切线方程为x 21 y 于是 令 0y 可得x21 即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为12 17 2015 年湖北 文 17 5 分 a 为实数 函数 2 f xxax 在区间 0 1 上的最大值记为 g a 当 a 时 g a的值最小 答案 2 22 解析 解法一 因为函数 所以分以下几种情况进行讨论 当时 函数 2 f xxax 0a 22 f xxaxxax 在区间上单调递增 所以 当时 此时 0 1 max 1f xg aa 02 22a 而 所以 2 2 2224 aaaa fa 11fa 2 2 2 120 44 aa a max 1f xg aa 当时 综上可知 所以在2 22a 2 max 4 a f xg a 2 12 22 2 22 4 aa g a a a g a 5 上单调递减 在上单调递增 所以 所以当 2 22 2 2 2 max 2 22g ag 时 的值最小 2 22a g a 解法二 0a 11g afa 01a 2 2 221 24 1102 22 aa fa g a faa 12a 2 24 aa g af 2a 11g afa 综上所述 当时 取到最小值 2 22a g a32 2 三 解答题 共三 解答题 共 5 题 共题 共 65 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 18 2015 年湖北 文 18 12 分 某同学用 五点法 画函数在某一个周 sin f xAx 0 2 期 内的图象时 列表并填入了部分数据 如下表 x 0 2 3 2 2 x 3 5 6 sin Ax 055 0 请将上表数据补充完整 填写在答题卡上相应位置 并直接写出函数的解析式 f x 将图象上所有点向左平行移动个单位长度 得到的图象 求的图象离 yf x 6 yg x yg x 原点 O 最近的对称中心 解 根据表中已知数据 解得 数据补全如下表 5 2 6 A x 0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 sin Ax 0505 0 且函数表达式为 5sin 2 6 f xx 由 知 因此 5sin 2 6 f xx 5sin 2 5sin 2 666 g xxx 因为的对称中心为 令 解得 sinyx 0 kk Z 2 6 xk 212 k x k Z 即图象的对称中心为 其中离原点 O 最近的对称中心为 yg x 0 212 k k Z 0 12 19 2015 年湖北 文 19 12 分 设等差数列的公差为前 n 项和为 等比数列的公比为 q 已 n a d n S n b 知 11 ba 2 2b qd 10 100S 求数列 的通项公式 n a n b 当时 记 求数列的前 n 项和 1d n n n a c b n c n T 6 解 由题意知 即 解得或 故或 1 1 1045100 2 ad a d 1 1 2920 2 ad a d 1 1 2 a d 1 9 2 9 a d 1 21 2 n n n an b 1 1 279 9 2 9 9 n n n an b 由 知 故 1d 21 n an 1 2n n b 1 21 2 n n n c 于是 2341 357921 1 22222 n n n T 2345 11357921 2222222 n n n T 由 可得 故 23452 11111112123 23 222222222 n nnn nn T 1 23 6 2 n n n T 20 2015 年湖北 文 20 13 分 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图 在阳马 PABCD 中 侧棱底面 且 点是的中点 连接 PD ABCDPDCD EPC DE BD BE 证明 平面 试判断四面体是否为鳖臑 若是 写出其每个面的直DE PBCEBCD 角 只需写出结论 若不是 请说明理由 记阳马的体积为 四面体的体积为 求的值 PABCD 1 VEBCD 2 V 1 2 V V 解 因为底面 所以 由底面为长方形 有 而 PD ABCDPDBC ABCDBCCD PDCDD 所以平面 平面 所以 又因为 点是的中点 BC PCDDE PCDBCDE PDCD EPC 所以 而 所以平面 DEPC PCBCC DE PBC 由平面 平面 可知四面体的四个面都是直角三角形 BC PCDDE PBCEBCD 即四面体是一个鳖臑 其四个面的直角分别是 EBCD BCDBCEDECDEB 由已知 是阳马的高 所以 PDPABCD 1 11 33 ABCD VSPDBC CD PD 由 知 是鳖臑的高 所以 DEDBCE BCCE 2 11 36 BCE VSDEBC CE DE 在 中 因为 点是的中点 所以 RtPDCPDCD EPC 2 2 DECECD 于是 1 2 1 2 3 4 1 6 BC CD PD VCD PD VCE DE BC CE DE 21 2015 年湖北 文 21 14 分 设函数 的定义域均为 且是奇函数 是偶函数 f x g xR f x g x 其中 为自然对数的底数 exf xg x e 求 的解析式 并证明 当时 f x g x0 x 0f x 1g x 设 证明 当时 0a 1b 0 x 1 1 f x ag xabg xb x 解 由 的奇偶性及 f x g x exf xg x e x f xg x 联立 解得 当时 故 1 ee 2 xx f x 1 ee 2 xx g x 0 x e1 x 0e1 x 0 f x 又由基本不等式 有 即 1 ee e e1 2 xxxx g x 1 g x 7 由 得 2 111e1 e e ee 2e2e2 x xxxx xx fxg x 2 111e1 e e ee 2e2e2 x xxxx xx g xf x 当时 等价于 0 x 1 f x ag xa x 1 f xaxg xa x 等价于 1 f x bg xb x 1 f xbxg xb x 设函数 1 h xf xcxg xc x 由 有 1 h xg xcg xcxf xc 1 1 c g xcxf x 当时 0 x 1 若 由 得 故在上为增函数 从而 0c 0h x h x 0 0 0h xh 即 故 成立 1 f xcxg xc x 2 若 由 得 故在上为减函数 从而 1c 0h x h x 0 0 0h xh 即 故 成立 1 f xcxg xc x 综合 得 1 1 f x ag xabg xb x 22 2015 年湖北 文 22 14 分 一种作图工具如图 1 所示 是滑槽的中点 短杆 ON 可绕 O 转动 OAB 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接 MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动 且 当1DNON 3MN 栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时 带动 N 绕转动一周 D 不动时 N 也不动 M 处的笔尖画出的O 曲线记为 C 以为原点 所在的直线为轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 OABx 求曲线 C 的方程 设动直线 与两定直线和分别交于l 1 20lxy 2 20lxy 两点 若直线 总与曲线有且只有一个公共点 试探究 P QlC OPQ 的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若 不存在 说明理由 解