2019年高考全国数学卷一理科试卷与答案

1 16 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷一 数 学 理工类 参考公式 如果事件互斥 那么球的表面积公式 P A B P A P B S 4p R2 如果事件相互独立 那 么其中 R 表示球的半径 P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的 概率是p 那么 V 4 pR3 3 在 n 次独立重复试验中 事件 A 恰好发生 k 次的概 率其中 R 表示球的半径 k kn k Pn k Cn p 1 p k 0 1 2 n 第一部分 选择 题 共 60 分 注意事项 1 选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上 2 本部分共12 小题 每小题5 分 共 60 分 一 选择题 每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 1 x 7 的展开式中 x2 的系数是 A 42B 35C 28D 21 2 复数 1 i 2 A 12i 1 i i 2 16 BCD x29 3 函数 f x x3 x3 在 x3 处的极限是 ln x2 x3 不存在 等于6 等 于 等于 0 ABC3D 4 如图 正方 形 ABCD 的边长为 1 延 长BA 至 E 使 AE1 连接 EC ED 则 sin CED 3 16 A 3 10B 10C 5D 5 10101015 5 函数 yax 1 a 0 a 1 的图象可能是 a 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 ab 7 设 a b 都是非零向量 下列四个条 件中 使 成立的充分条件是 a b A abB a bC a2bD a b 且 a b 8 已知抛物线 关于 x 轴对称 它的顶点在坐标 原点 O 并且经过 点 M 2 y0 若点 M 到该抛物线焦点的距 离为 3 则 OM A 2 2B 2 3C 4D 2 5 9 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生 产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克 B 原料 2 千克 生产 乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克 B 原料 1 千克 每 桶甲产品的利润 是 300 元 每桶乙产品的利 润是 400 元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天 消耗 A B 原料都不超 过 12 千克 通过合理安 排生 产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最 4 16 大利润是 A 1800元 B 2400 元C 2800元D 3100 元 10 如图 半径 为 R 的半球 O 的底面圆 O 在 平面 内 过点 O 作 平面 的垂线交半球面于 点 A 过圆 O 的直径 CD 作平 面成 45 角的平面与半球 面 5 16 相交 所得交线上到 平面 的距离最大的点 为 B 该交线上的一 点P 满足BOP 60 则 A P 两点间的球面距离 为 A R arccos2B RC R arccos 3 D R 4433 11 方程 ayb2 x2 c 中的 a b c 3 2 0 1 2 3 且 a b c 互不相同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛 物线共有 A 60 条B 62 条C 71 条D 80 条 12 设函数 f x 2x cos x an 是公 差为的等差数列 f a1 f a2 f a5 5 则 f a3 2 a1a3 8 A 0B 1 2C 1 2D 13 2 16816 6 16 第二部 分 非选择 题共 90 分 注意事项 1 必须使用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答 作图题可先用铅笔绘 出 确认后再用 0 5 毫米黑色签字笔描清楚 答 在试 题卷上无效 2 本部分共 10 个小题 共90 分 二 填空题 本大题 共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在答题纸的相应位置 上 13 设全集 U a b c d 集合 A a b B b c d 则UAUB 痧 14 如图 在正 方体ABCD A1 BC11 D1 中 M N 分别是 CD CC1的中D1C1 点 则 异 面 直 线 A1 M 与 DN 所 成 角 的 大 小 是 A B 1 1 N 15 椭圆 x2 y21 的左焦点为 F 直线 x m 与椭圆相交 于点 A B 当FAB 的 周 长 最 大 时 FAB 的 面 积 是 43DC M AB 16 x x 2 2 1 5 1 0 3 1设为 正 整 数 数 列xnx1a 记 为不超过实 数 的最大整数 例如 a 满 足 xn a xn 1 xn n N 现有下列命题 2 7 16 当 a 5 时 数列 xn 的前 3 项依次为 5 3 2 对数 列 xn 都存在正整数 k 当 n k 时总有 xnxk 当 n 1 时 xna1 对某个正整数 k 若 xk 1 xk 则 xn a 其中的真命题有 写出所有真命题的 编号 三 解答题 本大题 共 6 个小题 共 74 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或 演算步骤 8 16 17 本小题 满分12 分 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简 称系统 A 和 B 系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率 分别为 1 和 p 10 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概 率为 49 求 p 的值 50 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随 机变量 求 的概率分布列及数学 期望E 18 本小题 满分12 分 函数 f x 6cos 2x3 cos x 3 0 在一个周期内的图象如图所示 A 为图象的最高点 B C 为图象与 x 轴的交点 且 ABC 为正 三 2 角形 求 的值及函数 f x 的值域 若 f x0 8 3 且 x0 10 2 求 f x0 1 的值 533 19 本小题 满分12 分 如 图 在 三 棱 锥 P ABC 中 APB 90 P 求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小 求二面 角B AP C 的大小 20 本小题 满分12 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn A 求 a1 a2 的值 PAB60 ABBCCA 平面 PAB 平面 ABC C B 且 a2 anS2Sn 对一切正整数n 都成立 设 a10 数列 lg 10a1 的前 n 项和为 Tn 当 n 为何值时 Tn 最大 并求出 Tn 的最大值 an 9 16 21 本小题 满分12 分 如图 动点 M 到两定点 A 1 0 B 2 0 构成 MAB 且 MBA2 MAB 设动点 M 的轨迹为 C 求轨迹 C 的方程 y M PR 设直线 y2x m 与 y 轴交于点 P 与轨迹 C 相交 于点 Q R 且 PQ PR 求 的取值范围 PQ 22 本小题满分 14 分 A OB x 已知 a 为正实数 n 为自然数 抛物 线 y x2an与 x 轴正半轴相交于 点 A 设 f n 为该抛物线 在点 A 处的切 线 2 在 y 轴上